內插擴張室聲子晶體管路帶隙特性研究?

張振方 郁殿龍劉江偉 溫激鴻

(國防科技大學,裝備綜合保障技術重點實驗室,長沙 410073)

1 引 言

管路系統廣泛應用于工業、船舶、軍事、航空航天等領域之中.管路振動噪聲是指管路自身的機械振動或管路內的流體運動誘發的振動噪聲現象,主要包括機械振動誘發的結構噪聲和流體誘發的水動力噪聲[1].管路振動噪聲會減少管路的使用壽命,而且輻射到外界的噪聲也會對人們的健康造成一定的影響.

管路的振動與噪聲控制,可以在管路中布置撓性接管、橡膠減震器、黏彈性高阻尼材料、彈性接頭、消聲接頭[2]等.對于空氣聲傳播而言,比較有效的抑制管路中氣體噪聲的一種方法就是在管路中安裝消聲器,消聲器是一種能夠允許流體介質通過,并且能夠抑制聲傳播的裝置.在管路的截止頻率以下,可以假定在管路中傳播的只有平面波,高階模態為耗散波,這種假設下的消聲器消聲性能的計算理論稱為一維平面波理論.一維平面波理論在頻率較低時能夠比較準確地預測消聲器的聲學性能,但對于研究頻率較高或者是尺寸較大的消聲器,其內部聲波高階模態的影響不可忽略.在這種情況下,一維平面波理論不再適用,此時就要考慮用二維或者三維解析方法計算消聲器的聲學性能[3].

相龍洋等[4]提出用二維解析方法研究車用兩腔抗性消聲器的傳遞損失特性,并與實驗結果進行對比,驗證了該解析方法的正確性;在此基礎上,分析了結構參數對兩腔抗性消聲器的影響.方智等[5]針對雙腔結構的消聲器,提出了基于子域劃分的耦合方法,將消聲器分為不同的子域,用數值模態匹配法求解單個子域的傳遞矩陣,利用連續條件獲得消聲器的整體傳遞矩陣,進而獲得傳遞損失,通過與有限元方法對比,驗證了該方法的正確性.Guo等[6]利用二維方法對穿孔管消聲器的消聲性能進行了研究,通過二維方法推導出傳遞矩陣,利用傳遞矩陣求解多腔室消聲器的傳遞損失,計算結果與實驗結果在研究范圍內符合較好,并利用二維方法對多腔室進行了結構優化.

聲子晶體是由兩種或兩種以上的介質或結構組成的具有彈性波帶隙特性的周期復合材料或結構[7].聲波在聲子晶體中傳播時,受到其內部結構以及周期布置的作用,會在特定的頻率產生帶隙,從而抑制聲波的傳播[8?11],利用這一特點,通過設計周期附加結構,可以實現特定頻率范圍內的噪聲控制.聲子晶體的理論計算方法較多,常用的有傳遞矩陣法、平面波展開法、集中質量法等[12?14].劉江偉等[15]利用傳遞矩陣建立了周期附加質量充液管路帶隙理論模型,深入分析了影響帶隙的因素,為充液管路減振提供了新思路.溫激鴻等[16]將一維聲子晶體元胞簡化為彈簧振子結構,在此基礎上提出了一種計算彈性波帶隙的集中質量法,計算結果與傳統的平面波展開法符合,且收斂性好.Hou等[17]基于模態匹配理論對嵌入環氧樹脂的鉛條組成的二維聲子晶體的傳輸特性進行了理論計算,計算結果和能帶結構對應較好.近年來,利用聲子晶體帶隙特性開展結構減振降噪已經得到深入研究,并取得了重要進展[18?20].

