重基礎抓細節 答完整不失分

為了使同學們更好地了解三角形在中考中的考查要點、呈現形式，并能做到規范答題，減少失分，現擷取2017年中考中兩道與三角形相關的解答題，分析解題思路，規范解題過程，提示得分要點.希望能對同學們有所幫助.

例1 （2017·福建）如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足為D.求作∠ABC的平分線，分別交AD，AC于P，Q兩點；并證明AP=AQ.（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

圖1

【思路分析】按作圖方法作出∠ABC的平分線，根據“等角的余角相等”得到∠BPD=∠AQP，再將∠BPD轉化為其對頂角∠APQ，得到∠APQ=∠AQP，從而證得AP=AQ.

【規范解答】作圖2如下，BQ就是所要求作的∠ABC的平分線，P、Q就是所要求作的點.

圖2

證明：∵∠BAC=90°，∴∠AQP+∠ABQ=90°.

∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，

∴∠BPD+∠PBD=90°.

∵∠ABQ=∠PBD，∴∠BPD=∠AQP.

∵∠APQ=∠BPD，∴∠APQ=∠AQP，

∴AP=AQ.

【踩點提示】本題涉及基本尺規作圖、直角三角形的性質、等腰三角形的判定等知識，著重考查對基礎知識與基本技能的掌握.作圖時，需做到作圖痕跡清晰可見，相交兩弧要盡量避開圖中已有線段，還應注意的是雖然題目不要求寫作法，但作圖后對所作圖形的說明還是必要的，這一點很多同學往往會忽視.此外，本題的證明并不復雜，解答時應做到嚴謹規范，步步有據，不能隨意地省略.

例2 （2017·北京）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是線段BC上一動點（與點B、C不重合），連接AP，延長BC至點Q，使得CQ=CP，過點Q作QH⊥AP于點H，交AB于點M.

（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）；

（2）用等式表示線段MB與PQ之間的數量關系，并證明.

圖3

【思路分析】（1）由“∠ACB=90°，QH⊥AP”知∠PAC、∠Q都與∠APC互余，故∠Q=∠PAC=α，由“等腰直角△ABC”知∠B=45°，根據“三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內角的和”，可得∠AMQ=∠B+∠Q=45°+α.

（2）連接AQ，由AC垂直平分PQ可知AQ=AP，利用等腰三角形三線合一的性質得∠QAC=∠PAC=α，結合（1）的結論，可知∠QAM=45°+α=∠AMQ，故有AQ=QM=AP.作MN⊥QB于點N，可證得Rt△QMN≌Rt△APC，故MN=PC=[12PQ]，由于△MNB是等腰直角三角形，所以MB=[2MN]=[22PQ].

【規范解答】（1）解：∵∠ACB=90°，QH⊥AP，

∴∠PAC+∠APC=∠Q+∠APC=90°，

∴∠Q=∠PAC=α.

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠CAB=∠B=45°.

∴∠AMQ=∠B+∠Q=45°+α.

圖4

（2）線段MB與PQ之間的數量關系為：MB=[22PQ].

理由如下：

如圖4，連接AQ，作MN⊥QB，垂足為N.

∵∠ACB=90°，CQ=CP，∴AQ=AP，

∴∠QAC=∠PAC=α.

∵∠CAB=45°，

∴∠QAM= ∠CAB +∠QAC =45°+α.

由（1）知，∠AMQ=45°+α，∠MQB=∠PAC，

∴∠QAM=∠AMQ，

∴AQ=QM=AP.

在△QMN和△APC中，

[∠QNM=∠ACP=90°，∠MQB=∠PAC，QM=AP，]

∴△QMN≌△APC（AAS），

∴MN=PC=[12PQ].

∵∠MNB=90°，∠B=45°，

∴△MNB為等腰直角三角形，

∴MB=[2MN]=[22PQ].

【踩點提示】本題是一道綜合性較強的解答題，涉及等腰三角形、直角三角形、全等三角形的性質與判定等多個知識點，考查綜合運用知識的能力，發現、提出問題以及分析、解決問題的能力.本題設置了兩個小問題，第（1）題較為簡單，它的設置其實是為解決第（2）題提供了臺階與抓手，這也是很多綜合題常見的命題方法，解題時應予以充分的重視.第（2）題的要求是先“表示”，后“證明”，不少同學在答題時習慣直接推導出結論，從而造成失分，需引起注意.此外，在證明全等三角形時，我們提倡用大括號按順序列出三個條件的做法，這樣做不僅顯得條理清晰，而且便于閱卷老師批閱.

學會反思是學力提升的重要手段，做完本題后，我們還可以進一步思考：若點P在線段BC的延長線或反向延長線上，問題該如何解決呢？感興趣的同學不妨試一試.

（作者單位：江蘇省興化市沙溝中學）