50道填空題精選

■陜西漢中市漢中中學 左曉麗

■陜西洋縣中學 劉大鳴 (特級教師)

高考數學常見的填空題主要涉及簡易邏輯、直線與圓錐曲線的幾何性質、概率統計、排列組合及二項式定理、空間位置關系及體積面積的計算、導數、三角、向量、數列、不等式、函數等考點。

1.(2017屆湖南郴州市高三理第二次質檢)若命題p:“?x0∈R,2x0-2≤a2-3a”是假命題,則實數a的取值范圍是____。

3.(2017屆安徽六安一中高三一模)某公司為激勵創新,計劃逐年加大研發獎金投入。若該公司2016年全年投入研發資金130萬元,在此基礎上,每年投入的研發資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發資金開始超過200萬元的年份是____年。(參考數據:l g1.12=0.05,l g1.3=0.11,l g2=0.30)

4.(2017年江西五調)已知函數f(x)=e|x|,將函數f(x)=e|x|的圖像向右平移3個單位后,再向上平移2個單位,得到函數g(x)的圖像,函數h(x)=若對于任意x∈[3,λ](λ＞3),都有h(x)≥g(x),則實數λ的最大值為____。

5.(2017屆四川遂寧等四市高三一診聯考)已知函數y=f(x)與y=F(x)的圖像關于y軸對稱,當函數y=f(x)和y=F(x)在區間[a,b]同時遞增或同時遞減時,把區間[a,b]叫作函數y=f(x)的“不動區間”,若區間[1,2]為函數y=|2x-t|的“不動區間”,則實數t的取值范圍是____。

6.(2018屆廣西賀州市高三第四次聯考)已知[x]表示不大于x的最大整數,若函數f(x)=ax2+[x]x-1(a≠0)在(0,2)上僅有一個零點,則a的取值范圍為____。

7.(2018屆齊魯名校教科研協作高三第一次聯考)已知函數f(x)=關于x的方程f(x)=m(m∈R)有四個不同的實數解x1,x2,x3,x4,則x1x2x3x4的取值范圍為____。

則[f(a1009)]2-a1008a1010=____。

9.(2017屆廣東深圳市高三第二次調研)若數列{an},{bn}滿足a1=b1=1,bn+1=-an,an+1=3an+2bn,n∈N*,則a2017-a2016=____。

10.(2017屆云南曲靖一中高三月考四)已知點P(an,an+1)在曲線x-y+d2=0上,且a1＞0,a1+a2+…+a10=30,則a5·a6的最大值為____。

11.(2017年廣東佛山檢測)所有真約數(除本身之外的正約數)的和等于它本身的正整數叫作完全數(也稱為完備數、完美數)。如:6=1+2+3;28=1+2+4+7+14;496=1+2+4+8+16+31+62+124+248。此外,它們都可以表示為2的一些連續正整數次冪之和。如6=21+22,28=22+23+24,…,按此規律,8128可表示為____。

12.(2017屆廣東湛江市高三下學期第二次模擬)一名法官在審理一起珍寶盜竊案時,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下:甲說:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙說:“我沒有作案,是丙偷的”;丙說:“甲、乙兩人中有一人是小偷”;丁說:“乙說的是事實”。經過調查核實,四人中有兩人說的是真話,另外兩人說的是假話,且這四人中只有一人是罪犯,由此可判斷罪犯是____。

13.(2017年原創押題新課標卷Ⅰ預測卷2)分別計算31+51,32+52,33+53,34+54,35+55,…,并根據計算的結果,猜想32017+52017的末位數字為____。

15.(2017屆山西大同市第三次模擬)已知定義在R上的可導函數f(x)的導函數為f′(x),滿足f′(x)＜f(x),且f(x+3)為偶函數,f(6)=1,則不等式f(x)＞ex的解集為____。

17.(2017年第一次全國大聯考)設s,t是兩個不相等的正數,且有as+sl nt=at+tl ns,則s+t-s t的取值范圍為____。

20.(2017屆安徽合肥市高三第二次質檢)已知關于x的方程t( +1)cosxtsinx=t+2在(0 ,π)上有實根,則實數t的最大值是____。

圖1

21.(2018年遼寧遼南協作校一模)為了豎一塊廣告牌,要制造三角形支架,如圖2,要求∠ACB=60°,BC的長度大于1m,且AC比AB長0.5m,為了穩固廣告牌,要求AC越短越好,則AC最短為____。