在低頻率、較寬頻段內實現噪聲控制是目前管路噪聲控制的難題[21],單個消聲器往往很難滿足控制要求,將聲子晶體理論引入到管路降噪設計中,可以在較低頻率、較寬范圍內實現管路噪聲控制[22?24].Yu等[25]研究了周期管路系統的聲振耦合特性,發現帶隙特性可以實現振動和噪聲的綜合控制;沈惠杰[26]通過在海水管路中周期排布簡單擴張腔、內插式擴張腔、亥姆霍茲共振腔,結合平面波理論揭示了消聲器周期管路帶隙的形成機理,并通過設計周期排布混合室消聲器得到較寬的聲波帶隙.Shi和Mak[27]利用一維傳遞矩陣法研究了周期排布的微穿孔管消聲器消聲性能,分析了其帶隙產生的機理,證明了其在周期排布之后,能夠在較低頻段產生較好的消聲效果.帶隙耦合方面,曹曉豐等[28]采用理論與數值方法研究了周期性附加單腔赫姆霍茲共鳴器一維管路的聲傳播特性,發現可以通過調節結構參數實現帶隙耦合.Li等[29]利用傳遞矩陣法對充液周期排布赫姆霍茲共鳴器管路系統進行研究,分析了布拉格和局域共振帶隙產生的機理,并詳細討論了結構參數對兩種帶隙耦合的影響.

對于消聲器聲子晶體管路,目前的研究大都基于一維平面波理論,當消聲器內部的高階模態聲波不能忽略時,這種方法是不準確的.在帶隙耦合研究方面,主要研究布拉格和局域共振之間的耦合機理,但管路系統可能存在多個局域共振帶隙,在一定條件下也可以實現它們之間的耦合.本文基于管路中聲傳播的控制方程,采用二維模態匹配法研究了內插管擴張室消聲器聲子晶體管路的能帶結構特點以及帶隙耦合機制.

2 二維模態匹配法

2.1 模態幅值系數求解

對于如圖1所示的軸對稱圓形同軸內插管擴張室消聲器,可以采用二維軸對稱模態匹配法進行計算.將消聲器分為A,B,C,D,E 5個區域,a1為進出口管道半徑,a2為擴張室半徑,L為擴張室總長度,S+n和S?n分別代表各個區域沿Z正方向和負方向傳播的第n階模態幅值系數,l1和l2分別表示進口和出口處的內插管長度,lc為除去插管長度后的擴張室長度.

圖1 具有外插進出口的圓形同軸擴張室消聲器Fig.1.Concentric circular expansion chamber with extended inlet/outlet.

空間簡諧聲波的Helmholtz方程[3]:

其中k為波數,滿足:k=ω/c=2πf/c,ω為角頻率,c為聲速.

對于半徑為r圓形管道,使用柱坐標系下的Helmholtz方程,并利用分離變量的方法可以得到管道內聲波傳播的解析表達式為

其中Ps為S區域的聲壓,Φs,n(r)表示聲波傳播的本征函數,ks,n表示軸向波數.

進一步,由聲壓表達式可以得到質點振動速度表達為

式中,ρ0為空氣密度.

對于內插擴張室消聲器,取進口端部作為軸向坐標系原點,分別得到各個區域的聲波本征函數表達式.

區域A,C,E為等截面圓形直管,其本征函數可以表示為:

區域B,D為環形管道,其本征函數可以表示為

式中,J0表示第一類0階貝賽爾函數,J1表示第一類1階貝賽爾函數,Y0表示第二類0階貝塞爾函數,Y1表示第二類1階貝塞爾函數.

αn ,βn由質點振速在徑向的邊界條件決定:

各個區域第n階模態的軸向波數為:

由消聲器左右兩端剛性壁面質點振動速度為零,可以得到

根據消聲器進出口截面聲壓和質點速度連續,可以得到

由剛性壁面邊界條件可得:

在方程的兩邊同時乘以相應的本征函數并在給定區域求解積分,通過求解積分值,可以得到含有模態幅值系數的方程組[30?32]:

以上方程組含有8(n+1)個模態幅值系數現做出如下假設[6]:1)進口管的入射波為平面波,為了方便求解,取其幅值為1,即有,2)出口管處為消聲末端,不存在反射波,即有,于是模態幅值系數個數變為6(n+1),為了求解方程組,可以將無限個模態截斷成有限個模態,這里取s=n=N,可以得到6(N+1)個未知量和6(N+1)個方程,求解這些方程組,可以得到相應的模態幅值系數.

