基于優化變間距法的變截面渦旋型線的節點計算

2018-05-04 08:40:08劉濤，張強

機械設計與制造工程 2018年4期

關鍵詞：優化

劉濤，張強

(蘭州理工大學機電工程學院，甘肅蘭州 730050)

渦旋壓縮機作為一種新型流體機械，具有高效、節能等優點，廣泛應用于制冷以及各種需要進行氣體壓縮的行業[1]。動靜渦旋盤作為渦旋壓縮機的關鍵部件，對機器的性能有著顯著的影響。因此渦旋盤的型線設計和加工顯得尤為重要[2]。

對渦旋盤型線的設計目前已有較為豐富的理論成果，王立存等提出了新型變壁厚渦旋型線設計理論，劉濤等[3]提出了基于一次曲率半徑函數的始端重構型線的組合渦旋型線。對于渦旋盤加工的研究尚少，王霞琴[4]提出了以雙圓弧插補的方法逼近渦旋型線的加工方法。目前一般的數控加工系統中只有直線插補和圓弧插補，因此組合型線渦旋盤的加工只能采取數值逼近的方法。

本文針對以組合型線為基線的渦旋型線采用優化的變間距直線逼近方法來擬合加工點，與傳統的等間距法逼近該渦旋型線相比[5]，優化的變間距法能有效地減少節點數目，并且保證擬合誤差在控制范圍之內，編程效率與加工效率得到了有效的提高，滿足實際生產的需要。

1 組合型線方程的分析

渦旋盤組合型線的母線由基圓漸開線、高次曲線與圓弧組成。

1)第一段：基圓漸開線部分。

式中：φ為漸開線角度。

2)第二段：高次曲線部分。

式中：Rg2為展弦，Rg2=-11.821+4.213 2(φ-0.5π)-0.260 4(φ-0.5π)2；Rs2為基圓半徑，Rs2=32.146 4-11.82 1(φ-0.5π)+2.106 6(φ-0.5π)2-0.086 8(φ-0.5π)3。

3)第三段：圓弧部分。

母線型線方程建立后，依據法向等距法[6]即可生成渦旋壓縮機的型線。母線方程如圖1所示。

圖1 母線方程

2 算法的優化

2.1 傳統等間距法

在已知曲線函數方程y=f(x)的前提下，建立原等間距法擬合的數學模型，如圖2所示。

圖2 數學模型

已知函數起點A的坐標為(xA，yA)，可通過計算得到A點的曲率半徑RA：

(1)

為取得下一節點B的坐標(xB,yB)，取一定值Δx，使得xB=xA+Δx，再根據函數表達式y=f(x)，即可確定B點的坐標值。計算A、B兩點之間的直線距離lAB：

(2)

下一步求解lAB與目標曲線之間的實際誤差δ1。由于間距Δx的值很小，可將A、B間的目標曲線近似為一段以RA為半徑的圓弧。MN為lAB的垂直平分線，因此可用線段MN的長度δ2代替實際誤差δ1，且δ2>δ1。由圖中三角形AMO為直角三角形可知：

(3)

由式(3)推導得：

(4)

設定允許誤差δ允，若δ允≥δ2≥δ1，說明用A、B節點間的直線擬合目標曲線所產生的誤差δ2在允許的誤差范圍之內，則B點為可靠節點。下一步以B點坐標為基礎，采取同樣的步驟獲取下一點的坐標值，并計算誤差是否在規定的誤差范圍內，直至結束。若誤差過大，即δ2≥δ允，則減小間距Δx的值，以保證計算誤差δ2滿足要求。

2.2 優化的變間距法

用計算誤差δ2i與允許誤差δ允作商構造誤差比率函數fi：

(5)

其中下標i代表相應節點的序號，如f1代表以起點開始計算第一點節點坐標時所產生的比率，δ21也就相應地代表計算第一個節點時所產生的誤差。

選取適當的最低誤差比率值，設為f0。為了保證合格節點的計算誤差與允許誤差相差不至過大，通常將f0取為靠近1的數，一般取f0=0.9。以下根據比率函數fi與f0的大小，分情況進行討論。

當f0≤fi≤1時，說明所用間距Δx符合要求，誤差δ2i在合理范圍之內，計算所得的節點(xi,yi)是可靠的。

當fi

Δx變=Δx·ε

(6)

式中：ε為伸長系數，通常為大于1的數，一般在1.2～1.5之間。重新計算誤差δ2i和比率函數fi，直至滿足f0≤fi≤1。

當fi>1時，說明此時計算誤差δ2i超過了允許的范圍，適當減小間距Δx的值，令：

Δx變=Δx·λ

(7)

式中：λ為縮短系數，通常為小于1的數，一般在0.6～0.9之間。重新計算誤差δ2i和比率函數fi，直至滿足f0≤fi≤1。

確定新的節點坐標(xi+1,yi+1)之后，以該點為起點，并將上一間距Δx作為計算下一節點的間距，使每一節點都滿足比率函數fi的要求。不斷地重復以上計算過程，直至將目標曲線擬合完，得到所求節點的坐標值為止。

3 優化的變間距法擬合渦旋型線

3.1 利用MATLAB軟件輔助計算

渦旋型線方程是角度的參數函數，在已知起點坐標的情況下，首先要做的是用MATLAB軟件[6]計算起點坐標下對應的角度，獲取角度后，運用MATLAB的求導函數diff按式(1)計算曲率半徑。設初始間距Δx=0.02，計算下一節點的坐標；按照式(2)計算步長l。

取δ允=0.001，縮短系數λ=0.618，伸長系數ε=1.5。在MATLAB的編譯環境[7]下，采用優化的變間距法，按照圖3所示的流程進行編程。

在所有離散點的坐標計算出來后，將節點坐標導入Excel中，節點散點圖如圖4所示。

3.2 新舊方法的比較

傳統的等間距法中并沒有本文提出的比率函數的計算過程，而是在整個計算過程中基于同一個間距計算節點坐標，因此會造成節點的數目過多。

設定同一允許誤差δ允=0.001，用等間距法和優化的變間距法分別逼近該渦旋型線。如圖4所示，由于節點比較密集，整體不好比較，故采用該渦旋型線內圈圓漸開線的初始部分進行比較。為方便比較統一精確到小數點后三位，其初始點坐標為 (3.077,6.625)，截取段終點坐標為 (4.477,6.790),切向角范圍為(0.75π,1.05π)，兩種方法的初始間距同設為Δx=0.02,其對應的節點坐標和間距見表1和表2。