基于界柵的日地平動點編隊飛行碰撞規避控制研究

張科, 何振琦, 呂梅柏, 王靖宇

(1.西北工業大學 航天學院, 陜西 西安 710072; 2.航天飛行動力學技術重點實驗室, 陜西 西安 710072)

航天器編隊飛行的研究工作從20世紀90年代末開始就沒有間斷過,特別是近些年隨著小衛星技術的發展,成為了研究熱點。目前國際上已經有不少的空間科學實驗任務采用航天器編隊飛行來實現,比較典型的有美國NASA的A-Train計劃、MMS計劃[1-2]等。

航天器編隊飛行技術的一大特點是多顆小航天器在空間組成特定的構形協同工作,密切聯系,以分布方式構成一顆大的“虛擬航天器”(或稱為“分布式衛星系統”)[3-5],從而產生系統理論中的“涌現”現象[3-5],在性能上超越單顆航天器系統。

在編隊飛行中,由于各種攝動的影響,將會使編隊構型產生漂移,而且由于各種硬件、軟件故障的問題,都會增加編隊飛行過程中航天器碰撞概率。如何避免編隊航天器之間的碰撞成為衛星編隊飛行設計中必須考慮的重要問題。本文通過微分對策中的界柵理論[4]把相鄰2個飛行器的最小距離作為約束集,建立Hamilton函數并得到最優控制律[6-8]，構造界柵理論及相應界柵軌跡,劃分碰撞區與非碰撞區[6-8]，從而實現編隊航天器防碰策略設計研究。

1 建立微分對策系統狀態方程

假設僅考慮2顆衛星在同一平面內相對運動,即目標星為E,追趕星為P,則多顆衛星以此類推。圖1為編隊飛行追逃關系模型示意圖。

圖1 飛行器編隊飛行追逃關系模型示意圖

(1)

式中,μ1為太陽開普勒常數,μ2為地月系開普勒常數,rp1是由太陽質心指向航天器P的矢量,rp2是由地月系質心指向航天器P的矢量,re1是由太陽質心指向航天器E的矢量,re2是由地月系質心指向航天器E的矢量。F為航天器軌控發動機推力,u和v分別為推力Fp和Fe與X軸的夾角,Mp與Me分別為航天器P與航天器E的質量。

2 最優控制量的求解及界柵的構造

假設航天器P域與航天器E在同一平面內組成追逃模型,星間臨界碰撞距離為l,則對策目標約束集D為圓域[9]:

(Xe-Xp)2+(Ye-Yp)2-l2≤0

(2)

當編隊航天器間相對距離大于l,則不會發生碰撞,反之則發生碰撞。

根據微分對策理論,Hamilton函數可表示如下:

H(Xp,Xe,Yp,Ye,u,v,γ)=γ1Vxp+γ2Vyp+

γ3-μ1‖rp1‖3+μ2‖rp2‖3Xp+FpMpcosv+

γ4-μ1‖rp1‖3+μ2‖rp2‖3Yp+FpMpsinv+

γ5Vxe+γ6Vye+

γ7-μ1‖re1‖3+μ2‖re2‖3Xe+FeMecosu+

γ8-μ1‖re1‖3+μ2‖re2‖3Ye+FeMesinu=

Hp+He+H0

(3)

式中:γ=[γ1γ2γ3γ4γ5γ6γ7γ8]T∈R8是任意向量;且

Hp(v)=γ3FpMpcosv+γ4FpMpsinv

He(u)=γ7FeMecosu+γ8FeMesinu

H0=γ1Vxp+γ2Vyp-γ3μ1‖rp1‖3+μ2‖rp2‖3Xp-

γ4μ1‖rp1‖3+μ2‖rp2‖3Yp+γ5Vxe+γ6Vye-

γ7μ1‖re1‖3+μ2‖re2‖3Xe-

γ8μ1‖re1‖3+μ2‖re2‖3Ye

因此:

maxuminvH(Xp,Xe,Yp,Ye,u,v,γ)=

minvHp(v)+maxuHe(u)+H0

(4)

令dHp(v)dv=0,即

FpMp(-γ3sinv+γ4cosv)=0

(5)

解得

顯然有

d2Hp(v*)dv2=-(γ3sinv*+γ4cosv*)>0

(7)

由(6)式、(7)式確定v*是航天器P的最優策略。類似可求得航天器E的最優策略u*,其滿足

于是,可得

將目標集

?D={(Xp,Xe,Yp,Ye)|(Xe-Xp)2+

(Ye-Yp)2-l2=0}

寫成參數形式:

Xp()=φ1(s)=s1,Yp()=φ2(s)=s2,

Vxp()=φ3(s)=s3,Vyp()=φ4(s)=s4,

Xe()=φ5(s)=s1+lcoss5,

Ye()=φ6(s)=s2+lcoss5,

Vre()=φ7(s)=s3,Vθp()=φ8(s)=s4

式中,s=(s1,s2,s3,s4)T;s5為與x軸正方向的夾角,-π≤s5≤π;為捕獲時間。

由界柵構造理論:

∑mi=1γi?φi(s1,s2,…,sm-2)?sj=0

γT·γ|?D=1,(j=1,2,…,m-2)

(10)

由方程組(10)中第一個式子可得:

γ1()+γ5()=0

γ2()+γ6()=0

γ3()+γ7()=0

γ4()+γ8()=0

-γ5()lcoss5+γ6()lcoss5=0

(11)

