三角形面積公式的多種證法及應用

浙江省金華市第六中學 (321000)

虞 懿

浙江省麗水中學 (323000)

曹 斌

1 證法舉隅

證法1(平面向量法)：

思考：本證法是最常見的證明方法，但計算量是比較大的．

思考：上述證法是運用空間解析幾何的向量積，雖然這是個平面問題，但是平面也是空間的一部分，這也充分說明向量積在處理某些面積問題時是有優勢的.

圖1

考慮到A,B兩點坐標可以互換，所以SΔAOB=

思考：對面積進行合理割補，從而構成我們所熟悉的圖形面積問題進而解決，這是很常用的方法．

思考：幾何問題轉化成代數運算，用點到直線的距離以及最常規的面積公式解決問題．

2 應用舉隅

(1)求點A,B的坐標；(2)求ΔPAB的面積．

解：(1)由直線PA的斜率存在，設切線PA的方程為y=k(x-t)(k≠0).聯立方程

由Δ=16k2-16kt=0,解得k=t.當k=t時，由x2-4kx+4kt=0,解得x=2t.所以點A的坐標為(2t,t2).

評注：利用三角形面積公式的坐標表示來求解問題(2)，避免了對邊長和高的計算，簡化了解題步驟，讓學生體會到數學的簡潔美.

圖2

解：如圖2所示，設A=(cosα,sinα),B=(cosβ,

評注：利用三角形面積的坐標公式求解關鍵在于確定三角形各點的坐標．

評注：本題的解法多種多樣，但運用三角形面積公式的坐標形式解決，可使思路清晰，過程優化．

例4 (2011河南省高中數學競賽第11題)在平面直角坐標系xOy中，以原點O為圓心，分別以a,b(a>b>0)為半徑作兩個圓．點Q是大圓半徑OP與小圓的交點，過點P作AN⊥Ox，垂足為N,過點Q作QM⊥PN,垂足為M,記當半徑OP繞點O旋轉時點M的軌跡為曲線E.

(1)求曲線E的方程；

評注：這里應用三角形面積的坐標公式及用橢圓的參數方程形式表示橢圓上的點的坐標，將已知條件轉化為三角函數求值問題，避免了復雜的運算．從而使解題過程清晰流暢，令人賞心悅目，流連忘返．

從以上數例可以看出，運用三角形面積公式