不忘“輔線”，方得“全等”

證明三角形全等是解決線段與角相等或和、差、倍、分關系的重要方法，有時應用“全等三角形”來解題時，原圖中并不存在全等三角形，需要添加輔助線進行構造，這是我們學習過程中的一個難點.下面，就如何利用已有條件作輔助線構造全等三角形和同學們進行一些探索.

一、作旋轉圖形得全等

例1 如圖1，設點P是等邊△ABC內的一點，PB=6，PA=8，PC=10，則∠APB的度數是

.

【分析】本題中的PB、PA、PC的長度分別為6、8、10，很容易讓我們想到直角三角形，又因為等邊三角形中BC、BA長度相等且有公共的端點，所以可以運用“旋轉法”構造全等三角形來解決.

解：∵△ABC為等邊三角形，∴BA=BC.

可將△BPC繞點B逆時針旋轉60°得△BEA，則△BEA≌△BPC，連EP，如圖1.

∴BE=BP=6，AE=PC=10，∠PBE=60°，

∴△BPE為等邊三角形，

∴PE=PB=6，∠BPE=60°.

在△AEP中，AE=10，AP=8，PE=6，

∴AE2=PE2+PA2，

∴△APE為直角三角形，且∠APE=90°，

∴∠APB=90°+60°=150°.

【方法點撥】本題的考點為旋轉的性質、等邊三角形的性質以及全等三角形的性質.我們利用旋轉構造全等三角形，將已知線段相對集中，組合成特殊的直角三角形，同時又產生了等邊三角形，再進行等量代換解決了問題.

二、“截長”或“補短”得全等

例2 如圖2，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=CB，AD平分∠BAC交BC于D，求證：AC=AB+BD.

【分析】從結論出發，要證明兩條線段之和等于第三條線段，就可以采取“截長補短”法.

證法一：如圖3所示，在AC上截取AE=AB，連接DE.

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC.

在△ABD和△AED中，AB=AE，∠BAD=∠DAC，AD=AD，∴△ABD≌△AED（SAS），

∴∠AED=∠B=90°，BD=ED.

又∵AB=BC，∴∠C=45°，

∴∠EDC=∠C=45°，∴DE=CE，∴BD=CE，

∴AC=AE+EC=AB+BD.

證法二：如圖4所示，延長AB到E，使BE=BD，連接DE.

∵∠ABC=90°，AB=BC，BE=BD，

∴∠C=∠CAB=45°，∠E=∠EDB=45°，

∴∠C=∠E.

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，

又∵AD=AD，∴△ACD≌△AED（AAS），

∴AE=AC，∴AC=AB+BE=AB+BD.

【方法點撥】所謂“截長”，即在較長線段上截取一段等于兩條較短線段中的一條，再證明剩下的一段等于另一條線段；所謂補短，即把兩條短線段補成一條長線段，再證它與長線段相等.本題無論用哪種方法都是把證明線段和、差的問題轉化為證明線段相等問題.

三、作平行線得全等

例3 如圖5，已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長線上，DE交BC于F，且DF=EF，求證：BD=CE.

圖5 圖6

【分析】過點D做DG∥AC，由平行我們得出一對同位角和一對內錯角的相等，再結合已知的相等線段以及題中隱含的對頂角，就順利構造出了全等三角形.

證明：如圖6，過點D作DG∥AC交BC于G，

∴∠DGB=∠ACB，∠DGF=∠ECF，

又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，

∴∠B=∠DGB，∴DB=DG.

∵DF=EF，∠DFG=∠CFE，

∴△DGF≌△ECF，∴DG=CE.∴BD=CE.

【方法點撥】此題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質.題中原來有一對相等的線段以及一對對頂角，所以依托這兩個條件可以思考再增加什么條件可構成全等三角形，故想到作平行線構造相等的角可證得.

四、倍長中線得全等

例4 如圖7，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且BE=AC，延長BE交AC于F，求證：AF=EF.

【分析】如圖8，延長中線至點G，使DG=AD，再連接BG，這樣就可以用“SAS”證明△ADC與△GDB全等，接下來問題就明朗了.

證明：延長AD到G，使得DG=AD，

∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，

又∵∠BDG=∠CDA，

∴△ADC≌△GDB（SAS），

∴BG=AC，∠CAD=∠G，

∵BE=AC，∴BE=BG，∴∠G=∠BEG.

又∵∠BEG=∠AEF，∴∠G=∠AEF，

∴∠CAD=∠AEF，∴AF=EF.

【方法點撥】題中若有中線，可以考慮將中線延長一倍來構造全等三角形，從而將分散的條件集中，這種方法通常稱為“中線倍長法”.本題還考查了等腰三角形的性質和判定，可見綜合運用三角形知識思考問題非常重要.見中點構造全等三角形應根據具體的條件進行選擇，也不能一味模仿應用.

（作者單位：揚州大學附屬中學東部分校）