2018年全國高考數學考綱關鍵詞解讀及預測分析（4）
——選擇題和填空題

■北京市第十二中學高中部 高慧明

一、選擇題

高考數學選擇題注重多個知識點的小型綜合,滲透各種數學思想和方法,體現通過基礎知識考查能力的導向,使作為中低檔題的選擇題成為具備較佳區分度的基本題型。同時完成選擇題所用的時間和精力對后面填空題和解答題的解答具有極大的心理影響,因此能否短時間內在選擇題上獲取高分,對高考數學成績的影響重大,它具有獨特的結構特點和考查功能。

1.選擇題的基本特點。

(1)概念性強,知識覆蓋面廣,題型靈活多變,經常出現一些數學背景新穎的創新題,這些創新題目注重基礎性和綜合性,充分體現了時代氣息。

(2)量化突出,選擇題不要求書寫解題過程,不設中間分,因此一步失誤,就會導致全題無分。

(3)充滿思辨性,絕大多數選擇題屬于低中檔題是因為主要的數學思想和方法能通過它得到充分的體現和應用,并且因為它還有相對的難度(如思維層次,解題方法的優劣選擇,解題速度的快慢等),所以使之成為具備較佳區分度的基本題型之一。

(4)形數兼備。

(5)解法多樣化。

(6)評卷公平,在注重考查基礎知識、技能、方法的同時,加大了對能力的考查力度,考潛能,考應用,體現了高考數學命題改革的導向作用。

2.選擇題的考查功能。

(1)能在較大的知識范圍內,實現對基礎知識、基本技能和基本思想方法的考查。每道選擇題所考查的知識點一般為2～5個,以3～4個居多,故選擇題組共考查可達到50個知識點,而考生解答只需35分鐘左右。相當于解3個中等難度的解答題,但3道解答題無論如何也難以實現對這么多個考點的考查。

(2)能夠比較確切地測試考生對概念、原理、性質、法則、定理、公式的理解和掌握程度。

(3)在一定程度上,能有效考查邏輯思維能力、運算能力、空間想象能力,以及靈活和綜合地運用數學知識解決問題的能力。

3.解選擇題的原則。

根據選擇題的題干和選擇支兩方面提供的信息,作出正確的選擇,一般以迅速和準確為原則。選擇題得分率的高低及解題速度的快慢直接影響著每位考生的答題情緒和全卷成績,因此,準確、快速是解選擇題的策略。準確是解高考選擇題的先決條件,這要求考生需仔細審題,認真分析,合理選擇解題方法,正確推演或判斷,謹防疏漏,確保準確;快速是結合高考數學單項選擇題的結構,題目本身提供的條件、特征或信息,以及不要求書寫解題過程的特點,靈活選用簡單、合理的解法或特殊化法,避免煩瑣的運算、作圖或推理,避免“小題大做”,確保能給解答題留下充裕的時間。對于選擇題的答題時間,應該控制在35分鐘以內,速度越快越好,高考要求每道選擇題在1～3分鐘內解完,要避免“超時失分”現象的發生,爭取得高分。具體說來,就是要突出解題方向的探索、解題思路的分析、解題方法的選擇,以及解題思維過程的展示和解題回顧反思等環節;熟練掌握各種基本題型的一般解法,在此基礎上逐步掌握解選擇題的解題思路、常用方法、規律及相關技巧;注重提高口算、心算和筆算的能力,做到“基本概念理解透徹,基本聯系脈絡清晰,基本方法熟練掌握,基本技能準確無誤”,達到“既然會解,就要解對”的地步,而且需要思維清晰、敏捷、通暢,解法合理、簡捷。為此,研究和探索選擇題的解題思路、常用方法與技巧就顯得非常必要和重要。

一般地,解答選擇題的策略是以直接思路肯定為主,間接思路否定為輔,準確、快捷、精巧是解選擇題的基本要求;要在“巧”字上做文章,配合使用多種解題方法,盡量避免“小題大做”。

第一,熟練掌握各種基本題型的一般解法。

第二,結合高考單項選擇題的結構(由“四選一”的指令、題干和選擇項所構成)和不要求書寫解題過程的特點,突出一個“選”字,要充分利用題干和選擇支兩方面提供的信息,靈活運用特例法、篩選法、圖解法等選擇題的常用解法與技巧。盡量減少書寫解題過程,以便快速智取,這是解選擇題的基本策略。

