問渠哪得清如許
——追尋數學試題巧解的入口點

安徽省樅陽縣宏實中學 (246700)

周 勝 江保兵

在數學解題的過程中，簡潔、高效的解法一直是數學學習者追求的目標.一道試題，一個簡潔的解法會使我們眼前一亮，而不按套路出牌的“巧解”更使得我們備感興奮與快樂.“巧解”是對問題本質、內在客觀規律的深刻揭示，巧妙展現.“巧解”是怎么想到呢？如何去想？本文通過幾個案例，歸納幾種常見“巧解”思維的入口點，供大家參考.

例1 從1、2、3、4、5、6六個自然數中任取5個組成無重復數字的五位數，求所有五位數的和.

總之有a1×104+a2×103+a3×102+a4×101+a5(ai∈{1,2,…,5,6},i∈(1,2,…,5))就有相應的(7-a1)×104+(7-a2)×103+(7-a3)×102+(7-a4)×101+(7-a5).

評注：本例巧解來自試題結構的對稱性.從對稱性考慮，是巧解思維的一個入口點.

析解：考試中心給出的答案是：利用f(x)=sinx+tanx為奇函數的性質可知，當等差數列{an}關于0對稱(即a14=0)時必有f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=0.所以當k=14時，f(ak)=0.這樣的解行嗎？不行.這只是結論成立的充分條件，而不是必要條件！但在應試中，它確實是一個無可替代的巧解.

下面給出必要性的證明：假設a14>0，則f(a14-13d)+f(a14-12d)+…+f(a14)+…+f(a14+12d)+f(a14+13d)>f(-13d)+f(-12d)+…+f(0)+…+f(12d)+f(13d)=0.

同理，假設a14<0，則f(a14-13d)+f(a14-12d)+…+f(a14)+…+f(a14+12d)+f(a14+13d)

綜上：當k=14，a14=0時，f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=0，反之，逆命題也成立.

評注：本題解法又一次看到對稱性的威力.f(x)=sinx+tanx為奇函數且為單調增函數的特點為我們的巧解提供了天然的土壤.

例3 某班進行乒乓球比賽.選手甲獲勝的概率為0.6，選手乙獲勝的概率為0.4.比賽采用5局3勝制，求選手甲獲勝的概率.

兩種解法都正確嗎？

分析：解法1是無疑正確的.解法2乍一看正確，它直觀，好懂.仔細一想，好像又是錯誤的：5局3勝制中不一定非要比賽5場.如果連勝3場，后面不用再比賽了.但計算的結果又是一樣，這到底是怎么回事？

至此，我們終于明白了：這2種解法本質是一樣的.從問題的實際意義來考慮，對于P(3)=p3=

例4 選派5位老師去A、B、C三地支教，每地至少派一位老師，其中甲不派往A地的概率為( ).

評注：本題如果運用常規做法，不僅運算量較大，而且讓人難以理解.而此巧解關鍵是抓住了概率的本質，充分利用古典概型的“等可能”，可謂“四兩撥千斤”.

例5 (2015年安慶市重點中學聯考)

(1)求曲線C的方程；

圖1

評注：本題如果按照常規的解幾方法處理，其運算量過大.而上述巧解通過深刻的洞察題意，運用四點共圓的知識，不僅簡化運算過程，而且突出了試題的本質.

[1]吳振奎.幾個數學問題的巧解.中等數學.[J].1987(3).

[2]單墫.我怎樣解題.[M].上海：哈爾濱工業大學出版社，2013.

[3]波利亞.怎樣解題.[M].上海：上海教育出版社，2001.

[4]羅增儒.數學解題學引論.[M].西安：陜西師范大學出版社，2008.