一道課本動(dòng)態(tài)幾何題的變式探究

三角形是最簡(jiǎn)單的多邊形，將復(fù)雜問(wèn)題（或圖形）“轉(zhuǎn)化”為簡(jiǎn)單的問(wèn)題（或圖形）從而順利解決問(wèn)題是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，事實(shí)上，初中幾何中包括中考試題中很多多邊形問(wèn)題最終都要以三角形為“落腳點(diǎn)”.因此，熟練掌握及能運(yùn)用三角形相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題顯得尤為重要.下面，從一道課本例題出發(fā)，以“設(shè)計(jì)”“生長(zhǎng)”“探究”變式追問(wèn)的過(guò)程為線索，討論三角形相關(guān)知識(shí)在解決系列問(wèn)題中的重要作用.

【課本例題】如圖1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以1cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng).幾秒鐘后△DPQ的面積等于28cm2？

【分析】設(shè)xs后△DPQ的面積為28cm2，則AP、PB、BQ、QC的長(zhǎng)度可分別用含x的代數(shù)式表示，從而Rt△DAP、Rt△PBQ、Rt△QCD的面積也都可用含x的代數(shù)式表示，于是可以列出方程.

【變式追問(wèn)】老師把這個(gè)圖形進(jìn)行了改編，打算從簡(jiǎn)單的直角三角形入手，放手讓同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)或提出一些問(wèn)題，下面老師就把那節(jié)課生成的好問(wèn)題在這里作一個(gè)分享，期望對(duì)同學(xué)們有所幫助.

一、設(shè)計(jì)

如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以1cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，時(shí)間為t.嘗試設(shè)計(jì)或提出一些問(wèn)題.

【解讀】在這個(gè)情境中存在著許多量是隨著點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)而變化的，如線段AP、PB、BQ、CQ、PQ的長(zhǎng)度；△PBQ的面積、周長(zhǎng)；線段PQ位置變化等.

（1）當(dāng)PQ=[42]時(shí)，求時(shí)間t的值.

（2）當(dāng)△PBQ的面積為8cm2時(shí)，求時(shí)間t的值.

（3）記△PBQ的面積為S1，直接寫出S1關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S1的最大值或最小值.

（4）是否存在t的值，使得PQ∥AC？若存在，求出時(shí)間t的值；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】由題意可知：AP=t，PB=6-t，BQ=2t，CQ=12-2t.

（1）在Rt△PBQ中，PQ2=PB2+BQ2，所以（[42]）2=（6-t）2+（2t）2，解得t1=[25]，t2=2.

（2）由面積公式，得[12]（6-t）2t=8，解得t1=2，t2=4，所以，存在t=2或4，使得△PBQ的面積為8cm2.

（3）S1=[12]（6-t）2t=-t2+6t=-（t-3）2+9，所以，S1的最大值為9.

（4）當(dāng)PQ∥AC時(shí)，則有△BPQ～△BAC，于是有[BPBQ]=[BABC]成立，則[6-t2t]=[612]，得t=3.

二、生長(zhǎng)

如圖3，以AB、BC為邊補(bǔ)成矩形ABCD，連接DQ、DP.

（5）當(dāng)DQ⊥PQ時(shí)，求時(shí)間t的值.

（6）求時(shí)間t的值，使得△DPQ是直角三角形.

（7）當(dāng)△PBQ與△DCQ相似時(shí)，求時(shí)間t的值.

（8）是否存在t的值，使得△DPQ與△PBQ、△DCQ三個(gè)三角形兩兩相似？若存在，求出時(shí)間t的值；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（9）連接AC，分別交DQ、DP于點(diǎn)M、N，若M、N是AC的三等分點(diǎn)，求時(shí)間t的值.

【解析】（5）當(dāng)DQ⊥PQ時(shí)，則有△PBQ～

△QCD，于是有[BPBQ]=[QCCD]成立，[6-t2t]=[12-2t6]，t1=[32]，t2=6，當(dāng)t=6時(shí)，△PBQ、△QCD不存在，但要考慮t=6時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，也有DQ⊥PQ成立.故t1=[32]，t2=6.

（6）△DPQ是直角三角形，顯然有三種情形，要分類討論：

①若∠DPQ=90°，t=0；②∠DQP=90°，t1=[32]，t2=6；③∠PDQ=90°，不存在t的值.綜上所述：當(dāng)t=0、[32]、6時(shí)，△DPQ是直角三角形.