第三,挖掘題目“個性”,尋求簡便解法,充分利用選擇支的暗示作用,迅速地作出正確的選擇。

選擇題的解題方法很多,為了正確、迅速地求得結果,不能拘泥于一種方法,應“揚長避短,靈活溝通,為我所用”,特別要注意以下幾點:

(1)首先考慮間接法,不要一味地采用直接法。

(2)在間接法中,首先應考慮排除法,即使不能全部將干擾支除掉,至少可以排除一部分,從而簡化剩余部分的選擇程序。

(3)若能迅速判斷某個答案正確,則不可猶豫,應當機立斷。

(4)若肯定某個答案有困難時,可轉而去否定其余的答案,只要其余答案被否定了,剩下的一個答案一定是正確的。在具體操作上,最好能雙管齊下,把正面肯定與反面否定相結合,就能沿著最佳途徑準確、迅速地選擇你所需要的正確答案。

今后高考,會更加注重策略、方法;加重間接法解題的分量;繼續出現創新題。

二、填空題

1.填空題的基本特點。

填空題是高考題中客觀性題型之一,具有小巧靈活,題型靈活多變,跨度大,覆蓋面廣,概念性強,運算量不大,不需要寫出求解過程等特點。

可以有目的、和諧地綜合一些問題,突出訓練準確、嚴謹、全面、靈活運用知識的能力和基本運算能力。

填空題有兩類:一類是定量的,一類是定性的。填空題大多是定量的,近幾年才出現定性型的具有多重選擇性的填空題。

2.填空題的考查功能。

填空題雖然量少,但考生的得分率較低,不很理想。究其原因,主要是考生還不能達到《考試說明》中對解答填空題提出的基本要求——正確、合理、迅速。只有做到“正確、合理、迅速”地解答填空題,才能為解答后面的題贏得寶貴的時間。

3.解填空題的原則。

快——運算要快,避免小題大做;穩——變形要穩,不可操之過急;全——答案要全,力避殘缺不齊;活——解題要活,不要生搬硬套;細——審題要細,不能粗心大意。

三、答題建議

要想確保在有限的時間內,對選擇題和填空題作出有效的抉擇,明晰解題思路是十分必要的。

1.仔細審題,吃透題意。

審題是正確解題的前提條件,通過審題,可以掌握用于解題的第一手資料——已知條件,弄清題目要求。

審題的第一個關鍵是:將有關概念、公式、定理等基礎知識加以集中整理。凡在題中出現的概念、公式、性質等內容都是平時理解、記憶、運用的重點,也是我們在解選擇、填空題時首先需要回憶的對象。

審題的第二個關鍵是:發現題目中的“機關”——題目中的一些隱含條件,往往是該題“價值”之所在,也是我們失分的“隱患”。

除此之外,審題的過程還是一個解題方法的抉擇過程,開拓的解題思路能使我們心涌如潮,適宜的解題方法能幫助我們取得事半功倍的效果。

2.反復析題,去偽存真。

析題就是剖析題意。在認真審題的基礎上,對全題進行反復分析和解剖,從而為正確解題尋得路徑。因此,析題的過程就是根據題意、聯系知識、形成思路的過程。由于選擇題具有相近、相關的特點,有時“真作假時假亦真”,對于一些似是而非的選項,我們可以結合題目,將選項逐一比較,用一些“虛擬式”的“如果”,加以分析與驗證,從而提高解題的正確率。

3.抓住關鍵,全面分析。

在解題過程中,通過審題、析題后找到解決題目的關鍵所在是十分重要的,從關鍵處入手,找突破口,聯系知識進行全面分析,形成正確的解題思路,就可以化難為易,化繁為簡,從而解出正確的答案。

4.反復檢查,認真核對。

在審題、析題的過程中,由于思考問題不全面,往往會出現“失根”、“增根”等錯誤,因而,反復地檢查,認真地進行核對,也是解選擇、填空題必不可少的步驟之一。

四、應用舉例

(一)高考選擇題

解答選擇題的基本策略:充分利用題設和選擇支兩方面所提供的信息作出判斷,一般有兩種思路:一是從題干出發考慮探求結果;二是從題干和選擇支聯合考慮或從選擇支出發探求是否滿足題干條件;先定性后定量,先特殊后推理,先間接后直接,先排除后求解,一般來說要小題巧解,避免小題大做。解答選擇題的常用方法有:

