經驗模態分解構造觀測矩陣的方法

劉學文， 肖 嵩， 薛 曉

(西安電子科技大學 綜合業務網理論及關鍵技術國家重點實驗室，陜西 西安 710071)

經驗模態分解構造觀測矩陣的方法

劉學文， 肖 嵩， 薛 曉

(西安電子科技大學 綜合業務網理論及關鍵技術國家重點實驗室，陜西 西安 710071)

為了大概率地保持信號信息的完整性，觀測矩陣被設計得傾向于隨機矩陣．但這種隨機性也導致有用的信息和無用的信息被接近等概率地測量，降低了感知效率．為了提高觀測效率，提出了利用參考信號進行經驗模態分解構造觀測矩陣的方法——本征模函數循環矩陣．基于Ger?gorin圓盤定理證明了該矩陣滿足約束等距性條件．以信號降噪效果為衡量標準，仿真了該矩陣的信號降噪過程，結果表明，為參考信號添加一定程度的噪聲后形成的觀測矩陣，對降噪有更佳的效果; 對于含噪信號與參考信號在時域有錯位的情況，雖然在時域上的降噪效果與理想情況有明顯的降低，但仍能夠更好地凸顯信號的頻域特征，具有實用價值．

觀測矩陣;壓縮感知;信號降噪;稀疏重構;循環矩陣

在壓縮感知理論中，由于并不能預先知道K稀疏信號x在其稀疏變換域中K個分量的具體位置，因此，觀測矩陣Φ往往被設計得更傾向于隨機矩陣，使得測量具備普適性(測量通帶寬)，才能保證x中的重要信息能被公平地測量到，才能大概率地保持信號信息的完整性．但是，隨機性導致有用的信息并未被著重測量，而無用的信息被多次測量，這也是為了實現高精度重構，所需測量次數比K大很多的原因之一．同時，實際測量中因為壓縮測量，能量不可避免地損失，而當能量損失到一定程度時，信息損失也不可避免．

理論上講，由于高斯隨機矩陣和伯努利隨機矩陣中的元素都是獨立同分布的，因此，與任何信號或者正交基的相關性很小．經過學者證明，對于任意信號，這兩種矩陣具有接近最優的觀測性能，但是其缺點在于存儲復雜度和計算復雜度．多年來，研究者們提出了多種觀測矩陣[1-2]，改進和優化主要面向:能夠達到盡量少的觀測次數;結構盡量簡單、稀疏(降低存儲和計算復雜度);易于硬件實現．改進型觀測矩陣主要分為部分隨機矩陣、結構化矩陣和確定性矩陣．典型的有:局部傅里葉矩陣[3]和局部哈達瑪矩陣[4]系列，這一系列矩陣的構造方式是隨機選取正交變換矩陣的某些行，其優勢在于每個矩陣元素都有固定的計算公式;托普利茲矩陣和循環矩陣[5-6]系列，這一系列矩陣將線性系統中的卷積以及循環卷積計算應用于觀測矩陣設計，結構化矩陣在滿足觀測要求和降低隨機性方面進行了折中；基于編碼理論的低相關性確定性矩陣[7]，確定性矩陣易于硬件實現，這一系列矩陣基于信源編碼或信道編碼中的數學工具，能保證設計的矩陣有很小的列相關性．但缺點在于受到復雜數學運算和各種約束，往往只能構造出維數比較小的矩陣．

研究表明，結合信號先驗知識設計匹配的測量矩陣[8]，使得恢復性能有明顯提升:如果已有信號模板(如主動探測等應用)或有大量的相似訓練信號(如誘發腦電等應用)，則根據信號的特征指導觀測矩陣的構造[9-10]; 又或以某個參量作為衡量標準，在觀測過程中根據待測信號的變化進行自適應地調整，壓縮感知的壓縮性能應該可以得到提高．文獻[11]提出在壓縮感知編碼中若能夠使用邊信息(與待處理信號類似的信號)，利用該信息構造觀測矩陣，可以大大減少測量次數．在文獻[12]中，以微分熵來表征壓縮感知解的可信度，以微分熵下降是否最快來衡量在下一次迭代中所選的觀測矩陣，該方法優化了觀測矩陣，同等測量次數下比隨機觀測矩陣的重構性能有很大提高．在文獻[13]中以兩次迭代中觀測矩陣的互相關性為指標，以梯度下降算法優化觀測矩陣，用以提高高光譜圖像的重構精度．

筆者借鑒利用信號特征來構造觀測矩陣的思想[14]，提出利用信號經驗模態分解(Empirical Mode Decomposition， EMD)后得到的本征模態函數(Intrinsic Mode Function， IMF)，按照循環矩陣[15]的形式構建壓縮感知觀測矩陣．經理論證明和仿真，驗證了其能夠以較少的測量次數達到精確的重構概率和重構精度．

