與熱庫耦合的光學腔內三原子間的糾纏動力學?

邢貴超 夏云杰

(曲阜師范大學物理工程學院,山東省激光偏光與信息技術重點實驗室,曲阜 273165)

1 引 言

量子糾纏[1,2]是量子力學最顯著的特征之一,是量子信息理論[3]的重要課題.它在量子隱形傳態、量子密集編碼、量子糾錯、量子密鑰分配和量子計算等[4?10]方面發揮著重要作用.近幾年,量子糾纏在量子信息處理中發揮著越來越重要的作用,從而引起了人們更加廣泛的關注.然而,由于實際系統不可避免地會與周圍環境發生相互作用,進而導致糾纏隨時間不斷衰減,甚至在有限時間內完全消失,即出現糾纏突然死亡(ESD)[11,12].近年來,人們開始從不同的角度探討如何來保護糾纏.例如,宗曉嵐等[13]利用弱測量和反轉測量的方法來保護多粒子的糾纏.因此,了解開放量子系統在各種環境下的動力學性質,并通過優化耦合參量來對系統進行調控具有重要意義.

對開放量子系統動力學,特別是針對零溫環境的研究有了較為成熟的方法[14].到目前為止,人們從獨立環境和共同環境兩個角度分別研究了原子間的糾纏演化特性.例如,Yu和Eberly[15]研究了兩個相互糾纏的二能級原子分別與不同的腔作用出現了糾纏死亡的現象;Wu和Zhang[16]研究了分別囚禁在被Kerr介質填充的腔中的兩個二能級原子間的糾纏特性.但是,由于多體糾纏度本身的復雜性和不完善性,多體糾纏的研究在某些方面受到了限制.最近,Bai等[17,18]研究了多個量子比特分別與各自獨立的腔作用的糾纏動力學.對于共同環境,Maniscalco等[19]研究了兩個原子與同一環境作用的糾纏動力學以及通過量子芝諾效應保護糾纏.Bellomo等[20]研究發現糾纏在有限時間內死亡后會出現糾纏復蘇的現象,這是因為非馬爾科夫熱庫具有記憶效應.賀志和李龍武[21]通過精確求解帶有偶極-偶極相互作用的兩個二能級原子與一個共同熱庫相互作用模型,得到了兩原子間量子糾纏和量子失諧的解析表達式.相對于二體系統,三體或多體系統的糾纏更加復雜.例如,Ma等[22?24]研究了對于不同的共同環境中的三原子的糾纏動力學.封玲娟和夏云杰[25]研究了三個二能級原子與共同熱庫發生相互作用的系統糾纏動力學演化.

最近,文獻[26,27]分別研究了有熱庫耦合的光學腔內兩個相互作用的二能級原子間的糾纏動力學以及系統馬爾科夫和非馬爾科夫動力學的轉換,但是對于更復雜體系的研究尚未完善.基于此,本文研究了有熱庫耦合的光學腔內三個相互作用的二能級原子間的糾纏動力學和系統的糾纏轉移.

2 理論模型

考慮三個全同的相互作用的二能級原子A,B,C(為了處理的方便,我們假設三原子兩兩相互作用強度均為D,實驗上可以由三個原子在光學腔中形成等腰三角形結構來實現)與一個同零溫玻色庫耦合的光學腔相互作用,假設原子間距離小于腔場波長,使得原子間偶極-偶極相互作用不可忽略.系統的總哈密頓量可以寫成:

其中,ω0, ωc和ωk分別為原子的躍遷頻率、腔場的本征頻率和熱庫的第k個模式的頻率;和分別為第i(i=1,2,3)個原子的贗自旋算符分別為原子的激發態和基態);a和a+分別為光子的淹沒和產生算符,bk和分別為熱庫第k個模式的淹沒和產生算符;D,κ和gk分別為原子間偶極-偶極相互作用強度、原子與腔場耦合強度和腔與熱庫第k個模式的耦合強度.為方便,令ω0=ωc.

假設三原子A,B,C初始處于W型糾纏態,初始時刻腔場和熱庫均處于真空態,則整個體系的初態可表示如下:

將(4)式代入相互作用繪景中的薛定諤方程

可以得到關于演化系數的微分方程組:

考慮ak(0)=0對(6)式進行積分得:

將(11)式代入(10)式得:

其中,參數γ ,λ ,?分別代表腔場與熱庫的耦合強度、熱庫的譜寬度和腔場與熱庫的失諧量.當λ>2γ時,腔場與熱庫之間為弱耦合,反之,為強耦合.通過引入關聯函數f(t?t′)來定義下面關于熱庫譜密度J(ω)的傅里葉變換:

(12)式可以重新寫為

對(7),(8),(9)式以及(15)式進行拉普拉斯變換,得:

3 數值計算與理論分析

利用下限共生(LBC)和共生糾纏(concurrence)方法分別度量三原子間糾纏以及腔場和熱庫間的糾纏.

