POD-Kriging降階方法在串聯(lián)雙圓柱流場預(yù)測中的應(yīng)用

王晨, 白俊強, Jan S Hesthaven, 邱亞松, 喬磊, 韓嘯

(1.西北工業(yè)大學 航空學院, 陜西 西安 710072; 2.洛桑聯(lián)邦理工(EPFL), 瑞士 洛桑 CH-1015)

在航空航天領(lǐng)域，對于復(fù)雜的帶參數(shù)非定常非線性問題，基于本征正交分解方法(POD)的降階模型(ROM)[1-2]被廣泛采用以提高計算效率，其思路是通過POD對復(fù)雜非線性解空間構(gòu)造一組最優(yōu)降階基以保留流場的主要特征，再將待求解空間投影到由這組基張成的線性子空間中以快速預(yù)測未知流場的低階模型。常用的投影方法包括Galerkin投影等，但對于處理復(fù)雜的帶參數(shù)非線性問題時，采用投影方法給投影系數(shù)求解帶來不便，為此，目前有一批研究學者考慮采用KrigingRBF等代理模型來預(yù)測降階模型中各POD基投影系數(shù)的降階模型形式，如張偉偉等[3]則采用POD與徑向基函數(shù)法(radial basis function,RBF)的結(jié)合預(yù)測翼型的氣動響應(yīng)和極限環(huán)振蕩，邱亞松等[4]采用Kriging代理模型預(yù)測POD基投影系數(shù)，對由10個參數(shù)控制的翼型擾流流場進行了預(yù)測。本文考慮采用POD結(jié)合Kriging代理模型的形式構(gòu)造降階模型，預(yù)測帶參數(shù)的典型流動問題——串聯(lián)雙圓柱構(gòu)型。

在數(shù)值方法和流動機理的研究中，圓柱擾流是個經(jīng)典的非定常算例。對于計算狀態(tài)確定的等直徑串聯(lián)雙圓柱，距徑比L/D(圓柱柱心間距與直徑的比值，L為圓柱柱心間距；D為圓柱直徑)是唯一影響流動形態(tài)的參數(shù)。美國Langley實驗室(LaRC)提供了L/D=3.7、L/D=1.435下basic aerodynamic research tunnel(BART)[5]和quiet flow facility(QFF)[6]2組風洞實驗數(shù)據(jù)。Zdravkovich等[7-8]通過研究，總結(jié)了不同距徑比下雙圓柱流場的流動形態(tài)規(guī)律。由于雙圓柱流動具備強烈的非定常效應(yīng)，又有對流動形態(tài)起著決定性作用的幾何參數(shù)，并有實驗數(shù)據(jù)作支撐，是降階模型理想的驗證算例。本文試圖通過降階模型對變距徑比串聯(lián)雙圓柱流場進行預(yù)測。

但在采用POD提取降階基之前，降階模型要求提供樣本流場解所組成的快照數(shù)據(jù)，為此需確定雙圓柱流動的數(shù)值模擬方法計算樣本數(shù)據(jù)。對于串聯(lián)雙圓柱構(gòu)型，很多學者對BART和QFF的實驗工況采用不同的數(shù)值模擬方法進行了相關(guān)研究：Khorrami等[9-10]采用基于SST湍流模型的非定常雷諾平均方法(URANS)；Wessels等[11]采用格子波爾茲曼法分別對LaRC風洞實驗工況進行非定常數(shù)值仿真。而相對于URANS方法，能解析非定常脈動的LES、混合RANSLES方法在模擬雙圓柱流動時將更為精確，如白俊強等[12]通過采用尺度自適應(yīng)模型(SAS)[13]對L/D=3.7的臨界工況進行模擬，說明了SAS不僅能捕捉瞬時脈動，在時均結(jié)果的模擬精度上也優(yōu)于URANS方法。本文選擇SAS方法提供快照數(shù)據(jù)。