1 IMF循環矩陣的理論基礎

1.1 經驗模態分解

EMD假定信號是由有限個IMF疊加而成的[16]，IMF包含了信號不同時間尺度上的局部特征．IMF同時滿足:局部極值點和過零點的數目相等或至多相差1個;在任意時刻，局部極大值所形成的上包絡線和局部極小值所形成的下包絡線平均值必須為零．不同IMF在同時段內沒有相同的頻率，彼此正交．

1.2 壓縮感知

壓縮感知理論是在2004年提出的: 如果信號本身或在某個變換域是稀疏的，那么可以利用一個觀測矩陣對其進行觀測降維．若該觀測矩陣與信號的稀疏變換基不相關，則通過求解最優化問題，可以根據低維的測量向量，高概率地精確恢復原始信號[17]．

1.3 IMF循環矩陣的構造

(1)

2 IMF循環矩陣的約束等距性

合理設計的托普利茲矩陣[18]和循環矩陣[19]被證明滿足約束等距性(Restricted Isometry Property， RIP)條件，證明都是采用矩陣奇異值估計中的Ger?gorin圓盤定理: 首先給出待證明矩陣Φ的格拉姆矩陣G=A*A(A*為矩陣A的共軛轉置矩陣)．證明若G的每個對角元素都以很高的概率接近于1，且每個非對角元素以很高的概率受限，則矩陣Φ的任意k階子矩陣的奇異值都介于 ((1-δk)1/2，(1+δk)1/2)，即矩陣滿足RIP條件．

IMF循環矩陣基于循環矩陣理念設計，具備循環矩陣的形式．因此，文中同樣基于Ger?gorin圓盤定理來證明其RIP性質．首先給出以下引理[19]．

引理1(Ger?gorin圓盤定理)m×m階矩陣A的特征值都分布于m個圓盤di=di(ci，ri)的并集中，其中，ci=Ai， i，ci為圓盤的圓心；ri= ∑ |Ai， j|，ri為圓盤的半徑；Ai， i和Ai， j分別表示矩陣A的對角元素和非對角元素．

引理2 對于預設的0<δd，δ0，δk<1，且δk=δd+δ0，若矩陣A的Gramian:G=A*A(A*為矩陣A的共軛轉置矩陣)的所有對角元素都滿足 |Gi， i-1|<δd，同時，所有非對角元素都滿足 |Gi， j-1|<δ0/k，則矩陣A滿足RIP(k，δk)．證明過程參見文獻[20]．

基于上述4個引理，給出以下關于IMF矩陣RIP性質的定理及證明．

證明 如式(1)所示的IMF循環矩陣可以看作是由單個循環矩陣縱向拼接而成．為了簡單起見，假設Φ的行數m正好可以被p整除，即q=m/p，此證明結果可以推廣到m不被p整除的情況．

(2)

各IMF分量是正交的，E[(aij)2]=(σj)2，且根據IMF分量的特點可知，(σ1)2>(σ2)2>…>(σp)2，k0=n，故有

則Φ的格拉姆矩陣所有對角元素應滿足的條件為

(4)

下面證明非對角元素需滿足的條件:Gi，j(i≠j)是Φ第i列與第j列的內積．即

(5)

其中，1≤e≤f≤n．Gi，j(i≠j)中的每一項均有一個與其他項重復的Φ的列．為了使用引理4，取q為偶數的典型情況，將Gi，j(i≠j) 分解成兩部分的和，每一部分均不存在重復的Φ的列，即Gi，j=Gi，j1+Gi，j2，因此

(6)

(7)

在引理4中，令t=δ0/k，k0=n/2，有

(8)

由于Gi，j=Gj，i，且不相同的非對角元素的總數為(n2-n)/2

(9)

在引理2中，假設δd，δ0，δk∈(0，1)，δk=δd+δ0，令δd=2δk/(2+21/2)，δ0= 21/2δk/ (2+ 21/2)，則

(11)

(12)

Pr(Φ不滿足RIP(k，δk))≤exp(-c1/k2) ．

(13)

定理得證．

3 IMF循環矩陣用于信號降噪的仿真與分析

3.1 IMF循環矩陣在降噪中的應用

在IMF循環矩陣的構造中需要已知信號模板，這決定了其適用于圖1(a)的應用場景:發射端設置一路檢測發射信號的參考檢測器1，用于構造IMF循環矩陣．利用該矩陣對回波信號檢測器2中的信號進行觀測，重構信號的過程即為降噪的過程．降噪過程如圖1(b)所示: 參考檢測器1檢測到的信號中加入預置白噪聲后得到xtn，對其進行EMD分解獲得一組IMF分量，按照式(1)的形式構造循環矩陣．考慮到回波信號不可能與xtn在時域上嚴格對準，在仿真時設置一個時域誤差δ: 采樣點0～δ為隨機噪聲，采樣點 (δ+1)～N為含噪回波信號．利用高斯隨機矩陣和稀疏隨機矩陣作為對比，重構算法是正交匹配追蹤算法．