1.直接法。

直接從題設條件出發,運用有關概念、性質、定理、法則和公式等知識,通過嚴密的推理和準確的運算,從而得出正確的結論,然后對照題目所給出的選項“對號入座”,作出相應的選擇。涉及概念、性質的辨析或運算較簡單的題目常用直接法。

例1(1)在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=3,b=26,B=2A,則cosA的值為( )。

(2)某班有6位學生與班主任老師畢業前夕留影,要求班主任站在正中間,且女生甲、乙不相鄰,則排法的種數為( )。

A.96 B.432 C.480 D.528

(2)當女生甲、乙在班主任兩側時,有3×3×2×24種排法;當女生甲、乙在班主任同側時,有4×24種排法。因此共有排法3×3×2×24+4×24=528(種)。

答案：(1)A;(2)D。

點評:涉及概念、性質的辨析或運算較簡單的題目常用直接法。只要推理嚴謹,運算正確,必能得出正確的答案。平時練習中應不斷提高用直接法解選擇題的能力,不能一味求快,以免快中出錯。

相關鏈接1.(1)數列{an}滿足a1=2,,其前n項的積為Tn,則T10等于( )。

(2)執行如圖1所示的程序框圖,則輸出

S的值為( )。

圖1

(2)每次循環的結果依次為k=2,k=3,

答案：(1)D;(2)D。

2.特例法。

從題干(或選項)出發,通過選取特殊情況代入,將問題特殊化或構造滿足題設條件的特殊函數或圖形位置,進行判斷。特殊化法是“小題小做”的重要策略,要注意在怎樣的情況下才可使用。特殊情況主要有特殊值、特殊點、特殊位置、特殊函數等。

A.[-1,2] B.[-1,0]

C.[1,2] D.[0,2]

(2)已知等比數列{an}滿足an＞0,n=1,2,3,…,且a5·a2n-5=22n(n≥3),當n≥1時,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1等于( )。

A.n(2n-1) B.(n+1)2

C.n2D.(n-1)2

(2)因為a5·a2n-5=22n(n≥3),所以令n=3,代入得a5·a1=26。

再令數列為常數列,得每一項為8,則log2a1+log2a3+log2a5=9=32。

結合選項可知只有C符合要求。

答案：(1)D;(2)C。

點評:特例法具有簡化運算和推理的功效,比較適用于題目中含有字母或具有一般性結論的選擇題,但用特例法解選擇題時,要注意以下兩點:第一,取特例盡可能簡單,有利于計算和推理;第二,若在不同的特殊情況下有兩個或兩個以上的結論相符,則應選另一特例情況再檢驗,或改用其他方法求解。

(2)如圖2,在棱柱的側棱A1A和B1B上各有一動點P,Q,且滿足A1P=BQ,過P,Q,C三點的截面把棱柱分成兩部分,則其體積之比為( )。

A.3∶1 B.2∶1

C.4∶1 D.3∶1

圖2

解析：(1)如圖 3,當△ABC為正三角形時,A=B=C=60°,取D為BC的。故選A。

圖3

(2)將P,Q置于特殊位置:P→A1,Q→B,此時仍滿足條件A1P=BQ,則有VC-AA1B故選B。

答案：(1)A;(2)B。

3.排除法。

排除法就是充分運用選擇題為單選的特征,即有且只有一個正確選擇項這一信息,從選擇項入手,根據題設條件與各選擇支的關系,通過分析、推理、計算、判斷,對選擇支進行排除,將其中與題設矛盾的干擾項逐一排除,從而獲得正確結論的方法。一般選擇支與題干或常識矛盾,選擇支互相矛盾時用排除法。

例3(1)根據下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫排放量(單位:萬噸)的柱形圖,如圖4所示,則以下結論不正確的是( )。

A.逐年比較,2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著

B.2007年我國治理二氧化硫排放初見成效

C.2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢

D.2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關

圖4

(2)已知函數f(x)=x(1+a|x|)。設關于x的不等式f(x+a)＜f(x)的解集為?A,則實數a的取值范圍是( )。

解析：(1)從2006年開始,將每年的二氧化硫排放量與前一年作差比較,得到2008年二氧化硫排放量與2007年排放量的差最大,選項A正確;2007年二氧化硫排放量較2006年降低了很多,選項B正確;雖然2011年二氧化硫排放量較2010年多一些,但自2006年以來,整體呈遞減趨勢,即選項C正確;自2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份負相關,選項D錯誤。故選D。