針對串聯(lián)雙圓柱流動，本文采用POD提取主要的降階基模態(tài)以構(gòu)造線性降階子空間，再利用Kriging代理模型插值投影系數(shù)來封閉降階模型以預(yù)測未知流場。通過與風洞實驗及數(shù)值求解計算結(jié)果作對比，評估降階模型在變參大分離類問題上的預(yù)測精度與效率。為保證快照的數(shù)值精度，快照數(shù)據(jù)由非定常數(shù)值求解器采集，模型選擇的是基于SST[14]的尺度自適應(yīng)模型(SAS)。

1 降階基模型建立

對于帶參數(shù)定常問題uθ(x)(x∈Ω),參數(shù)向量θ,系統(tǒng)提供N個樣本uθ(i)(x)(i=1,2,…N),降階基模型通過從樣本中提取一組正交降階基Φk(k=1,2,…,K)來預(yù)測結(jié)果:

θ(x)=u0(x)+∑Kk=1αk(θ)·Φk(x)

(1)

(Φi,Φj)=0i≠j

1i=j(i,j=1,2,…K)

(2)

αk(θ)是待求的投影系數(shù)。u0(x)通常取為快照的平均u0(x)=1N∑Ni=1uθ(i)(x),這一項的添加能夠顯著提高降階基模型的預(yù)測精度。

同樣對于非定常非線性問題u(x,t),降階基模型給出類似的預(yù)測公式:

(x,t)=u0(x)+∑Kk=1αk(t)·Φk(x)

(3)

1.1 降階基提取

(1)、(3)式中的降階基Φk(x)可由不同的方法確定,本文選用本征正交分解(POD)方法提取Φk(x)。

POD方法提取的降階基Φk(x)需滿足快照在降階子空間上的投影達到最大,即:

A·v=λv(5)

矩陣A是對稱非負定矩陣,具有N個特征值λk和相應(yīng)的特征向量vk,與之對應(yīng)的基模態(tài)Φk(x)可通過k(x)=∑Ni=1vk(i)·uθ(i)(x)再對k(x)單位化后求得。為節(jié)省計算量,需要從這N個模態(tài)中選擇最主要的模態(tài)來張成降階子空間。基于j(x),j(x)〉dx=∑Nk=1λk(u′(·)=u(·)-u0(·)),Sirovich[15]提出了基于特征值λk的廣義能法來選擇主要模態(tài):將特征值降序排列,定義能量百分比I(k)=∑ki=1λi∑Ni=1λi,給定能量閾值ε∈(0,1),通常取0.99,則K可通過式K=argmin(I(k)I(k)≥ε)確定,前K個特征值對應(yīng)的模態(tài)就是最終獲得的POD模態(tài)Φk(x)(k=1,2,…,K)。

1.2 基系數(shù)預(yù)測

Kriging代理模型[16]是通過對樣本的訓練建立輸入、輸出函數(shù)關(guān)系,對輸出變量給出最佳線性無偏估計的插值方法。在本文中,Kriging模型并非直接用來預(yù)測狀態(tài)變量(若將uθ)(x)(x∈Ω)直接作為輸出,就需對每個網(wǎng)格上的狀態(tài)變量建立Kriging模型,那么代理模型將會失去其原有的效率優(yōu)勢),而是將提取的降階基系數(shù)αk(θ)作為輸出,這樣通過Kriging模型提供投影系數(shù)αk(θ),然后再通過降階模型預(yù)測公式(1)、(3)預(yù)測待求流場。對單個狀態(tài)變量來說,POD提取了K個降階基,就需建立K個代理模型。在用POD提取基模態(tài)后,N個樣本的投影系數(shù)可以通過下式得到:

αk(θ(i))=Φk(x)·(uθ(i)(x)-u0(x))

i=1,2,…,N(6)

以此作為代理模型的樣本,每個Kriging代理模型的構(gòu)造和預(yù)測過程如下:

設(shè)輸出α,輸入為p維向量θ,由1.1節(jié)得到對應(yīng)的N組樣本,Kriging模型對輸入輸出建立了如下形式的函數(shù)關(guān)系:

α(θ)=∑pi=1βifi(θ)+Z(θ)

(7)