圖2

22.(原創)設△ABC的內角A,B,C所對的邊長為a,b,c,且的最大值為____。

23.(2017屆廣東深圳市高三第二次調研)我國南宋時期著名的數學家秦九韶在其著作《數書九章》中獨立提出了一種求三角形面積的方法——“三斜求積術”,即△ABC的a,b,c分別為△ABC內角A,B,C的對邊。,則△ABC的面積S的最大值為____。

24.(2017屆百校聯盟高三4月質檢)已知△ABC的外接圓半徑為R,角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c,若asinBcosC+,則△ABC面積的最大值為____。

25.(2017屆陜西渭南市高三第二次質檢)已知向量a=(2 ,m),b=(- 1,2),若a⊥b,則a在向量c=a+b上的投影為____。

26.(2017屆河南普通高中高三4月質檢)已知邊長為2的菱形ABCD中,∠BAD=120°,若的取值范圍是____。

27.(2018年四川德陽市高三年級聯合測試)已知點A在線段BC上(不含端點),O是直線BC外一點,且的最小值是____。

28.(2017屆四川宜賓市高三第二次診斷檢測)在△ABC中,其面積為2,則t an2A·sin2B的最大值是 。

29.(2017屆安徽蕪湖市、馬鞍山市高三5月聯考模擬 )如圖3,莖葉圖表示的是甲,乙兩人在5次綜合測評中的成績,其中一個數字被污染,則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率為____。

圖3

30.(2017年原創押題預測卷2新課標卷Ⅱ)已知圓C:x2+y2-2x-2y-10=0,在圓C內任取一點,則該點到直線l:x+y-52-2=0的距離不大于2的概率為____。

32.(2017屆北京市西城區高三二模)大廈一層有A,B,C,D四部電梯,3人在一層乘坐電梯上樓,其中2人恰好乘坐同一部電梯,則不同的乘坐方式有____種。(用數字作答)

33.(2017年安徽合肥二模)已知5件產品中有2件次品,現逐一檢測,直至能確定所有次品為止,記檢測的次數為ξ,則E(ξ)=____。

34.(2016～2017學年中原名校高三下學期第一次聯考)如圖4(1),五邊形PABCD是由一個正方形與一個等腰三角形拼接而成的,其 中 ∠APD=120°,AB=2。 現 將△PAD沿AD進行翻折,使得平面PAD⊥平面ABCD,連接PB,PC,所得四棱錐PABCD如圖4(2)所示,則四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為____。

圖4

35.(2017年云南部分名校高三1月)表面積為60π的球面上有四點S,A,B,C,且△ABC是等邊三角形,球心O到平面ABC的距離為3,若平面S AB⊥平面ABC,則棱錐S-ABC體積的最大值為 。

36.(2017屆陜西漢中市4月模擬)如圖5中的三個直角三角形是一個體積為20cm3的幾何體的三視圖,則該幾何體外接球的面積(單位:cm2)等于____。

圖5

37.(2017屆江西南昌市高三第二次模擬)《九章算術》卷第五《商功》中有問題:“今有芻甍,下廣三丈,袤四丈,上袤二丈,無廣,高一丈。問積幾何。”意思是:“今有底面為矩形的屋脊狀的楔體,下底面寬3丈,長4丈;上棱長2丈,無寬,高1丈(如圖6)。問:它的體積是多少?”這個問題的答案是____。

圖6

39.(原創)已知點A(1-m,0),B(1+m,0),若圓C:(x-4)2+(y-4)2=1上存在一點P使得=0,則m的最大值為____。

42.(原創)已知拋物線的一條過焦_點F的弦PQ,點R在直線PQ上,且滿足,R在拋物線準線上的射影為S,設α,β是△PQ S中的兩個銳角,那么t anαt anβ=____。

43.(2017屆福建泉州市高三高考考前適應性模擬)已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,準線為l,P為拋物線C上一點,PQ垂直l于點Q,M,N分別為PQ,PF的中點,MN與x軸相交于點R,若∠NR F=60°,則FR 等于____。

44.(原創)設拋物線y2=4x的焦點為F,過點F作斜率為k(k＞0)的直線l與拋物線相交于A,B兩點(A在x軸上方),且P恰為AB的中點,過點P作y軸的垂線與拋物線交于點M,若|MF|=3,則直線l的方程為____。

45.(2017年第二次新課標卷Ⅱ全國大聯考)設F為拋物線C:y2=4x的焦點,過F的直線l與C相交于A,B兩點,線段AB的垂直平分線交x軸于點M,垂足為E,若|AB|=6,則|EM|的長為____。