答案：(1)D;(2)A。

點評:排除法適應于定性型或不易直接求解的選擇題。當題目中的條件多于一個時,先根據某些條件在選項中找出明顯與之矛盾的予以否定,再根據另外一些條件在縮小選項的范圍內找出矛盾,這樣逐步篩選,直到得出正確的答案。

A.(-1,0)∪(0,1)

B.(-∞,-1)∪(1,+∞)

C.(-1,0)∪(1,+∞)

D.(-∞,-1)∪(0,1)

解析：(1)取a=2驗證滿足題意,排除選項A,D。取a=-2驗證不滿足題意,排除選項B。故選C。

答案：(1)C;(2)B。

4.數形結合法。

根據命題條件中的函數關系或幾何意義,作出函數的圖像或幾何圖形,將數的問題(如解方程、解不等式、判斷單調性、求取值范圍等)與某些圖形結合起來,利用圖像的直觀性,化抽象為直觀,化直觀為精確,從而使問題得到解決,這種方法稱為數形結合法。

例4若直角坐標平面內的兩點P,Q滿足條件:①P,Q都在函數y=f(x)的圖像上;②P,Q關于原點對稱,則稱點對[P,Q]是函數y=f(x)的一對“友好點對”(注:點對[P,Q]與[Q,P]看作同一對“友好點對”)。已知函數數的“友好點對”有( )。

A.0對 B.1對 C.2對 D.3對

圖5

解析：根據題意,將函數f(x)=-x2-4x(x≤0)的圖像繞原點旋轉180°后,得到的圖像所對應的解析式為y=x2-4x(x≥0),再作出函數y=log2x(x＞0)的圖像,如圖5所示。由題意知函數y=x2-4x(x＞0)的圖像與函數f(x)=log2x(x＞0)的圖像的交點個數即為“友好點對”的對數。由圖可知它們的圖像交點有2個,所以此函數的“友好點對”有2對。

答案：C。

點評:數形結合法是依靠圖形的直觀性進行分析的,用這種方法解題比直接計算求解更能抓住問題的實質,并能迅速地得到結果。使用數形結合法解題時一定要準確把握圖形、圖像的性質,否則會因為錯誤的圖形、圖像而得到錯誤的結論。

相關鏈接4.(1)已知非零向量a,b,c滿足a+b+c=0,向量a,b的夾角為120°,且|b|=2|a|,則向量a與c的夾角為( )。

A.60° B.90° C.120° D.150°

A.(-∞,0] B.(-∞,1]

C.[-2,1] D.[-2,0]

解析：(1)如圖6,因為〈a,b〉=120°,|b|=2|a|,a+b+c=0,所以在△OBC中,BC與CO的夾角為90°,即a與c的夾角為90°。

(2)函數y=|f(x)|的圖像如圖7所示。

①當a=0時,|f(x)|≥ax顯然成立。

②當a＞0時,只需在x＞0時,l n(x+1)≥ax成立。比較對數函數與一次函數y=ax的增長速度,顯然a＞0時不能使l n(x+1)≥ax在x＞0上恒成立。

圖6

③當a＜0時,只需x＜0,x2-2x≥ax成立,即a≥x-2成立,所以a≥-2。

綜上所述:-2≤a≤0。故選D。

答案：(1)B;(2)D。

5.構造法。

構造法是一種創造性思維,是綜合運用各種知識和方法,依據問題給出的條件和結論,將問題進行適當的加工處理,構造與問題相關的數學模式,揭示問題的本質,從而溝通解題思路的方法。

例5已知函數f(x)是定義在R上的可導函數,且對于x∈R,均有f(x)＞f′(x),則有( )。

A.e2018f(-2018)＜f(0),f(2018)＞e2018f(0)

B.e2018f(-2019)＜f(0),f(2018)＜e2018f(0)

C.e2018f(-2018)＞f(0),f(2018)＞e2018f(0)

D.e2018f(-2018)＞f(0),f(2018)＜e2018f(0)

圖7

答案：D。

點評:構造法求解時需要分析待求問題的結構形式,特別地,當研究的整個問題比較復雜時,單獨摘出其中的部分進行研究或者構造新的情景進行研究。

相關鏈接5.(1)設函數f′(x)是奇函數f(x)(x∈R)的導函數,f(-1)=0,當x＞0時,x f′(x)-f(x)＜0,則使得f(x)＞0成立的x的取值范圍是( )。