式中，f(θ)為回歸模型,Z(θ)為期望為0、方差為σ2、協(xié)方差為cov(Z(θ(i)),Z(θ(j)))=σ2R(θ(i),θ(j))的正態(tài)分布。θ(i)為第i個樣本,相關(guān)函數(shù)R表征著樣本兩兩之間在θ空間內(nèi)的相關(guān)程度,其計算公式如下:

R(θ(i),θ(j))=e(-d(θ(i),θ(j)))

min:ψ(wT)=|R|1/pσ2

(θ)=f(θ)·+(R*(θ))T·R-1·(A-F)

R*(θ)=[R(θ,θ(1)),R(θ,θ(2)),…,R(θ,θ(N))]T

(10)

通過K個代理模型的建立,就可以確定參數(shù)域內(nèi)任一點降階模型的系數(shù)αk(θ),再由(1)、(3)式即可預(yù)測出對應(yīng)的流場數(shù)據(jù)。

2 串聯(lián)雙圓柱流動簡介及數(shù)值模擬方法

2.1 串聯(lián)雙圓柱流動簡介

計算工況采用NASA雙圓柱風洞實驗工況(見圖1):來流馬赫數(shù)0.128 5(V=44 m/s),基于圓柱直徑的雷諾數(shù)為1.66×105,圓柱直徑D=0.057 1 m。考慮到三維非定常計算過于耗時,本文采用二維非定常計算。圓柱表面采用無滑移邊界條件,遠場采用無反射邊界條件。物理時間步長取Δt=1.0×10-5s。

圖1 串聯(lián)雙圓柱幾何示意圖

2.2 非定常數(shù)值模擬方法

本文采用雙時間步,空間離散格式為二階中心差分的有限體積求解器對雙圓柱流場進行非定常模擬。

因為雙圓柱的流場中存在明顯的渦旋結(jié)構(gòu),而非定常雷諾平均方法(URANS)對分離流動的預(yù)測精度低,本文采用Menter在k-ωSST湍流模型的基礎(chǔ)上發(fā)展的一種混合RANSLES模型——尺度自適應(yīng)模型(SAS)方法來保證湍流預(yù)測的精度。流動方程是濾波后的Navier-Stokes方程:

?ρ?t+?(ρU)?x+?(ρV)?y=0

?(ρU)?t+?(ρU2)?x+?(ρUV)?y=-?p?x+

(μ+μt)?2U?x2+?2U?y2

?(ρV)?t+?(ρUV)?x+?(ρV2)?y=-?p?y+

(μ+μt)?2V?x2+?2V?y2

?ρe+U2+V22?t+·ρe+U2+V22U=-

(11)

式中，亞格子黏性系數(shù)μt,表征小尺度脈動對于大尺度脈動的作用,其求解仍采用了k-ωSST求解渦粘性系數(shù)的表達形式:

μt=minρkω,a1ρkΩF2

(12)

?(ρk)?t+ui?(ρk)?xi=Pk-

βkρkω+??xiμ+μtσk?k?xi

?(ρω)?t+ui?(ρω)?xi=CωPω+QSAS-

βωρω2+??xiμ+μtσω?ω?xi+

2ρ(1-F1)1σω21ω?k?xi?ω?xi

(13)

但在求解湍動能k和湍流比耗散率ω時,混合RANSLES通過引入比湍流模型中積分尺度更小的特征尺度,以保證模型具備識別非定常脈動的能力。其中DES類方法利用網(wǎng)格尺度增大湍動能(k)方程的耗散,而本文選用的SAS方法則是通過在比耗散率(ω)方程中添加由馮卡門尺度確定的源項QSAS來解析流動的脈動效應(yīng),保證模型具備捕捉非定常現(xiàn)象的能力。

SAS添加源項:

QSAS=ρFSASmaxζ2S2LLvk-2kσφFSST-SAS,0(14)

馮卡門尺度Lvk=κU′U″,表征流場當?shù)厮俣鹊囊浑A導(dǎo)和二階導(dǎo)的比值,它與網(wǎng)格尺度無關(guān)。用馮卡門尺度取代網(wǎng)格尺度來減小模型識別的流動特征尺度,使得SAS對網(wǎng)格的依賴程度要低于DES類方法。