再結合方程組(10)中第二個式子可得?D上的單位法線向量為

γ|?D=(coss58,sins58,coss58,

sins58,-coss58,-sins58,-coss58,-sins58)T

顯然Hamilton函數可寫成:

18Qsin(s5+a)-FpMp+FeMe

(12)

式中:

Q={[Vxp-Vxe+(μ1‖re1‖3+μ2‖re2‖3)Xe-(μ1‖rp1‖3+μ2‖rp2‖3)Xp]2+

[Vyp-Vye+(μ1‖re1‖3+μ2‖re2‖3)Ye-(μ1‖rp1‖3+μ2‖rp2‖3)Yp]2}12

a=arctanVxp-Vxe+(μ1‖re1‖3+μ2‖re2‖3)Xe-(μ1‖rp1‖3+μ2‖rp2‖3)XpVyp-Vye+(μ1‖re1‖3+μ2‖re2‖3)Ye-(μ1‖rp1‖3+μ2‖rp2‖3)Yp

以下有3種情況：

1) 當sin(s5+a)>FpMp+FeMe/Q時,則整個目標邊界集?D是NUP,不存在界柵,航天器P與航天器E總可以發生碰撞,整個對策空間都是碰撞區。

2) 當sin(s5+a)

3) 當sin(s5+a)=FpMp+FeMe/Q時,則整個目標邊界集?D是BUP,在這種情況下,一定存在界柵B。下面以對應于BUP上任意一點s為初始點倒向構造界柵B。

易于得到倒向協態方程組為:

dγ1dτ=μ1‖rp1‖3+μ2‖rp2‖3coss5-

(coss5Xp+sinYp)μ1‖rp1‖92+μ2‖rp2‖92Xp

dγ2dτ=μ1‖rp1‖3+μ2‖rp2‖3sins5-

(coss5Xp+sinYp)μ1‖rp1‖92+μ2‖rp2‖92Yp

dγ3dτ=-coss5

dγ4dτ=-sins5

dγ5dτ=-μ1‖rp1‖3+μ2‖rp2‖3coss5-

(coss5Xe+sinYe)μ1‖rp1‖92+μ2‖rp2‖92Xe

dγ6dτ=-μ1‖rp1‖3+μ2‖rp2‖3sins5-

(coss5Xe+sinYe)μ1‖rp1‖92+μ2‖rp2‖92Ye

dγ7dτ=coss5

dγ8dτ=sins5

(13)

相應的初始條件為:

γ1(0)=12coss5,γ2(0)=12sins5,

γ3(0)=12coss5,γ4(0)=12sins5,

γ5(0)=-12coss5,γ6(0)=-12sins5,

γ7(0)=-12coss5,γ8(0)=-12sins5

式中,τ=-t0,倒向狀態微分方程組為:

(14)

以及倒向初值條件為:

簡單的積分可得:

則所求的界柵B為:

(17)

即為一個圓,界柵B把對策空間R2分為2個部分,由B圍成的圓域(包括B本身)為捕獲區,圓域之外的區域為躲避區。

3 實例仿真與分析

文本仿真實例的初始條件如下:

假設航天器P與航天器E的質量及大小相同,質量均為2 000 kg;航天器P處于幅值為900 000 km的運行軌道上,捕獲半徑為5 km,以日地平動點L2點附近編隊飛行為例,具體的L2點基本常數[10]如表1所示:

表1 日地系統L2點基本常數

航天器P與航天器E在坐標系下的位置與速度[11-12]分別為:

Xp(0)=87 028.508 409 km

Xe(0)=87 028.618 409 km

Yp(0)=-24 739.512 629 km

Ye(0)=-23 268.613 245 km

Vxp=8.995 877 m/s

Vyp=121.605 675 m/s

Vxe=8.285 877 m/s

Vye=120.924 877 m/s

由于編隊飛行時,航天器間距較近,可忽略軌道引力,太陽光壓等攝動力影響。對Hamilton函數進行Matlab仿真如圖2所示:

圖2 Hamilton函數隨時間變化曲線

在圖2中,可以看到Hamilton函數存在大于0、等于0、小于0的情況,也就是航天器間存在非碰撞區、界柵和碰撞區。

對方程(4)做積分dHpdFp=0可得最優控制推力表達式:

γ3Mpcosv+γ4Mpsinv

(18)

再將(13)式代入(18)式可得:

sins58Mpcosv-coss58Mpsinv=

-18Mpcos(s5+v)

(19)

經過matlab仿真可得航天器P的控制力Fp隨倒向時間變化如圖3所示:

圖3 航天器P的控制力Fp隨倒向時間變化曲線

在圖3中,首先,控制力Fp隨倒向時間的變化呈先由小變大再由大變小的循環過程,中間有反向的出現,這是由于航天器P在追逃過程中,兩航天器的位置發生了改變造成控制力方向的改變。

4 結 論

編隊飛行技術是深空探測方向的一個重要研究方向,本文將任意2個航天器間的最小距離作為臨界距離,運用微分對策中的界柵理論將整個對策空間分為碰撞區與非碰撞區,碰撞區與非碰撞區的重疊部分即為界柵。通過對界柵區域的構造,能夠保證航天器間不發生碰撞。經過實例仿真證明該方法簡單可行。

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