A.(-∞,-1)∪(0,1)

B.(-1,0)∪(1,+∞)

C.(-∞,-1)∪(-1,0)

D.(0,1)∪(1,+∞)

(2)若四面體ABCD的三組對棱分別相等,即AB=CD,AC=BD,AD=BC,給出下列五個命題:

①四面體ABCD每組對棱相互垂直;②四面體ABCD每個面的面積相等;③從四面體ABCD的每個頂點出發的三條棱兩兩夾角之和大于90°而小于180°;

④連接四面體ABCD每組對棱中點的線段相互垂直平分;

⑤從四面體ABCD的每個頂點出發的三條棱的長可作為一個三角形的三邊長。

其中正確命題的個數是( )。

A.2 B.3 C.4 D.5

解析：(1)因為f(x)(x∈R)為奇函數,f(-1)=0,所以f(1)=-f(-1)=0。當,則g(x)為偶函數,且g(1)=g(-1)=0。所以,當x＞0時,g(x)在(0,+∞)上為減函數,在(-∞,0)上為增函數。所以,在(0,+∞)上,當0＜x＜1時在(-∞,0)上,當x＜-1時,g(x)＜g(-1)綜上,使得f(x)＞0成立的x的取值范圍是(-∞,-1)∪(0,1)。故選A。

(2)構造長方體,使三組對棱恰好是長方體的三組平行面中異面的對角線,在此背景下,長方體的長,寬,高分別為x,y,z。

對于①,需要滿足x=y=z,才能成立;因為各個面都是全等的三角形(由對棱相等易證),則四面體的同一頂點處對應三個角之和一定恒等于180°,故②成立,③顯然不成立;對于④,由長方體相對面的中心連線相互垂直平分判斷④成立;從每個頂點出發的三條棱的長恰好分別等于各個面的三角形的三邊長,⑤顯然成立。故正確命題有②④⑤。

答案：(1)A;(2)B。

6.估算法。

由于選擇題提供了唯一正確的選項,解答又無需過程,因此,有些題目不必進行準確的計算,只需對其數值特點和取值界限作出適當的估計,便能得出正確的判斷,這就是估算法。估算法往往可以減少運算量,但是加強了思維的層次。

例6(1)圖8中陰影部分的面積S是h的函數(0≤h≤H),則該函數的大致圖像是圖9中的( )。

圖8

圖9

(2)已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,△ABC是邊長為1的正三角形,S C為球O的直徑,且S C=2,則此棱錐的體積是( )。

解析：(1)由題圖知,隨著h的增大,陰影部分的面積S逐漸減小,且減小得越來越慢,結合選項可知選B。

答案：(1)B;(2)B。

點評:估算法一般包括范圍估算、極端值估算和推理估算。當題目從正面解析比較麻煩,特值法又無法確定正確的選項時(如難度稍大的函數的最值或取值范圍、函數圖像的變化等問題),常用此種方法確定選項。

圖10

答案：D。

(二)高考填空題

高考填空題是一種只要求寫出結論,不要求寫出解答過程的客觀性試題,有小巧靈活、覆蓋面廣、跨度大等特點,突出考查準確、嚴謹、靈活運用知識的能力。

由于填空題不像選擇題那樣有備選提示,不像解答題那樣有步驟得分,所填結果必須準確、規范,因此得分率較低,解答填空題的第一要求是“準”,然后才是“快”、“巧”,要合理靈活地運用恰當的方法,一般不可“小題大做”。解答填空題的常用方法有:

1.直接法。

直接法就是直接從題設出發,利用有關性質或結論,通過巧妙的變形,直接得到結果的方法。要善于透過現象抓本質,有意識地采取靈活、簡捷的方法解決問題。直接法是求解填空題的基本方法。

解析：(1)因為a≥1時,f(a)≤1,不符合題意。所以f(a)=log2(1-a)+1=3,解得a=-3。

答案：(1)-3;(2)1。

點評:利用直接法求解填空題要根據題目的要求靈活處理,多角度思考問題,注意一些解題規律和解題技巧的靈活應用,將計算過程簡化從而得到結果,這是快速準確地求解填空題的關鍵。