2.3 變參數(shù)計算網(wǎng)格生成

對于不同距徑比的雙圓柱構(gòu)型,在進行數(shù)值計算時,本文均采用相同的計算網(wǎng)格拓撲。網(wǎng)格采用多塊結(jié)構(gòu)網(wǎng)格,總計單元數(shù)11.2萬,如圖2所示:邊界層內(nèi)部仍采用RANS的網(wǎng)格要求,即物面法向第一層網(wǎng)格滿足保證y+<1,附面層內(nèi)網(wǎng)格物面法向增長率為1.1;附面層網(wǎng)格外部進行適當加密以滿足非定常模擬精度。

圖2 計算網(wǎng)格示意圖

本文先以圖2的網(wǎng)格拓撲對L/D=3.7的工況建立計算網(wǎng)格,當距徑比變化時,通過程序生成新的雙圓柱幾何,再用無限代數(shù)插值(TFI)[17]動網(wǎng)格技術(shù)生成新構(gòu)型的計算網(wǎng)格。

在進行計算時,CFD求解器首先將物理坐標系(oxy)轉(zhuǎn)換到單位正交計算坐標系(o′x′y′)中進行計算,如圖3所示。這樣對于不同距徑比構(gòu)型采用相同網(wǎng)格拓撲后,盡管在物理坐標系下各網(wǎng)格點的空間坐標不同,但其在計算坐標系下坐標是完全相同的,本文對變距徑比構(gòu)型采用(1)式、(3)式建立降階模型時采用的正是計算坐標系。采用相同的網(wǎng)格拓撲,和計算坐標系的使用使得降階模型可以處理變幾何參數(shù)類問題。

圖3 坐標系轉(zhuǎn)換示意圖

3 降階模型在串聯(lián)雙圓柱流動中的應(yīng)用與預(yù)測

3.1 變參數(shù)時均場模擬

作為串聯(lián)雙圓柱構(gòu)型重要的流場參數(shù),距徑比L/D的數(shù)值直接決定著雙圓柱流場形態(tài),為評估降階模型模擬變參數(shù)流場的能力,本文試圖通過一系列L/D的時均流場構(gòu)造降階模型,預(yù)測L/D=3.7.1.435這2個有實驗數(shù)據(jù)的臨界距比的流場,以評估模型對于預(yù)測變參類問題的精度與效率。

本文采用2.2節(jié)的非定常數(shù)值模擬方法和2.3節(jié)的網(wǎng)格拓撲提供20組不同L/D的時均流場作為快照數(shù)據(jù):{1.2,1.25,1.3,1.35,1.55,1.7,1.85,2,2.25,2.5,2.75,3,3.25,3.5,3.6,3.85,4,4.25,4.5,4.75,5}。采用POD對4個狀態(tài)變量(ρ,u,v,p)的快照分別提取降階基,再通過廣義能法選取主要模態(tài):廣義能百分比隨基數(shù)目的變化曲線如圖4所示,圖中對于4個狀態(tài)變量,前5個基模態(tài)占據(jù)了幾乎所有的廣義能;給定99.5%的能量閾值,本文最終為ρ,u,v,p分別選取5,5,4,4個降階基。然后對這5+5+4+4=18個POD基的權(quán)重系數(shù)分別建立Kriging代理模型來預(yù)測POD基系數(shù),這樣對于任意L/D∈[1.25,5],結(jié)合降階基和代理模型,就能預(yù)測出L/D在1.25到5范圍內(nèi)任一距徑比的時均流場。

圖4 能量百分比隨基模態(tài)數(shù)目的變化曲線

1) 預(yù)測精度評估

本文重點考慮L/D=3.7和1.435的預(yù)測精度。

L/D=3.7和1.435時風洞實驗、數(shù)值求解器、降階模型三者得到的空間流線分布如圖5所示。

圖5 時均流線對比圖

其中實驗流線圖來源于文獻[10]。L/D=3.7時,數(shù)值模擬和降階基預(yù)測的下游圓柱空間背風面的分離區(qū)域大于實驗所探測的;L/D=1.435時,實驗數(shù)據(jù)中兩圓柱間是個整體的分離渦形式,而數(shù)值結(jié)果則在圓柱間預(yù)測出上下2個相互接觸的漩渦結(jié)構(gòu)。盡管與實驗的時均流線存在差異,降階模型與求解器的流線包括圓柱背風面分離區(qū)的大小和形態(tài)幾乎完全一致,這說明時均流場的差異主要是由于數(shù)值求解方法所致,而并非降階模型預(yù)測誤差所造成。