46.(2017年遼寧沈陽市高三質量監測1)已知拋物線y2=4x的焦點為F,A,B為拋物線上兩點,若,O為坐標原點,則△AOB的面積為____。

47.(2017年第三次全國大聯考新課標卷Ⅰ)過點P(2,0)的直線交拋物線y2=4x于A,B兩點,若拋物線的焦點為F,則△ABF面積的最小值為____。

50.(原創)雙曲線與橢圓有公共的左、右焦點F1,F2,雙曲線的右支與橢圓有公共點,則橢圓與雙曲線離心率之積的最小值為____。

參考答案與解析：

1.[1,2] 【解析】“?x0∈R,2x0-2≤a2-3a”是假命題等價于?x∈R,2x-2＞a2-3a恒成立,即-2≥a2-3a,解得1≤a≤2。

2.-1【解析】由ex-1≠0,知定義域為(-∞,0)∪(0,+∞)。因為g(x)=x3是奇

3.2020【解析】設第n年開始超過200萬元,則130×(1+12%)n-2016＞200。

取n=2020,即開始超過200萬元的年份為2020年。

圖7

要使h(x)≥g(x)恒成立,只需4e6-x+2≥ex-3+2,所以4≥e2x-9,2x-9≤l n4,x≤l n2+。

圖8

當兩個函數單調遞增時,y=|2x-t|與的圖像如圖8(1)所示,易知≤t≤2;當兩個函數單調遞減時,y=|2x-t|的圖像如圖8(2)所示,此時y=|2x-t|關于y軸對稱的函數不可能在[1,2]上為減函數。

7.(0,1) 【解析】如圖9所示,即函數y=f(x)的圖像與直線y=m有四個不同的交點,則0＜m＜1,不妨設從左向右的交點的橫坐標分別為x1＜x2＜x3＜x4。當x＞0時,由對數函數的性質可知log2x3=-log2x4,x3x4=1,當x＜0時,由y=-x2-2x的對稱性知x1+x2=-2。又x1＜x2＜0,則-x1＞-x2＞0,(-x1)+(-x2)=2,所以0＜x1x2=(-x1)(-x2)＜

圖9

9.22017【解析】由題意得an+2=3an+1+2bn+1=3an+1-2an,所以an+2-an+1=2(an+1-an),則數列{an+1-an}是等比數列,公比為2。由已知得a2=3a1+2b1=5,則a2-a1=4,因此a2017-a2016=4×22016-1=22017。

10.9【解析】由點P(an,an+1)在曲線x-y+d2=0上,得an+1-an=d2,則{an}是等差數列,從而a1+a2+…+a10=5(a5+=9,當且僅當a5=a6=3時,等號成立,所以a5·a6的最大值為9。

11.26+27+…+212【解析】因為81288128=26×(1+2+…+26)=26+27+…+

12.乙 【解析】四人供詞中,乙、丁意見一致,或同真或同假。若同真,即丙偷的,而四人有兩人說的是真話,甲、丙說的是假話,甲說“乙、丙、丁偷的”是假話,即乙、丙、丁沒偷,相互矛盾;若同假,即不是丙偷的,則甲、丙說的是真話,甲說“乙、丙、丁三人之中”,丙說“甲、乙兩人中有一人是小偷”是真話,可知犯罪的是乙。

13.8【解析】由31+51=8,32+52=34,33+53=152,34+54=706,35+55=3368,36+56=16354,…,可猜想,3n+5n(n∈N*)的結果末位數字呈8,4,2,6循環,因為2017=504×4+1,所以32017+52017的末位數字為8。

15.(-∞,0) 【解析】因為y=f(x+3)為偶函數,所以f(x+3)=f(-x+3),所以圖像關于x=3對稱,所以f(6)=f(0)=1。設又因為f′(x)＜f(x),所以g′(x)＜0,所以g(x)在定義域上是單調遞減函數。因為f x()＞ex,所以g(x)＞1。又g(0)=1,所以g(x)＞g(0),所以x＜0。

圖10

圖11

20.-1【解析】由t( +1)cosx-tsinx=t+2得(t+1)2+t2sin(x+φ)=t+2有解的條件為t( +1)2+t2≥t( +2)2,解得t≥3,t≤-1。因為x∈(0,π),當t≥3時顯然不成立,故t≤-1,所以實數t的最大值-1。

21.(2+3)m 【解析】設BC的長度為xm,AC的長度為ym,則AB的長度為(y -0.5)m。在△ABC中,依余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB,即,y有最小值2+3。

23.3【解析】由題設可知:

當a2=4?a=2時,

26.2,3( ] 【解析】如圖12所示,建立平面直角坐標系,故P0,m( )(-1＜m＜1),

圖12

28.3-22【解析】由已知條件可得,abcosπ-C( )=-abcosC=22?abcosC22,所以t anC=-1。又因為C∈0,π(),

圖13

圖14

35.27【解析】幾何體的圖形如圖14。因球的表面積為60π,所以球半徑為 15,由于面S AB⊥面ABC,所以點S在平面ABC上的射影D落在AB上。由于OO′⊥平面ABC,S D⊥平面ABC,即有OO′∥S D。當D為AB的中點時,S D最大,棱錐S-ABC的體積最大。由于OC=15,OO′=3,則 CO′=23,DO′=3,則△ABC是邊長為6的正三角形,則△ABC的面積為S=×62=93。在直角梯形S DO′O中,作OE⊥S D于點E,OE=DO′=3,DE=OO′=3,S D=DE+S E=3+15-3=33,故三棱錐S-ABC的體積V

36.77π 【解析】從題設中提供的三視圖中的圖形信息及數據信息可知該幾何體是底面邊長分別為5,6的直角三角形的三棱錐,如圖15,設高為h,由題×6h=5h=20,所以h=4,由題意知該幾何體的外接球的直徑即是長方體的對角線,即2R=42+52+62=77,則其表面積S=4πR2=77π。

圖15

37.5立方丈 【解析】如圖16,過點E,F分別作平面EGJ和平面FHI垂直于底面,所以幾何體的體積分為三部分,中間是直三棱柱,兩邊是兩個一樣的四×1=5(立方丈)。

圖16

39.6【解析】圓心C(4,4),圓C的半徑r=1,設圓上存在一點P(x0,y0)=(1-m-x0,-y9),=(1+m-x0,-y0),所m2=(x0-1)2+y20,即m為圓上的動點P與定點M(1,0)之間的距離。當|PM|最大時,m取得最大值,因為|PM|的最大值為|MC|+1=(4-1)2+42+1=6,故m的最大值為6。

40.2x-4y+3=0【解析】由題意得,當CM⊥AB時,∠ACB最小,從而直線方程為

圖18

42.1【解析】由拋物線知識可知△PQ S是直角三角形,則

43.2【解析】因為M,N分別是PQ,PF的中點,所以MN∥FQ,且PQ∥x軸。因為∠NR F=60°,所以∠FQ P=60°,由拋物線定義知,PQ =PF,所以△FQ P為正三角形,則FM⊥PQ?QM=p=2,正三角形FQ P的邊長為4,PQ=4,FN=2。又△FRN為正三角形,所以FR=2。

44.x-2y-1=0【解析】設M(x0,y0),P(xP,yP),由拋物線定義得 MF=x0+1=3,所以x0=2,代入拋物線方程y2=4x中得y0=yP=22。設A(x1,y1),B(x2,y2),且y21=4x1①,y22=4x2②,y1+y2=42,①②兩式相減整理得k=,所以直線的方程為x-2y-1=0。

45.6【解析】由已知得F(1,0),設直線l的方程為x=m y+1,并與y2=4x聯立得y2-4m y-4=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點E(x0,y0),則y1+y2=4m,E(2m2+1,2m)。又因|AB|=x1+x2+2=m(y1+y2)+4=4m2+4=6,解得線段AB的垂直平分線為y-2m=-m(x-2m2-1),令y=0,得 M(2m2+3,0),從而|ME|=4+4m2=6。

圖19

【解析2】如圖20所示,設|BF|=m,則|AD|=|AF|=3m,|AG|=2|OF|=2,故

圖20

47.22【解析】設點A(x1,y1),B(x2,y2)(y1＞0,y2＜0。①當直線AB的斜率不存在時,易知直線AB的方程為x=2,此時將x=2代入拋物線的方程y2=4x中,得y2=8,解得y=±22,所以點A,B的坐標分別為(2,22),(2,-22),所以△ABF的面積為AB的斜率存在時,設斜率為k,顯然k≠0,故直線AB的方程為y=k(x-2)。聯立消去y得k2x2-(4k2+4)x+4k2=0,且Δ=32k2+16＞0,由根與系數的關系得y1y2=(2x1)(-2x2)=-4x1x2=-8,所以△ABF面積

綜上,△ABF面積的最小值為22。

圖21

49.126【解析】如圖21,設雙曲線的左焦點為F1,由雙曲線定義知,|PF|=2a+|PF1|,所以△APF的周長為|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+2a+|PF1|+|AF|=|PA|+|PF1|+|AF|+2a,由于2a+|AF|是定值,要使△APF的周長最小,則|PA|+|PF1|最小,即P,A,F1共線,因為A0,66( ),F1(-3,0),所整理得y2+66y-96=0,解得y=26或y=-86(舍),所以P點的縱坐標為26,S△APF=S△AFF1-