(2)已知數列{an}是遞增的等比數列,a1+a4=9,a2a3=8,則數列{an}的前n項和等于____。

解析：(1)由題意得|PQ|=16,線段PQ過雙曲線的右焦點,則P,Q都在雙曲線的右支上。由雙曲線的定義,可知|PF|-|PA|=2a,|Q F|-|Q A|=2a,兩式相加,得|PF|+|Q F|-(|PA|+|Q A|)=4a,則|PF|+|Q F|=4a+|PQ|=4×3+16=28,故△PQ F的周長為44。

(2)由等比數列性質知a2a3=a1a4,又a2a3=8,a1+a4=9,所以聯立方程又數列{an}為遞增數列,所以a1=1,a4=8,從而a1q3=8,所以q=2。所以數列{an}的前n項和為

答案：(1)44;(2)2n-1。

2.特例法。

當填空題已知條件中含有某些不確定的量,但填空題的結論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時,可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的特殊值(特殊函數,特殊角,特殊數列,圖形特殊位置,特殊點,特殊方程,特殊模型等)進行處理,從而得出待求的結論。這樣可以大大地簡化推理、論證的過程。

例 8(1)cos2α+cos2(α+120°)+cos2(α+240°)的值為____。

(2)如圖11,在三棱錐O-ABC中,三條棱OA,OB,OC兩兩垂直,且OA＞OB＞OC,分別經過三條棱OA,OB,OC作一個截面平分三棱錐的體積,截面面積依次為S1,S2,S3,則S1,S2,S3的大小關系為____。

圖11

解析：(1)令α=0°,則原式=cos20°+

(2)要滿足各個截面使分得的兩個三棱錐體積相等,則需滿足與截面對應的交點E,F,G分別為中點即可。故可以將三條棱長分別取為OA=6,OB=4,OC=2,如圖12,則可計算S1=35,S2=210,S3=13,故S3＜S2＜S1。

圖12

點評:求值或比較大小等問題的求解均可利用特殊值代入法,但要注意此種方法僅限于求解結論只有一種的填空題,對于開放性的問題或者有多種答案的填空題,則不能使用該種方法求解。

相關鏈接8.(1)在銳角三角形ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且

(2)已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x-4)=-f(x),且在區間[0,2]上是增函數,若方程f(x)=m(m＞0)在區間[-8,8]上有四個不同的根x1,x2,x3,x4,則x1+x2+x3+x4=____。

解析：(1)用特例法。令銳角三角形ABC為等腰三角形,此時cosC=。不妨設a=b=3,如圖13,作AD⊥BC于點D,CD=1,AD=22,t anC=22,t anA=t anB=

圖13

圖14

答案：(1)4;(2)-8。

3.數形結合法。

對于一些含有幾何背景的填空題,若能根據題目中的條件,作出符合題意的圖形,并通過對圖形的直觀分析、判斷,即可快速得出正確結果。這類問題的幾何意義一般較為明顯,如一次函數的斜率和截距、向量的夾角、解析幾何中兩點間的距離等,求解的關鍵是明確幾何意義,準確規范地作出相應的圖形。

(2)已知函數f(x)=log2x,g(x)=若關于x的方程g(x)=k有兩個不相等的實數根,則實數k的取值范圍是____。

解析：(1)畫出可行域,如圖15,所求的x2+y2-6x+9=(x-3)2+y2是點Q(3,0)到可行域上的點的距離的平方,由圖形知最小值為點Q到射線x-y-1=0(x≥0)的距離d的平方,大值為點Q到點A的距離的平方,所以d2max=16。所以所求的取值范圍是[2,16]。

圖15

(2)畫出函數y=g(x)的圖像(如圖16)。

由圖知,當函數y=g(x)和y=k的圖像有兩個交點時,k＞1。

答案：(1)[2,16];(2)(1,+∞)。

點評:數形結合法可直觀快捷地得到問題的結論,充分應用了圖形的直觀性,數中思形,以形助數。數形結合法是高考的熱點,應用時要準確把握各種數式和幾何圖形中變量之間的關系。

圖16

相關鏈接9.(1)若函數f(x)=|2x-2|-b有兩個零點,則實數b的取值范圍是____。

(2)若函數y=f(x)圖像上不同兩點M,N關于原點對稱,則稱點對[M,N]是函數y=f(x)的一對“和諧點對”(點對[M,N]與[N,M]看作同一對“和諧點對”)。已知函則此函數的“和諧點對”有____對。