2.2 傳遞矩陣和傳遞損失的確定

假設入口和出口處管道內傳播的是平面波(高階模態為耗散波),那么入口和出口處的聲壓和質點振速可以用傳遞矩陣T來表達:

四極參數可以通過使用兩種不同的出口邊界條件來分別求出:1)假設出口處的質點振速為0,即有可以求解出T11和T21;2)假設出口處的聲壓為0,即有可以求解出T12和T22;即有

將兩種出口邊界條件分別代入到模態幅值系數方程組中,求解兩次,即可求得其傳遞矩陣對應的四極參數.

根據傳遞損失的定義,由求解的模態幅值系數可以得到單個消聲器的傳遞損失:

對于m周期排布的有限周期管路,整體的傳遞矩陣可以表示為

進而整體的傳遞損失為

2.3 聲子晶體管路帶隙計算方法

通過二維模態匹配法可以求出消聲器單個元胞的傳遞矩陣,結合Bloch定理,可以對消聲器一維聲子晶體能帶結構進行計算.圖2所示為周期排布的管路系統.

圖2 擴張室消聲器聲子晶體管路Fig.2.The phononic crystal pipe consisting of expansion chambers.

對于無限周期管路,由Bloch定理得[7]

q為Bloch波矢,a為晶格常數;于是,由上述兩式可得

通過求解矩陣T的特征值,即可得到波矢與頻率之間的色散關系.

3 算例及分析

3.1 無限周期的能帶結構

以圖3所示的周期排布的單邊內插的擴張室消聲器為例,首先計算無限周期的能帶結構.消聲器的具體結構參數為:進出口管徑及擴張室直徑為d1=0.0486 m,d2=0.1532 m;擴張室長度為L=0.2823 m,內插管的長度分別為l1=0.08 m,l2=0 m;晶格常數a=0.6823 m.

圖3 單邊內插擴張室消聲器聲子晶體管路Fig.3.The phononic crystal pipe consisting of expansion chambers with single extended inlet.

采用二維方法計算,可以得到如圖4所示的能帶結構圖.其中波矢實部表示對應頻率的聲波能夠在管路中傳播,而波矢虛部則表示對應頻率聲波的衰減,其值大小表示聲波衰減的強弱.從圖中可以看出,在2000 Hz范圍內存在多個帶隙,可以有效地改變管路在這些頻率下的消聲性能,其在低頻段產生的聲波帶隙可以用于管路低頻噪聲的控制中.進一步的研究可以發現,由于結構的周期排布而引起的布拉格反射形成了圖中眾多的布拉格帶隙(圖中陰影部分為一階布拉格帶隙),其中心頻率滿足:

計算可得布拉格帶隙的前兩階中心頻率分別為249 Hz,498 Hz,與能帶結構圖中前兩個拱形區域對應的中心頻率231 Hz與481 Hz基本符合.

圖4 二維模態匹配法計算的消聲器聲子晶體管路能帶結構圖Fig.4.The band structure of phononic crystal pipe consisting of expansion chambers calculated by twodimensional method.

從波矢虛部圖中還可以看出,在940 Hz附近出現了一個尖峰,對應的衰減達到最大,此時的帶隙為局域共振帶隙(圖中剖面線部分)局域共振帶隙的出現與內插管引起的擴張室內部共振有關.圖5和圖6分別為940 Hz時的消聲器內部的聲壓以及質點振速分布圖,可以看出,在940 Hz下,消聲器內部的聲壓和質點運動主要集中在內插管與擴張室之間的區域,而出口處的聲壓和振速較低.

圖5 消聲器內部在940 Hz下的聲壓分布Fig.5.The sound pressure distribution in the muffler at 940 Hz.

圖6 消聲器內部在940 Hz下的質點速度分布Fig.6.The particle velocity distribution in the muffler at 940 Hz.

3.2 有限周期的傳輸特性

理想的消聲器聲子晶體有無窮多個周期,其能帶結構是基于無限周期計算而來的,但實際工程中的管路結構只能是有限周期.