為進一步檢驗降階模型的預(yù)測精度,考察降階模型預(yù)測的時均流場和數(shù)值求解之間的誤差分布。定義降階模型預(yù)測值與數(shù)值求解器計算值的絕對誤差Δ(x)=‖θ(x)-uθ(x)‖,相對誤差Δr(x)=‖θ(x)-uθ(x)‖uθ(x)。圖6給出ρ,p在L/D=3.7,1.453時的相對誤差分布,考慮到距徑比對遠離物面處流動的影響小,此時降階模型誤差小,故這里僅提供雙圓柱附近流場的誤差分布。在整個考察區(qū)域內(nèi)降階模型預(yù)測的相對誤差處在10-3量級,說明降階模型對ρ,p實現(xiàn)了精確的預(yù)測。至于速度場,在本算例中,圓柱的背風面是流動滯止區(qū),在這個區(qū)域內(nèi)的速度相對其他區(qū)域數(shù)值很小,使得降階模型在該區(qū)域某些地方相對誤差過大,故本文考慮速度場的絕對誤差分布,如圖7所示。圖中流場各處速度的絕對誤差始終處小于10-2,而在圖5中降階模型又能較精確地模擬兩工況的時均流線,因此本文得出降階模型對速度場、密度和壓強均實現(xiàn)了全流場精確預(yù)測的結(jié)論。

物體表面壓強分布是氣動計算與預(yù)測的關(guān)注點之一,降階模型預(yù)測的圓柱表面壓力分布如圖8、圖9所示。它與求解器的計算結(jié)果除在駐點處外幾乎完全重合,在L/D=3.7預(yù)測的兩圓柱壓力分布及L/D=1.435時上游圓柱的壓強系數(shù)分布與實驗也保持一致,但L/D=1.435下游圓柱與實驗則相差較大,這和未能模擬出實驗中此距徑比下兩圓柱間的分離形態(tài)相吻合。這種差距一方面是因為數(shù)值模擬方法的精度仍有待提高,另一方面是由于數(shù)值計算時沒有考慮風洞實驗的某些條件和外在因素所致。

圖6 時均流場 圖7 時均流場速度絕對誤差分布圖

圖8 L/D=3.7圓柱表面壓力分布對比 圖9 L/D=1.435圓柱表面壓力分布對比

通過時均流線、誤差分布、表面壓力分布的對比,本文的降階模型在對20個樣本提取降階基后,能精確地模擬L/D=3.7和L/D=1.435的時均流場。

2) 計算效率評估

除預(yù)測精度之外,計算效率是評估降階模型性能優(yōu)劣的另一個重要因素,降階模型各階段計算耗時如表1所示:

①降階模型對20個樣本生成降階子空間耗時22.42 s,對POD基系數(shù)建立代理模型時花費1 452 s,這兩部分構(gòu)成了整個訓練階段;

②在降階模型建立后,對于單點流場,降階模型僅需2.3 s就能較精確地預(yù)測出時均結(jié)果。而采用求解器計算時均結(jié)果至少需要兩萬非定常時間步,需耗時19 382 s。因此,本文為雙圓柱流場構(gòu)造的降階模型利用訓練階段的基函數(shù)和代理模型能快速又精確地預(yù)測變距徑比時均流場,其在計算效率上帶來的收益非常可觀。

表1 計算效率評估

3) 時均流場變化趨勢分析

在L/D∈[1.25,5]范圍內(nèi)均勻選取750個測試點,用建立的降階模型提取時均流場后,本文對変距徑比串聯(lián)雙圓柱時均流場得出以下規(guī)律(這750個測試點的網(wǎng)格數(shù)據(jù)是通過對空間坐標另外建立POD-Kriging降階模型得到的):

