太陽帆骨架簡化模型自旋展開過程中保結(jié)構(gòu)特性研究

尹婷婷, 鄧子辰, 胡偉鵬, 王新棟

(西北工業(yè)大學 力學與土木建筑學院, 陜西 西安 710072)

1968年P(guān)eter Glaser教授提出了在外空間向太陽“借”能量的有趣設(shè)想：通過建立空間太陽能電站向地面?zhèn)鬏斈芰浚@一構(gòu)想有望在一定程度上解決日益嚴重的能源匱乏難題。受此啟發(fā)，此后的四十多年間，各國科學家已經(jīng)提出了多種空間太陽能電站設(shè)計的方案[1]。2012年由多國科學家共同合作，提出了一種全新的空間太陽能電站的構(gòu)想——相控陣空間太陽能電站，該方案在無須控制的聚光系統(tǒng)、模塊化的結(jié)構(gòu)設(shè)計等方面受到科學界、工程界的廣泛關(guān)注。在SPS-ALPHA概念中，由于結(jié)構(gòu)具有面質(zhì)比高、所處環(huán)境惡劣等技術(shù)難點，為相關(guān)領(lǐng)域提供了極大的研究空間。就結(jié)構(gòu)動力學分析與控制而言，本課題組已經(jīng)開展了相關(guān)的探索性研究工作[2]，初步驗證了辛算法在模擬SPS-ALPHA局部結(jié)構(gòu)自旋展開過程中的適用性。作為一個典型的近似保守系統(tǒng)，僅僅研究辛算法的適用性是遠遠不夠的，還需要進一步研究辛算法在SPS-ALPHA接收裝置——太陽帆骨架自旋展開過程中的保結(jié)構(gòu)特性，用于佐證算法的有效性，這正是本文的出發(fā)點。

大型柔性結(jié)構(gòu)構(gòu)件的自旋展開過程是近年來動力學與控制領(lǐng)域的研究熱點之一。為了提高自旋展開過程模擬的數(shù)值精度，胡海巖院士等采用廣義α法模擬黏彈性薄膜太陽帆的自旋展開過程[3]，并通過試驗驗證模擬結(jié)果及其廣義α法的有效性[4-5]，這一成果標志著太陽帆這類超大柔性結(jié)構(gòu)動力學問題的研究進入了一個嶄新時代。然而，廣義α法雖然在提高計算精度和模擬速度方面具有一定的優(yōu)勢，但是從本質(zhì)上講，廣義α法在處理約束問題過程中，采用了Index思想提高計算速度，因此它屬于一類耗散數(shù)值算法，即：算法存在人工耗散，這一本質(zhì)缺陷導(dǎo)致廣義α法的分析結(jié)果并不具有保結(jié)構(gòu)特性，也不具有良好的數(shù)值特性。

中國科學家馮康院士于1984年在“Differential Geometry and Differential Equations”會議上提出了“動力學微分方程是保守系統(tǒng)，其差分積分格式應(yīng)該保辛”的觀點[6]。哈密爾頓力學為提高數(shù)值方法的穩(wěn)定性和保結(jié)構(gòu)性能提供了新的途徑[7-8]，正是在這樣的研究背景下，本文將借助保結(jié)構(gòu)思想研究太陽帆骨架結(jié)構(gòu)自旋展開過程中動力學問題分析的數(shù)值穩(wěn)定性和保結(jié)構(gòu)特性。

本文針對SPS-ALPHA中太陽光接收裝置——太陽帆骨架，在哈密爾頓體系下建立太陽帆骨架結(jié)構(gòu)的動力學簡化模型，利用辛(幾何)算法研究其在自旋展開過程中的動力學特性及結(jié)構(gòu)的保持規(guī)律，為太陽帆骨架展開方案的設(shè)計與論證提供參考依據(jù)。需要說明的是：本文的研究沒有考慮太陽帆骨架展開過程中的空天復(fù)雜環(huán)境條件對展開過程的影響，原因是太陽帆骨架結(jié)構(gòu)阻尼較小，由于沒有分析太陽帆本身的展開過程，太陽光壓影響亦可以忽略不計；同時，由于本文關(guān)注的是模擬骨架展開過程中的保結(jié)構(gòu)特性和算法的數(shù)值穩(wěn)定性，因此，沒有考慮具體工程實際中關(guān)注的指向控制、振動控制等方面的量化指標。

