兩道全國卷壓軸題的別解與思考*

福建省泉州市第七中學(xué) (362000)

黃永生 楊 丹

華羅庚先生曾有非常精辟的表述：“數(shù)形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛；數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微”.數(shù)形結(jié)合思想讓“數(shù)”的抽象與“形”的直觀結(jié)合，使問題的解決既直觀又入微.本文從數(shù)形結(jié)合的角度探索兩道全國卷的壓軸題的解法，希望對(duì)讀者有所啟迪.

例1 (2012年高考全國卷·理20)設(shè)函數(shù)f(x)=ax+cosx，x∈[0,π].

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)若f(x)≤1+sinx，求a的取值范圍.

解析：(Ⅰ)略.(Ⅱ)若f(x)≤1+sinx，即ax+cosx≤1+sinx，從而ax≤sinx-cosx+1.

(1)當(dāng)x=0時(shí)，a×0≤0，此時(shí)a∈R；

圖1

(Ⅰ)當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線y=f(x)的切線；

(Ⅱ)用min{m,n}表示m,n中的最小值，設(shè)函數(shù)h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0)，討論h(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

圖2

以上兩題的解答與高考命題者提供的參考答案比較，顯得更加優(yōu)美且簡潔.用數(shù)形結(jié)合思想不但回避了分類討論和構(gòu)造函數(shù)帶來的麻煩，而且思維更加流暢，更容易接近問題的本質(zhì).若要用常規(guī)思維方法解決這類問題，有一定的難度，而滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，則會(huì)使學(xué)生更加容易接受，更容易找到解題的突破口.

[1]黃永生,楊丹.一道試題的解法思考與改編[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西).2016(10)：28-29.