以一道模考題為例談解題教學的“取向”

江蘇省江陰市華士高級中學 (214421)

鄒少蘭 沈亞軍

已知x,y∈R且滿足x2+2xy+4y2=6，則z=x2+4y2的取值范圍為 ．

本道題年級理科班240個學生中只有一個人答對，正確率幾乎為零.而筆者通過研究發現解決此題的方法頗多，具有較大的研究價值.為此，筆者針對此題專門開設了一堂“一題多解，織線成網”的專題課，嘗試著通過這節課的學習讓學生掌握求值域問題的通法和特殊方法；夯實雙基，把學習過的知識融會貫通；將各種獨立的知識線條連接成知識網絡，學會從多個角度分析問題，培養發散思維，提高解題能力.

1.從學情出發，夯實雙基

然而由于條件x2+2xy+4y2=6的限制，xy并不能取到任意實數.學生利用基本不等式只得出最小值，而最大值被忽略了.

綜上,z∈[4,12].

綜上,z∈[4,12].

學生在解決多元變量問題時常會利用基本不等式實現積與和的轉化，但他們忽略了基本不等式只能求出范圍的一端也就是最值，說明學生對基本不等式知識的掌握還不夠牢固.法一法二從學生的學情出發，在學生解題的基礎上加以修正，在夯實基礎的同時使解題更完整更嚴謹.

2.在能力上提升，融會貫通

多變量的最值問題的通法是將變量減少至一元變量，然后利用一元變量求最值的方法解答.

∵t≥0，(6-t)2≥0，方程(**)必有正根，∴Δ≥0得t∈[4,12]，即z∈[4,12].

這四種方法都是將二元變量轉化成一元變量的常用方法.通過這四種解題方法引領學生從不同視角觀察研究問題，既得出了通性通法，也讓學生感受各類相互獨立的知識之間存在著千絲萬縷的聯系，只有融會貫通地運用數學知識才能使解題道路更寬闊，思維能力得以提升，知識結構得以完善.

3.于方法處飛躍，引而伸之

導函數是求函數最值問題的常用方法，而對于多元變量我們也可以使用偏導數來解決.

綜上,z∈[4,12].

z=f(x,y)除受定義域的約束外，還受φ(x,y)=0條件的限制，這樣的極值問題稱為條件極值，條件極值問題均可以用拉格朗日數乘法和幾何模型法來解決.

雖然法七和法八運用了高等數學知識，但這兩種方法也是解決多元最值的通法.類比一元函數的導數，多元函數的偏導數學生較好理解.在解決難題時，這未嘗不是一種新法.

4.結束語

“工欲善其事，必先利其器”，一題多解可以讓學生多角度考察問題，能讓學生掌握更多的解題方法，把這些思想方法互相滲透，能促進學生思考能力的提升，在遇到問題時有所選擇.教師若能在課堂教學中體現一題多解的思想，必能讓課堂更高效.