圖7 有限周期管路Fig.7.Pipe offi nite periodic structure.

圖7為有限周期排布的內插管擴張室聲子晶體管路示意圖,利用二維方法,分別做出周期數m=1,3,5時的傳遞損失,如圖8所示.可以看出,在周期排布之后,傳遞損失的較大的傳輸衰減區域與能帶結構圖中的帶隙范圍基本符合.而且,通過與單個消聲器的消聲性能對比可以發現,隨著周期排布的消聲器的數量增加,布拉格反射和共振的作用增強,周期排布之后的消聲性能與單個消聲器有很大的差別.例如,在0—600 Hz,單個消聲器只有一個拱形峰,而在周期排布之后,由于布拉格散射作用會出現兩個拱形峰,而且峰值較單個消聲器有很大的提升.在800—1000 Hz,隨著周期數的增加,由共振引起的消聲尖峰的峰值和消聲帶寬都有所增加.

進一步分析帶隙頻率范圍內的衰減情況,由消聲量(transmission loss)和透射系數(transmission coefficient)的關系:tI表示透射系數,可得

圖8 二維模態匹配法計算的有限周期消聲器聲子晶體管路傳輸特性Fig.8.The transmission loss of phononic crystal pipe consisting of mufflers calculated by two-dimensional method.

圖9 帶隙頻率范圍內的透射系數 (a)一階布拉格帶隙;(b)局域共振帶隙Fig.9. The transmission coefficient in band gaps:(a)First Bragg band gaps;(b)locally-resonant band gaps.

以一階布拉格帶隙和局域共振帶隙為例,分別做出兩種頻率范圍內的透射系數曲線,為了表示透射系數隨周期數的變化情況,縱坐標取對數,如圖9所示.

從圖中可以看出,無論是在布拉格帶隙頻率范圍還是在局域共振帶隙頻率范圍內,聲波的透射系數都很小,并且隨著周期數的增加,透射系數呈指數衰減.其中,布拉格帶隙的最大衰減位于中心頻率附近,而局域共振帶隙的最大衰減位于共振頻率處,對比還可以看到局域共振帶隙頻率范圍內的衰減遠遠大于布拉格帶隙頻率范圍內的衰減.這表明所設計的聲子晶體管路對聲波的抑制是由帶隙特性引起的,而不是由于消聲器內部的阻抗失配引起的.

4 算法驗證與收斂性分析

4.1 算法驗證

為了進一步驗證二維模態匹配法在計算消聲器聲子晶體管路帶隙的準確性,針對前述聲子晶體管路,分別采用一維平面波理論以及COMSOL有限元法計算其能帶結構,并與二維方法進行對比研究.

從圖10(a)可以看出,基于平面波理論的一維方法計算結果僅僅在低頻處與二維方法計算結果一致,隨著頻率的增加,兩者的差別增大,且在局域共振帶隙頻率范圍處,二維方法相比于一維方法計算得到的帶隙更加明顯.通過二維方法與COMSOL有限元法結果對比可以看出,二維方法和有限元法計算結果在整個頻段內符合較好.從COMSOL計算結果來看,在1234 Hz和1406 Hz處,波矢實部會出現兩條平直帶.進一步分析,分別計算消聲器在不同特征頻率下的內部聲壓分布,可以看出,在兩條平直帶對應的頻率下,消聲器內部聲場只在擴張室內出現了兩種特殊模式的對稱聲壓模態,連接管處并無聲壓分布,其能帶主要是由于周期條件下擴張室內部特殊的模態分布行成的.

圖10 能帶結構對比圖 (a)一維方法和二維方法能帶結構對比;(b)COMSOL有限元法和二維方法能帶結構對比Fig.10.The comparisons of band structure:(a)Comparisons between one-dimensional method and twodimensional method;(b)comparisons between FEM and two-dimensional method.

圖11 不同特征頻率下的聲壓分布 (a)621 Hz;(b)1234 Hz;(c)1406 HzFig.11. The pressure distribution at the muffler in different characteristic frequencies:(a)621 Hz;(b)1234 Hz;(c)1406 Hz.