1 太陽帆骨架結(jié)構(gòu)動力學模型

根據(jù)SPS-ALPHA類似“雞尾酒杯”造型的結(jié)構(gòu)(如圖1所示)，并參照網(wǎng)架式可展開空間結(jié)構(gòu)的展開過程[5]，建立SPS-ALPHA中太陽帆骨架結(jié)構(gòu)自旋展開過程的簡化動力學模型。根據(jù)骨架結(jié)構(gòu)的回轉(zhuǎn)對稱性，同時為了與文獻[2]進行對比研究，本文采用不計質(zhì)量的剛性桿上作用集中載荷的運動模型，并考慮與回轉(zhuǎn)軸垂直的任一截面的運動情況，結(jié)構(gòu)簡化平面模型如圖2所示。質(zhì)點A,B,C,D,E,F的質(zhì)量均為m，質(zhì)點1,2,3,4,5,6的質(zhì)量均為M。由骨架結(jié)構(gòu)的周期對稱性，可以得到

l1A=l1B=…=l6A=l(1)

θ1A=θ1B=…=θ6A=π6l(2)

式中，l1A,l1B,…,l6A,θ1A,θ1B,…,θ6A分別為連接半徑為R的外圓和半徑為r的內(nèi)圓上相鄰質(zhì)點之間的距離及夾角。

圖1 NASA提出的SPS-ALPHA概念圖

圖2 太陽帆骨架結(jié)構(gòu)簡化平面模型

引入廣義坐標

q=q1q2T=RrT

當系統(tǒng)以恒定的角速度繞O轉(zhuǎn)動時,建立與展開系統(tǒng)一同轉(zhuǎn)動的極坐標系,并忽略科氏力對系統(tǒng)模型的影響,因此系統(tǒng)模型的動能、萬有引力勢能可以分別表示為:

T=3M2+3m2

(3)

U=-3MR2ω2-3mr2ω2

(4)

式中，ω為系統(tǒng)轉(zhuǎn)動角速度。

系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)可以表示為

L=T-U=3M2+3m2+3MR2ω2+3mr2ω2

(5)

引入廣義動量:

p=p1p2T=pRprT

根據(jù)Lagrange函數(shù)[8],由p=?L?展開,推導(dǎo)得到系統(tǒng)模型廣義動量的具體表達式:

pR=6MR

pr=6mr

(6)

對系統(tǒng)進行勒讓德變換,得到哈密爾頓函數(shù)表達式為

H=pT-L=1ω2-3mr2ω2

(7)

在自旋展開過程中,結(jié)構(gòu)模型滿足如下的約束條件:

g(q)=g(R,r)=R2+r2-2Rrcosπ6-l2=0

(8)

根據(jù)哈密爾頓變分原理并完成變分推導(dǎo),得到

=?H(p,q)?p

(9)

式中，λ為Lagrange乘子。

將(9)式展開后,即得到哈密爾頓正則方程,如下所示:

R=16MpR

(10)

2 辛Runge-Kutta的格式

在哈密爾頓系統(tǒng)下,使用保結(jié)構(gòu)的辛(幾何)算法能夠保持系統(tǒng)的固有特性,例如隨著積分時間的增加,它的相流形能夠保持相空間的面積、體積不變以及可以保持系統(tǒng)的能量、動量不變等固有性質(zhì)[9-10]。下面以經(jīng)典Runge-Kutta方法為基礎(chǔ),簡要介紹辛Runge-Kutta方法所需滿足的條件,s級經(jīng)典Runge-Kutta方法的一般格式為:

un+1=un+h∑sj=1bjf(tn+cjh,kj)

ki=un+h∑sj=1aijf(tn+cjh,kj)

(11)

式中，i,j=1,2,…,s,ci≥0,∑si=1ci=1,∑sj=1aij=ci,∑si=1bi=1。

馮康等人[6]已經(jīng)證明格式(11)是辛的,當且僅當其系數(shù)滿足如下的條件:

bibj-aijbi-ajibj=0

(12)

式中，i,j=1,2,…,s。

由于辛Runge-Kutta方法程序模塊化程度高,穩(wěn)定性好,備受計算數(shù)學家的青睞。在(12)式中,當系數(shù)aij,bi取不同的值時,可以得到不同的辛Runge-Kutta格式,其中一種常用的2級4階辛Runge-Kutta格式如下所示:

A=a11a12

a21a22=1414-36

14+3614

b=b1b2=1212

c=c1c2=12-3612+36

(13)

3 數(shù)值仿真及結(jié)果討論

為了說明前一部分構(gòu)造的哈密爾頓體系下辛Runge-Kutta方法的優(yōu)良性能,本部分將分別采用辛Runge-Kutta方法和經(jīng)典Runge-Kutta方法對比分析太陽帆骨架結(jié)構(gòu)簡化模型的展開過程,從位移約束、保結(jié)構(gòu)等方面說明辛(幾何)算法的優(yōu)越性。

3.1 基于辛(幾何)算法的結(jié)構(gòu)分析

本節(jié)采用(13)式對非線性哈密爾頓方程(10)進行數(shù)值仿真。其中結(jié)構(gòu)質(zhì)量及旋轉(zhuǎn)角速度分別為:M=m=1,ω=1,初始半徑R0=1,r0=0.8,且均為無量綱量。當步長分別為h=0.001、h=0.01、h=0.1時,得到質(zhì)點廣義位移分量如圖3所示。

