一道競賽試題的解法探究

江蘇省無錫市輔仁高級中學 (214123)

耿少峰

1 試題再現(xiàn)

本題是2016年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇賽區(qū)的初賽試題，考查了直線方程、橢圓的標準方程、距離公式以及用代數(shù)方法解決幾何問題的基本思想.從閱卷的結果來看，得分較低，完全做對的很少，很多學生方法正確但是算不出結果.本文就這道題的解法進行探究分析.

2 解法探究

點評:此解法是常規(guī)解法，但是需要學生有較強的運算能力.大部分考生使用的就是這種方法，很多學生能夠通過特殊情況計算出離心率，但是對一般情況而言，很少有學生能計算到最后.

點評:根據(jù)直線過右焦點，將方程設為x=my+c，不僅避免了斜率的討論，更減少了運算量，問題解決起來更加容易.

點評:使用第二定義表示AF、BF更加容易，形式更加簡潔，更容易得到正確的結果.

點評:設點坐標也是解決此類問題的常用方法，但是難點在于尋找各個量之間的聯(lián)系，列出相應的關系式，對思維能力的要求比較高.

解法5:由題意知，雙曲線的右焦點F(c,0)，設直線l的傾斜角α，直線l的方程為

點評:本題使用參數(shù)方程去解大大減少了運算量，使問題變得容易了許多.

點評:角參數(shù)焦半徑公式在常規(guī)解題中使用的并不多，但是在解決此類問題的時候能夠大大減少運算量，使問題得到有效的解決.

點評:建立極坐標系，進一步減少了解題過程和運算量，使問題更加容易解決.

3 反思

解析幾何的問題通常運算量較大，學生容易望而生畏，讓學生學會從不同的視角去解讀，往往能使他們有不一樣的收獲.解決問題的角度并不是一朝一夕就可以發(fā)現(xiàn)的，需要長期的積累、總結、反思才能完成.總之，問題的解決固然重要，但是解決之后的反思應當更加重視.從不同的角度去重新審視一道題目能夠拓寬自己的視野，從而避免成為“井中之蛙”.