圖12 一維方法、二維方法、有限元法的傳輸特性對比Fig.12.The comparisons of TL among one-dimensional method,two-dimensional method and the f i nite element method.

分別用一維、二維以及有限元法計算5個周期的傳遞損失,如圖12.可以看出,在傳輸特性計算方面,二維方法與有限元法計算結果在整個頻段都符合較好,而一維方法偏差較大.其主要原因是,由于截面突變以及內插管的引入,消聲器內部截面不連續處的高階模態波的影響不可忽略.圖13為消聲器內部在500 Hz和2000 Hz下的聲壓等值線分布圖,可以看出,無論是在低頻500 Hz還是高頻2000 Hz處,消聲器內部都有著較多的非平面波傳播模式.而二維模態匹配法能夠充分地考慮到管中高階模態波的影響,所以在研究頻率范圍內都能有較好的預測效果.

圖13 消聲器內部聲壓等值線分布 (a)500 Hz;(b)2000 HzFig.13.The sound pressure contour distribution in the muffler at(a)500 Hz and(b)2000 Hz.

4.2 收斂性分析

在利用模態匹配法計算各區域的模態幅值系數時,需要取有限的模態階數進行計算,階數N的取值主要取決于所研究的消聲器的尺寸以及頻率范圍[34].取N從0—5,在不同的截斷模態數下計算其能帶結構,分別研究圖4中F點(一階布拉格帶隙起始頻率點),G點(一階布拉格帶隙截止頻率點),H點(局域共振頻率點)處的頻率變化.

從圖中可以看出,無論是布拉格還是局域共振帶隙頻率,都隨著N的增加,逐漸逼近準確值,在N>3時,頻率的變化已經很小.這表明,二維方法在計算消聲器聲子晶體的能帶結構時,有較好的收斂性和更高的計算精度.

圖14 一階布拉格帶隙頻率隨模態階數變化Fig.14.The change offi rst Bragg band gaps with the modal order.

圖15 局域共振帶隙頻率隨模態階數變化Fig.15.The change of locally-resonant band gaps with the modal order.

5 影響因素及帶隙耦合分析

5.1 晶格常數對帶隙的影響

基于帶隙計算的二維方法,首先研究晶格常數對帶隙的影響.

內插管擴張室的具體參數保持不變,只改變晶格常數,分別另a=0.4823 m,a=0.6823 m,得到如圖16的能帶結構.從圖中可以看出,當晶格常數增加時,布拉格帶隙對應頻率向低頻移動,但由于消聲器內部共振引起的局域共振帶隙中心頻率卻并不改變,這說明僅改變管路周期設計并不能改變局域共振帶隙的位置,其帶隙中心頻率只與消聲器本身的結構參數有關.

圖16 不同晶格常數下的能帶結構對比Fig.16.The band structure with different lattice constants.

在管路設計中,我們可以通過改變周期管路的晶格常數,來有效地改變在某些特定頻段的消聲性能,同時通過改變布拉格帶隙的中心頻率,可以使得布拉格帶隙與局域共振帶隙相互耦合,進而在共振頻率處得到更寬的帶隙.

圖17 改變晶格常數下的帶隙耦合Fig.17.The characteristics of coupled band gaps with changed lattice constants.

如圖17所示,改變晶格常數a=0.425 m,得到其能帶結構,對比可以發現,a=0.6823 m時,局域共振帶隙范圍為726—1026 Hz,而當a=0.425 m時,局域共振帶隙范圍為776—1176 Hz,帶隙擴寬了100 Hz左右,這是由于當a=0.425 m,其三階布拉格帶隙和局域共振帶隙相互耦合,導致了帶隙范圍向高頻擴展.