圖3 辛Runge-Kutta格式模擬得到的質(zhì)點位移變化情況

從圖3可以看出:當步長分別為h=0.001、h=0.01、h=0.1時,隨著模擬過程的進行,所得到的廣義位移分量變化情況基本一致:2個廣義位移分量各自的振幅、振動周期均呈現(xiàn)周期性的變化,并且這種周期性分布不隨時間的推移而變化,這說明使用辛算法模擬太陽帆骨架展開過程可以保持系統(tǒng)的振動特性。圖4所示為利用辛Runge-Kutta方法計算得到的內(nèi)外層質(zhì)點的對偶相圖。由圖4中可以看出使用辛Runge-Kutta方法得到質(zhì)點的相空間面積均保持不變,這也驗證了在哈密爾頓系統(tǒng)下使用辛(幾何)算法可以保持系統(tǒng)的相空間面積不變這一結(jié)論。

圖4 質(zhì)點q-p對偶相圖

3.2 系統(tǒng)位移約束違約分析

為了驗證辛(幾何)算法對于微分代數(shù)方程約束違約問題的適用性,本文分別采用辛Runge-Kutta方法、經(jīng)典Runge-Kutta方法對位移約束違約的情況進行模擬分析。令

Δfi=gi(R,r)

式中，i=0,1,2,…,n,Δfi表示約束g(R,r)在第i步的數(shù)值計算結(jié)果與理論值的差值(g(R,r)的理論值為零)。2種方法得到的位移違約情況分別如圖5所示。

圖5 位移約束違約情況

由圖5a)可以看出采用辛Runge-Kutta方法得到的位移約束違約值控制在[-5×10-16,7×10-16]范圍內(nèi),數(shù)值計算結(jié)果與理論值的誤差基本可以忽略;由圖5b)可以看出,采用經(jīng)典Runge-Kutta方法得到的位移約束違約值在[-5×10-2,0]的范圍之內(nèi),約束違約情況嚴重,方程的解已經(jīng)趨向于發(fā)散。對比圖5,充分說明了辛算法能夠很好地克服系統(tǒng)約束違約的情況。

3.3 系統(tǒng)能量分析

忽略展開過程中外界復(fù)雜空天環(huán)境的影響，太陽帆骨架自旋展開過程中的動力學系統(tǒng)是一個近似的保守系統(tǒng)，即系統(tǒng)的總能量應(yīng)該是守恒的，而辛(幾何)方法的最大優(yōu)點就是能夠長時間保持系統(tǒng)的整體能量。圖6a)給出了利用辛Runge-Kutta方法計算得到的系統(tǒng)模型的相對能量誤差的情況,從圖中可以看出利用辛Runge-Kutta方法計算得到的系統(tǒng)相對能量誤差控制在10-15量級，并且在自旋展開過程中一直保持該數(shù)量級。圖6b)給出的是利用經(jīng)典Runge-Kutta方法計算得到的相對能量誤差的情況，從圖中可以看出利用經(jīng)典Runge-Kutta方法計算得到的系統(tǒng)相對能量誤差在10-5量級，其相對能量誤差比辛Runge-Kutta方法高10個數(shù)量級，因此即便是目前廣泛采用的經(jīng)典Runge-Kutta方法，仍然不能保持系統(tǒng)的能量守恒性質(zhì)，在長時間的積分運算后將會失去系統(tǒng)總能量不變這一基本性質(zhì)，從而使計算結(jié)果產(chǎn)生較大的偏差。對比圖6，充分說明了辛算法在保持系統(tǒng)能量守恒性質(zhì)方面具有突出的優(yōu)勢。

圖6 相對能量誤差

4 結(jié) 論

本文以任意相控陣空間太陽能電站SPS-ALPHA中太陽帆骨架結(jié)構(gòu)的展開過程為背景，建立了簡化的動力學模型，并基于變分原理將Lagrange方程導(dǎo)入到哈密爾頓體系下，得到系統(tǒng)的正則方程組，并利用辛Runge-Kutta離散格式模擬分析了太陽帆骨架結(jié)構(gòu)的展開過程，得到的主要結(jié)論如下：

1) 在數(shù)值模擬過程中，本文構(gòu)造的2級4階辛Runge-Kutta格式能夠保持太陽帆骨架的振動特性及系統(tǒng)的相空間面積不變；

2) 使用辛Runge-Kutta方法得到的能量相對誤差明顯低于經(jīng)典Runge-Kutta方法得到的能量相對誤差，本文構(gòu)造的辛Runge-Kutta格式在保持系統(tǒng)能量守恒方面具有突出優(yōu)勢，并且在數(shù)值計算中辛Runge-Kutta方法能夠很好地克服系統(tǒng)約束違約的情況。

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