解析：(1)將函數f(x)=|2x-2|-b的零點個數問題轉化為函數y=|2x-2|的圖像與直線y=b的交點個數問題,數形結合求解。由f(x)=|2x-2|-b=0,得|2x-2|=b。在同一平面直角坐標系中畫出y=|2x-2|與y=b的圖像,如圖17所示。則當0＜b＜2時,兩函數圖像有兩個交點,從而函數f(x)=|2x-2|-b有兩個零點。

圖17

圖18

答案：(1)(0,2);(2)2。

4.構造法。

用構造法解填空題的關鍵是由條件和結論的特殊性構造出數學模型,從而簡化推導與運算過程。構造法是建立在觀察聯想、分析綜合的基礎之上,首先觀察已知(例如代數式)式子上的特點,然后積極調動思維,聯想、類比已學過的知識及各種數學結構、數學模型,深刻地了解問題及問題的背景(幾何背景、代數背景),從而構造幾何、函數、向量等具體的數學模型,達到快速解題的目的。

例10(1)如圖19,已知球O的球面上有四點A,B,C,D,DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC=2,則球O的體積等于____。

圖19

(2)若定義在R上的函數f(x)滿足f(x)+f′(x)＞1,f(0)=4,則不等式f(x)(e為自然對數的底數)的解集為____。

解析：(1)如圖20,以DA,AB,BC為棱長構造正方體,設正方體的外接球球O的半徑為R,則正方體的體對角線長即為球O的直徑,所以CD=2R,所以R=,故球O

圖20

答案：(1)6π;(2)(0,+∞)。

點評:構造法實質上是轉化與化歸思想在解題中的應用,需要根據已知條件和所要解決的問題確定構造的方向,一般通過構造新的函數、不等式或數列等模型將問題轉化為自己熟悉的問題。在立體幾何中,補形構造是最為常用的解題技巧。通過補形能將一般幾何體的有關問題在特殊的幾何體中求解,如將三棱錐補成特殊的長方體等。

(2)已知三個互不重合的平面α,β,γ,α∩β=m,n?γ,且直線m,n不重合,有下列三個條件:①m∥γ,n?β;②m∥γ,n∥β;③m?γ,n∥β。

其中,能推得m∥n的條件是____。

(2)構建長方體模型,如圖21,觀察選項特點,可優先判斷條件②:取平面α為平面ADD1A1,平面β為平面ABCD,則直線m為直線AD。因為m∥γ,故可取平 面 γ 為 平 面A1B1C1D1,因為n?γ且n∥β,故可取直線n為直線A1B1,則直線AD與直線A1B1為異面直線,故m與n不平行。

對于①:α、β取②中平面,取平面γ為平面BCC1B1,可取直線n為直線BC,故可推得m∥n。

對于③:α,β取②中平面,取γ為平面AB1C1D,取直線n為直線B1C1,故可推得結論。

圖21

5.正反互推法。

多選型問題給出多個命題或結論,要求從中選出所有滿足條件的命題或結論。這類問題要求較高,涉及圖形、符號和文字語言,要準確閱讀題目,讀懂題意,通過推理證明,命題或結論之間互推,相互印證,也可舉反例判斷錯誤的命題或結論。

例11f(x)為定義在R上的偶函數,當x≥0時,有f(x+1)=-f(x),且當x∈[0,1)時,f(x)=log2(x+1),給出下列命題:①f(2016)+f(-2017)的值為0;②函數f(x)在定義域上是周期為2的周期函數;③直線y=x與函數f(x)的圖像有1個交點;④函數f(x)的值域為(-1,1)。其中正確命題的序號為____。

解析：根據題意,可在同一坐標系中畫出直線y=x和函數f(x)的圖像,如圖22所示,根據圖像可知:①f(2016)+f(-2017)=0正確,②函數f(x)在定義域上不是周期函數,所以②不正確,③根據圖像知只有一個交點,所以正確,④根據圖像,函數f(x)的值域是(-1,1),正確。

圖22

答案：①③④。

點評:正反互推法適用于多選型問題,這類問題一般有兩種形式:一是給出總的已知條件,判斷多種結論的真假;二是多種知識點的匯總考查。兩種多選題在處理上不同,前者需要扣住已知條件進行分析,后者需要獨立利用知識逐項進行判斷。利用正反互推法可以快速解決這類問題。

則正確命題的序號為____(寫出所有正確命題的序號)。

③由線性回歸方程的含義知命題正確。

⑤根據驗證可知得到一般性的等式是正確的。

答案：①③⑤。