利用(4)式對三原子求跡得腔場與熱庫的約化密度矩陣在基矢下表示為

對于兩體糾纏度量, 基矢空間為{|00〉,|01〉,|10〉,|11〉}的X型量子態密度矩陣為

它們可以用Wootters提出的共生糾纏(concurrence)[28]來度量:

根據共生糾纏得到腔與熱庫的糾纏度為

對于三量子比特的糾纏度量,通常有文獻[29]提出的LBC和文獻[30]提出的三體部分轉置負本征值等方法.本文采用下限共生方法,其表示如下[31]:

其中,

對(23)式和(20)式做數值計算,可得三原子糾纏以及腔場與熱庫間糾纏隨時間t的演化規律如圖1—圖4所示.比較圖像可以看出系統的糾纏動力學.

4 不同耦合參數對系統糾纏的影響

4.1 原子間耦合強度對系統糾纏的影響

圖1(a)和圖1(b)分別描述原子與腔場耦合強度κ一定時,腔場與熱庫弱耦合情況下,對于不同的原子間耦合強度,原子之間糾纏以及腔場與熱庫間糾纏隨時間的演化.由圖可以看出,一定時間內原子之間的耦合強度越強,原子間糾纏越大、腔場與熱庫間的糾纏越小.出現此現象的原因是原子量子態由態躍遷到態時產生光子,當D=0和D=0.1γ時,原子間相互作用相比于原子與腔場的相互作用較小,所產生的光子被腔場吸收的概率大于原子量子態由態躍遷到態時光子被吸收的概率,所以減小(n=1,2,3),由(23)式原子間糾纏度C3的表達式可知,原子間糾纏也減小,且一定時間內呈現單調遞減的趨勢.隨著原子間的相互作用增強,原子躍遷得到光子的概率變大,腔場得到光子的概率變小,相應三原子間的糾纏度變大,腔場與熱庫間的糾纏變小.當D=γ時,原子間相互作用相比于原子與腔場間的相互作用較大,所產生的光子被腔場吸收的概率小于原子量子態由態躍遷到態時光子被吸收的概率.隨時間的演化,光子不斷地產生,不斷地被吸收,此過程不斷循環發生.但由于腔場與環境的相互作用會導致光子的泄露,所以重吸收光子的概率逐次遞減直至消失,表現為圖像呈現振蕩衰減趨勢.通過數值計算,當時間趨于無窮大時3),所以原子間糾纏最終趨于一不為零的穩定值.對比圖1(c),可以看出腔場與熱庫強耦合時與弱耦合時三原子間有相似的糾纏動力學行為.

圖1 腔場與熱庫弱耦合情況下,對于不同的原子間耦合強度D,(a)三原子間的糾纏隨時間t的演化,(b)腔場與熱庫間的糾纏隨時間t的演化,參數5γ,κ=0.1γ,?=0,γ=1;(c)腔場與熱庫強耦合情況下,對于不同的D三原子間的糾纏隨時間t的演化,參數λ=0.2γ,κ=0.1γ,?=0,γ=1Fig.1.(a)The entanglement of three atoms as a function of scaled time t,(b)the entanglement of cavity and reservoir as a function of scaled time t for a weak coupling regime between the cavity and reservoir and different dipole-dipole interaction strength D,param-etersλ=5γ,κ=0.1γ,?=0,γ=1,(c)the entanglement of three atoms as a function of scaled time t for a strong coupling regime between the cav-ity and reservoir and di ff erent dipole-dipole interac-tion strength D,parametersλ=0.2γ,κ=0.1γ,?=0,γ=1.

4.2 原子與腔場耦合強度對系統糾纏的影響

圖2(a)和圖2(b)分別描述的是在原子間不存在偶極-偶極相互作用,腔場與熱庫弱耦合情況下,對于不同的原子與腔場間耦合強度κ,三原子間的糾纏以及腔場與熱庫間的糾纏隨時間t的演化.由圖可看出,在短時間內,原子間糾纏隨著原子與腔耦合強度的增加而減小,在長時極限下趨于穩定值.κ較大時,三原子間的糾纏隨時間t的演化出現明顯的周期性振蕩衰減行為.腔場與熱庫強耦合時,會出現相似的糾纏動力學行為.腔場與熱庫間糾纏由零增大到一定值后最終減小為零,腔與庫之間的糾纏在短時間內隨原子與腔的耦合強度的增加而增加,當原子與腔場耦合強度較強時會出現振蕩.由圖可知,當κ=0.1γ和κ=0.2γ時,原子與腔場間耦合較弱,由圖像可以看出糾纏沒有出現振蕩衰減現象,說明流入環境的信息沒有重新流回原子系統,即糾纏在演化過程中出現馬爾科夫效應.當κ=2γ時,由圖可以看出糾纏出現振蕩衰減的現象,也就是流入環境的信息在系統演化過程中重新流回原子系統,從而導致原子間糾纏出現了非馬爾科夫效應.