①在L/D∈[1.25,2.815]范圍內(nèi),上游圓柱背風面的分離渦占據(jù)著圓柱間的整個區(qū)域,如圖10a)所示;

②在L/D∈(2.815,5]范圍內(nèi),上游圓柱背風面的分離渦僅分布在兩圓柱間的部分區(qū)域,其與下游圓柱背風面并未接觸,如圖10b)所示。

圖10 時均流場形態(tài)

3.2 定參非定常模擬

3.1節(jié)對變距徑比時均流場進行了分析,在本小節(jié)中,針對L/D=3.7這個臨界工況的非定常流場建立降階基,以考察降階模型對非定常問題的預(yù)測精度。對該工況計算5萬非定常時間步后,令此時t=0 s,再在t∈[0,0.5]范圍內(nèi)均勻選取501個時刻的瞬時流場作為快照數(shù)據(jù)。采用POD對各狀態(tài)變量(ρ,u,v,p)的快照分別提取降階基,能量百分比隨POD基數(shù)的變化曲線如圖11所示,利用廣義能法為ρ,u,v,p分別選取(15,15,11,13)個降階基。

圖11 能量百分比隨基模態(tài)數(shù)目的變化曲線

取t=0.101 5 s、0.206 5 s、0.336 5 s、0.473 5 s這4個時刻作為測試點,顯然這4個測試點均不屬于樣本集。圖12為速度的絕對誤差分布,在考察的4個時刻降階模型預(yù)測的絕對誤差始終保持在10-3量級,說明了本文建立的降階模型在t∈[0,0.5]范圍內(nèi)對瞬時速度場具有較高的預(yù)測精度。圖13為測試時刻的瞬時渦量圖,左圖中本文采用的數(shù)值模擬方法能在一定程度上反映出捕捉流場的非定常特征,而對于降階模型來說,非定常效應(yīng)往往難以精確模擬,右圖中本文采用的降階模型預(yù)測的渦量分布與左圖數(shù)值計算的幾乎完全一致,證明了其對非線性、非定常問題具有較高的預(yù)測精度。

圖12 測試點速度絕對分布圖13 瞬時渦量圖

4 結(jié) 論

本文通過采用POD提取主要的降階基模態(tài)，對流場解構(gòu)造了線性降階子空間，再利用Kriging代理模型插值投影系數(shù)來封閉降階模型，對變距徑比串聯(lián)雙圓柱流場進行預(yù)測，得到以下結(jié)論：

1)在與實驗對比后，本文采取的非定常求解方法能較精確預(yù)測串聯(lián)雙圓柱非定常流動；

2)對于變距徑比構(gòu)型，降階模型能較精確預(yù)測出非樣本點的時均流場，相對于全階模型計算效率提高69 470倍，其與實驗數(shù)據(jù)的誤差主要源于數(shù)值求解的誤差；

3)通過建立的降階模型，本文總結(jié)了雙圓柱時均流場隨距徑比的變化趨勢；

4)在特定工況下，POD-Kriging降階模型同樣能精確預(yù)測給定時刻的瞬時流場。

考慮到傳統(tǒng)的POD-Galerkin方法在多參數(shù)問題中構(gòu)造不便，本文并未給出其與傳統(tǒng)的POD-Galerkin方法的對比而只給出了其與全階模型精度及計算效率的對比。另外，由于三維非定常計算非常耗時，為保證取樣效率以印證降階模型對變參串聯(lián)雙圓柱流場的預(yù)測精度與效率，本文采用二維非定常計算，但由于忽略展向流動，這在一定程度勢必會損失預(yù)測精度，后續(xù)工作將會針對三維數(shù)值模擬結(jié)果建立適應(yīng)于帶參數(shù)非定常問題的降階基模型，此時相對于二維流場預(yù)測，降階模型在計算效率上的收益預(yù)計將會更為可觀。

針對變參問題的降階模型在實際應(yīng)用如氣動設(shè)計、流固耦合等方向中將擁有比較廣泛和誘人的應(yīng)用前景，后續(xù)研究將集中在高維參數(shù)空間的強非線性非定常問題中提高降階模型魯棒性和自適應(yīng)取樣這兩項工作。

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