（7）當(dāng)△PBQ與△DCQ相似時(shí)，由于對(duì)應(yīng)關(guān)系的不確定，也要分類，緊扣∠B=∠C=90°這一重要條件，直角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例建立關(guān)系式：[PBBQ]=[CQCD]或[PBBQ]=[CDCQ].[6-t2t]=[12-2t6]，t1=[32]，t2=6（舍去）；[6-t2t]=[612-2t]，t1=9-[35]，t2=9+[35]>6（舍去）.綜上所述，當(dāng)△PBQ與△DCQ相似時(shí)，t=[32]、9-[35].

（8）有了前面的經(jīng)驗(yàn)積累，我們知道△PBQ、△DCQ相似時(shí)時(shí)間t的值，而且都是直角三角形，所以△DPQ必須為直角三角形，由（6）可知，t=0、[32]、6，當(dāng)t=[32]時(shí)，PB=4.5，BQ=3，△PBQ～△QCD，相似比為PQ∶DQ=BQ∶CD=3∶6=1∶2，但在△PBQ中，PB∶BQ=4.5∶3=3∶2，所以PB∶BQ≠PQ∶DQ，故△DPQ不與△PBQ、△DCQ相似，所以時(shí)間t的值不存在.

（9）如圖4，若M、N是AC的三等分點(diǎn)，則由△QCM～△DAM可知[CQAD]=[CMAM]，[12-2t12]=[12]，t=3；同理，由△PAN～△DCN可知[APCD]=[ANCN]，[t6]=[12]，t=3.反之，當(dāng)t=3時(shí)，也有M、N是AC的三等分點(diǎn)成立.

圖4

三、探究

如圖5，在矩形ABCD中，以PQ為一邊作正方形PQEF（按逆時(shí)針?lè)较颍柚鷰缀萎嫲澹S著點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)，又有了新的發(fā)現(xiàn)：

（10）正方形PQEF的面積為S2，直接寫出S2關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求正方形PQEF面積的最小值.

（11）連接CE，①當(dāng)△CEQ的面積為10時(shí)，求時(shí)間t的值；②求證：CE=EF.

（12）連接CE、DE，是否存在t的值，使得△DCE是等腰三角形？若存在，求出時(shí)間t的值；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（13）當(dāng)AC平分正方形PQEF的面積時(shí)，求時(shí)間t的值.

【解析】（10）正方形PQEF的面積為S2=PQ2=（6-t）2+（2t）2=5t2-12t+36=5（t-[65]）2+[1445]，所以當(dāng)t=[65]時(shí)，S2的最小值為[1445].

（11）①如圖6，作EH⊥BC于點(diǎn)H，容易證明△PBQ≌△QHE，那么，EH=BQ=2t，于是△CEQ的面積可表示為[12]QC·EH=[12]（12-2t）2t=t（12

-2t），則有t（12-2t）=10，t1=1，t2=5.

②由①可知，△PBQ≌△QHE，那么QH=PB=6-t，CH=（12-2t）-（6-t）=6-t，則QH=CH，又因?yàn)镋H⊥BC于點(diǎn)H，所以CE=EQ=EF.

（12）分類討論：①若CE=CD，如圖7，而CE=QE=PQ=[5t2-12t+36]，CD=6，于是便有[5t2-12t+36]=6，解得：t1=0，t2=[125]；②若EC=ED，作EJ⊥CD，垂足為點(diǎn)J，如圖8，由等腰三角形三線合一性質(zhì)可知：CJ=[62]=3，EH=2t，而CJ=EH，則3=2t，t=[32]；③若DE=DC，延長(zhǎng)HE交AD于點(diǎn)G，如圖9，有DE2=DG2+EG2=CD2，則（6-t）2+（6-2t）2=62，解得t1=[65]，t2=6，當(dāng)t=6時(shí)，點(diǎn)C、D、E三點(diǎn)共線，不存在△DCE，所以t=6舍去，故t=[65].

（13）當(dāng)AC平分正方形PQEF的面積時(shí)，則AC必定經(jīng)過(guò)正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，連接EP交AC于點(diǎn)O，則O點(diǎn)是EP的中點(diǎn)，設(shè)EH交AC于點(diǎn)M，容易證明：△APO≌△MEO，于是，EM=AP=t，而EH=2t，則MH=t，由MH∥AB，有[MHCH]=[ABBC]=[12]，[t6-t]=[12]，解得t=2.

【點(diǎn)評(píng)】經(jīng)歷上述問(wèn)題的探究，希望同學(xué)們進(jìn)一步體會(huì)方程與函數(shù)的關(guān)系、變中不變、等腰三角形的存在性問(wèn)題解決策略，尤其關(guān)注問(wèn)題之間的相互關(guān)聯(lián)，看似“并列式”問(wèn)題，實(shí)則要“遞進(jìn)式”分析思考求解.

（作者單位：蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學(xué)校）