泛積分的線性性

李軍，季永靜，張承坤，徐鶴萍

(中國傳媒大學理學院，北京 100024)

1 引言

本文我們將討論泛積分的線性性和可加性。我們將利用一個單調測度和對應于它的最優測度的特性，證明基于次泛可加單調測度的泛積分具有泛線性性和泛可加性，進而給出相應的泛積分的收斂性定理。

2 預備知識

(1)若μφ=0，則μX>0；

單調測度μ稱為

μA∪B≤μA+μB；

(2)次泛可加的，如果對任意的A，B∈A，均有

μA∪B≤μA⊕μB；

(3)泛可加的，如果對任意的A，B∈A，A∩B=φ，均有

μA∪B=μA⊕μB；

3 最優測度

下面我們回顧最優測度的概念(參見文獻[7])。

當μ=μ⊕時，我們稱μ是一個⊕-最優側度。

μA∪B≥μA⊕μB。

4 泛積分及線性性

下面我們回顧非負可測函數的泛積分的定義。

以上非負可測函數的泛積分的定義可以表述成以下形式：

其中Ai是X的有限可測分劃，λi≥0，n∈N，χAi是Ai的泛特征函數。

非負可測函數的泛積分有以下基本性質(可參見文獻[14])。

一般地，基于單調測度的泛積分不具有線性性。

則μ是單調測度。

令

可得

由此可知

所以泛積分不具有線性性。

現在我們討論在一般泛空間上定義的泛積分的線性性。

在文獻[8]中我們得到了以下結果：

以上結論表明基于一個單調測度的泛積分與對應于這個單調測度的最優測度μ⊕的泛積分是一致的。另一方面，對于任何一個單調測度μ，對應于它的最優測度μ⊕是超泛可加的，因此，我們在討論泛積分的性質時，可以僅僅考慮基于超泛可加的單調測度的泛積分。

根據性質3.2和定理4.1，我們可以得到泛積分的線性性和其它相關性質。

證明：利用泛運算(⊕，?)的性質并結合定理4.1，類似于勒貝格積分的方法可得結論，證明從略。

證明：注意到f?χA∪B=(f?χA)⊕(f?χB)，根據性質4.1(4)和定理4.3，我們可得

證明：由定理4.2和泛積分的單調收斂定理(參見文獻[16]中的定理3.10)可得結論。

類似定理4.3的證明，結合定理4.4可得以下結果。

5 結論

本論文中，我們討論了基于單調測度和泛運算的泛積分的線性性。我們利用了一個單調測度的泛積分和它的對應的最優測度的泛積分的等價性(定理4.1)和最優測度的特性(性質3.1，3.2)證明了基于次泛可加單調測度的泛積分具有泛線性性和泛可加性(定理4.2，4.3)；如果考慮的單調測度是次泛可加且下連續的，那么對應的泛積分具有σ-泛可加性(定理4.4，4.5)。

在進一步的研究中，我們將討論凹積分(參見文獻[5，6])和擬凹積分(參見文獻[10])的線性性和可加性。

[1]Benvenuti P，Mesiar R，Vivona D.Monotone set functions-based integrals.In：Pap，E.(eds) Handbook of MeasureTheory[M].Amsterdam：Elsevier，2002，II：1329-1379.

[2]Benvenut P，Mesiar R.Pseudo-arithmetical operations as a basis for the general measure and integration theory[J].Information Sciences，2004，160(1-4)：1-11.

[3]Denneberg D.Non-additive Measure and Integral[M].Dordrecht：Kluwer Academic Publishers，1994.

[4]Halmos P R.Measure Theory[M].New York：Van Nostrand，1968.

[5] Lehrer E.A new integral for capacities[J].Economic Theory，2009，39：157-176.

[6]Lehrer E，Teper R.The concave integral over large spaces[J].Fuzzy Sets and Systems，2008，159(16)：2130-2144.

[7]Li J，Mesiar R，Struk P.Pseudo-optimal measures[J].Information Sciences，2010，180(20)：4015-4021.

[8]Li J，Ouyang Y，Yu M.Pan-integrals based on optimal measures[C].Modeling Decisions for Artificial Intelligence (MDAI )，2017：40-50.

[9]Mesiar R，Rybarik J.Pan-operaions structure[J].Fuzzy Sets and Systems，1995，74(3)：365-369.

[10]Mesiar R，Li J，Pap E.Pseudo-concave integrals[C].NL-MUA’2011，Beijing，China，2011：43-49.

[11]Ouyang Y，Li J，Mesiar R.On linearity of pan-integral and pan-integrable functions space [J].International Journal of Approximate Reasoning，2017，90：307-318.

[12]Pap E.Null-Additive Set Functions[M].Dordrecht：Kluwer Academic Publishers，1995.

[13]Sugeno M，Murofushi T.Pseudo-additive measures and integrals[J].J Math Anal Appl，1987，122(1)：197-222.

[14]Wang Z，Klir G J.Generalized Measure Theory[M].USA：Springer，2009.

[15] 楊慶季.Fuzzy測度空間上的泛積分[J].河北大學學報(自然科學版)，1984(2)：106-110 .

[16]Zhang Q，Mesiar R，Li J，Struk P.Generalized Lebesgue integral[J].Int J Approx Reason，2011，52(3)：427-443.

[17]Zhao Y，Yan T，Ouyang Y.Several inequalities for the pan-integral[J].Information Sciences，2016，372：625-633.