圖2 腔場與熱庫弱耦合情況下,對于不同的原子與腔場耦合強度κ,三原子間的糾纏(a);腔場與熱庫間的糾纏(b)隨時間t的演化;參數:=5γ,D=0,?=0,γ=1Fig.2.(a)The entanglement of three atoms as a function of scaled time t;(b)the entanglement of cavity and reservoir as a function of scaled time t for a weak coupling regime between cavity and reservoir and di ff erent coupling strength κ.Parameters:=5γ,D=0,?=0,γ=1.

4.3 熱庫譜寬對原子間糾纏以及非馬爾科夫性的影響

當λ<2γ時,熱庫與腔場為強耦合,原子與腔場組成的系統遵循非馬爾科夫動力學.由圖可以看出,λ=0.5γ時,糾纏突然死亡后出現了復蘇,說明從環境到原子系統有了信息的回流,表現出非馬爾科夫效應.λ=γ時,此時原子與腔場組成的系統雖然遵循非馬爾科夫動力學,但由圖像可以看出,原子間糾纏單調遞減,沒有和外部環境的信息交流,表現出馬爾科夫效應.隨著λ增加,當λ=5γ以及λ=100γ時,熱庫和腔場為弱耦合,系統遵循馬爾科夫動力學,但從原子系統到環境出現了信息的交流,表現出非馬爾科夫效應.結合3.2節可以看出體系的非馬爾科夫效應由參數κ和λ共同決定.

圖3 當系統初始態為最大糾纏態,對于不同的熱庫譜寬λ,三原子間的糾纏隨時間t的演化0.3γ,D=0,?=0,γ=1)Fig.3.The entanglement of three atoms as a function of scaled time t for di ff erent λ when the initial state is the maximally entangled state parameters:κ=0.3γ,D=0,?=0,γ=1.

4.4 腔場與熱庫失諧對系統糾纏的影響

圖4(a)和圖4(b)分別給出了在腔場與熱庫耦合強度較弱和較強時原子間糾纏在不同失諧情況下隨時間t的演化.可以看出當腔場與熱庫耦合強度較弱時,三原子間糾纏隨失諧量的增加而增加,但不是特別明顯,最終在長時極限下趨于一穩定值.當腔場與熱庫耦合強度較強時,隨失諧量的增大,原子間糾纏增加,呈現周期性振蕩.由于失諧可以抑制從原子到腔場以及熱庫間的糾纏轉移,因此失諧可以抑制熱庫耗散對原子間糾纏衰減的影響,使得原子間糾纏增強而腔與熱庫間糾纏減弱.因此,調整失諧可以加強對原子間糾纏的利用.

圖4 對于不同的失諧量?,三原子間糾纏隨時間t的演化 (a)腔場與熱庫弱耦合的情況下,0.1γ,D=0,λ=5γ,γ=1;(b)腔場與熱庫強耦合的情況下,κ=0.1γ,D=0,λ=0.2γ,γ=1Fig.4.The entanglement of three atoms as a function of scaled time t for di ff erent values of detuning in terms of?:(a)Under weak co upling regimes between the cavity and reservoir,κ=0.1γ,D=0,λ=5γ,γ=1;(b)under strong co upling regimes between the cavity and reservoir,κ=0.1γ,D=0,λ=0.2γ,γ=1.

5 結 論

本文以三個相互作用的二能級原子與一個同零溫玻色庫耦合的光學腔相互作用為模型,研究腔內三個原子之間以及腔與熱庫之間的糾纏動力學.分別研究了原子間耦合強度、原子與腔耦合強度、熱庫譜寬度以及腔場和熱庫的失諧量對原子間以及腔場與熱庫間糾纏動力學的影響.研究發現:原子間糾纏隨著原子間耦合強度的增加而增加,隨原子與腔場間耦合強度的增加而減小;體系的非馬爾科夫性由參數κ和λ共同決定;調整腔場與熱庫的失諧可以有效抑制熱庫耗散對糾纏衰減的影響.

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