5.2 單邊內插管長度對帶隙的影響

保持周期結構的晶格常數不變,只改變進口處內插管的長度,來探究單邊內插管長度對帶隙的影響.分別另l1=0.04 m,l2=0.08 m,得到如圖18的能帶結構.從圖中可以看出,在不改變出口端內插管長度的情況下,當進口端內插管的長度增加時,局域共振帶隙向著低頻移動,且在研究頻率范圍內有著較大的變化,相比于改變晶格常數布拉格帶隙的移動,局域共振帶隙的移動范圍更大.還可以看出,在改變內插管長度時,其一階布拉格帶隙基本上沒有什么變化,但隨著頻率的增加,帶隙之間的差別逐漸增大,這是由于內插管長度的變化改變了基體管路的結構參數引起的.

圖18 不同內插管長度的帶隙對比Fig.18.The band structure with different length of extended inlet.

在管路設計中,可以針對單個周期單元改變其內部結構參數,進而可以在不改變管路整體布置的情況下改善其在特定頻段的消聲性能,同樣,也可以通過帶隙耦合得到更寬的帶隙.

從圖19中可以看出,當內插管長度為l1=0.135 m時,局域共振帶隙范圍為571—651 Hz,而當l1=0.14 m時,局域共振帶隙向低頻移動,和布拉格帶隙耦合,帶隙范圍為321—641 Hz,帶寬增加了240 Hz左右.

圖19 改變進口內插管長度下的帶隙耦合特性Fig.19.The characteristics of coupled band gaps with changed length of extended inlet.

5.3 雙邊內插管長度對帶隙的影響

在前述基礎上,保持晶格常數以及進口端內插管長度不變的情況下,改變出口端的內插管長度,探究雙邊內插情況下,消聲器周期管路的能帶結構特性.令l1=0.08 m,l2=0.04 m,得到如圖20的能帶結構.

從圖中可以看出,當消聲器進出口端都有內插管時,在研究頻率范圍內會出現兩個局域共振帶隙,圖中的J,K為對應的局域共振頻率,分別為940 Hz和1630 Hz,這是由進口與出口處的內插管分別引起的共振形成的.

圖20 雙邊內插情況下的能帶結構圖Fig.20.The band structure with double insertions.(a)940 Hz(b)1630 Hz.

圖21 雙邊內插管消聲器在(a)940 Hz和(b)1630 Hz下的聲壓分布Fig.21.The sound pressure distribution in the muffler with double insertions at 940 Hz and 1630 Hz.

圖21分別為J點(940 Hz)和K點(1630 Hz)下消聲器內部的聲壓分布圖,可以看出,J點頻率下的聲壓分布和單邊內插情況下的分布基本一致,主要由進口端內插管控制,而K點頻率下的聲壓主要是由出口端的內插管決定.

通過改變進出口端的內插管長度,可以實現兩種共振頻率下的帶隙耦合.改變出口端的長度l2=0.07 m,可以得到如圖22的能帶結構圖.可以看出,在增加l2長度之后,K點對應的局域共振頻率向低頻移動到P,并與J點對應的頻帶耦合,從而實現了帶隙的拓寬.

圖22 改變雙邊內插管下的帶隙耦合Fig.22.The characteristics of coupled band gaps with changed length of double insertions.

6 結 論

本文基于二維模態匹配法研究了內插擴張室消聲器聲子晶體管路帶隙特性,主要結論如下.

1)建立了基于二維模態匹配法的帶隙計算方法,通過與一維方法和COMSOL有限元計算結果對比驗證,驗證了二維方法在帶隙計算中具有準確性好、收斂性好的特點.可以看出,二維方法在共振頻率及高頻處,都比一維方法有較好的預測效果.

2)內插擴張室聲子晶體管路中存在布拉格和局域共振帶隙,布拉格帶隙是由于結構的周期排布引起的,而局域共振帶隙是由于消聲器內部的共振引起的.

3)基于二維方法,分別研究了晶格常數以及內插管長度對帶隙的影響,分析可知,晶格常數主要對布拉格帶隙有較大的影響,而改變內插管長度,會對局域共振帶隙有顯著影響.通過改變晶格常數以及內插管長度可以實現布拉格帶隙與局域共振帶隙的耦合,或者局域共振帶隙之間的相互耦合,都可以在一定頻率范圍內拓寬帶隙.

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