圖1 IMF循環矩陣在降噪中的應用

3.2 仿真與分析

3.2.1 理想信號的重構及降噪效果

理想信號是指待處理信號與參考信號在時域嚴格對準．以4種不同頻率的正弦波合成 1×N信號x，N= 256．在試驗中，以稀疏隨機矩陣和高斯隨機矩陣為對比，其測量次數和重構算法的迭代次數 (m=8) 均與文中算法的一致．在理想信號的重構試驗中，直接對x進行EMD分解，得到IMF分量后根據測量次數M構造循環矩陣．當重構信號與原始信號的誤差小于10-6時，認為重構成功，得到的測量次數與重構成功概率如圖2(a)所示; 在理想信號降噪試驗中，用加性高斯白噪聲(Additive White Gaussian Noise，AWGN)函數對x添加高斯白噪聲后作為待降噪信號，信噪比為 5 dB．IMF循環矩陣的構造過程為: 用AWGN函數對x預置不同程度 (5～ 20 dB) 的高斯白噪聲作為參考信號，分別進行EMD分解，得到IMF分量后根據測量次數M構造循環矩陣．圖2(b)給出了參考信號信噪比為 15 dB 時，不同觀測矩陣的降噪效果．圖2(c)給出了參考信號的不同信噪比對降噪效果的影響曲線．

圖2 參考信號信噪比對降噪效果的影響

由圖2(a)可知，在測量次數M=16時，IMF循環矩陣已經可以實現信號的100%重構．因為IMF分量包含了原始信號在不同時間尺度上的局部特征，比隨機矩陣能更直接地測量信號的有用信息．由圖2(b)可知，IMF循環矩陣在較少測量次數時即有很好的降噪效果．參考信號信噪比會影響降噪效果，由圖2(c)可知，無預置噪聲并非是最好的選擇，而是存在一個最佳信噪比，且該最佳的信噪比與測量次數相關．因為在某個信噪比時，EMD分解后的IMF同時包含了信號和噪聲的特征，因此，可以達到更好的降噪效果．

有文獻證明，離散余弦變換(Discrete Cosine Transform， DCT)矩陣和小波基構造的稀疏測量矩陣對圖像和語音等信號有較好的恢復性能．與隨機矩陣不同，DCT矩陣、小波基矩陣與文中提出的IMF循環矩陣均為突出待觀測信號局部特征的觀測矩陣，在此進行橫向對比．在試驗中，原始信號N=256 有3種:4種不同頻率的正弦波疊加而成的信號x；語音信號“windows logon.wav”中的一部分；隨機正弦信號由idinput(N，‘sine’)生成．待觀測信號信噪比為 -5 dB，參考信號信噪比為 15 dB．首先生成N×N維DCT矩陣、小波基矩陣和IMF循環矩陣，隨機選擇每個矩陣中的M行進行試驗，試驗結果如圖3(a)所示;由于DCT矩陣基函數的頻率性質，為了保證公平，選取DCT矩陣的前M行，小波基矩陣和IMF循環矩陣隨機取M行再次進行試驗，試驗結果如圖3(b)所示．試驗中3種觀測矩陣的重構算法迭代次數 (m=16) 一致．

圖3 IMF循環矩陣與DCT矩陣和小波基矩陣的對比

由圖3(a)可知，隨機選取DCT矩陣的M行作為觀測矩陣，由于有較多高頻率的基函數被選中，因此，并未能顯示其對語音信號具備的優越性．和小波矩陣一樣，其對3種信號的降噪效果均不如IMF循環矩陣．但是由圖3(b)可知，對于選擇DCT中前M行(頻率低的前M個基函數)作為觀測矩陣時，其在較低測量次數的時候體現出對語音信號的絕對觀測優勢，但其能達到的信噪比對測量次數敏感．同時可以看出，DCT矩陣的余弦基函數決定了其對隨機正弦類信號并不能達到好的降噪效果，而IMF循環矩陣恰恰對這類信號具有測量優勢，與DCT矩陣的優勢互為補充．

3.2.2 時域錯位信號的降噪效果

對于回波信號不可能與xtn在時域上嚴格對準的情況，仿真中設置時域誤差為采樣點數δ=20．發射信號x由 200 Hz 的載波通過 50 Hz 頻率調制(Frequency Modulation， FM)而成，用AWGN函數對x添加高斯白噪聲后作為待降噪的回波含噪信號，信噪比為 -1 dB．參考信號信噪比為 20 dB，測量次數為80次，重構算法為正交匹配追蹤算法．各仿真信號波形及頻譜如圖4所示．IMF循環矩陣的構造方法與上節中一致．隨機矩陣對比實驗中，回波信號沒有時域誤差．

圖4 錯位信號的降噪仿真結果

由圖4可知，與理想情況相比，雖然IMF循環矩陣對與參考信號有錯位的信號在降噪效果上有明顯的降低，但能夠很好地保留信號的頻域特征，抑制干擾信號的頻域特征，可以視為實現了有效降噪，且在波形和頻譜圖上體現出降噪效果要明顯優于隨機矩陣．

4 結 束 語

面向擁有待處理信號的先驗知識的壓縮感知應用，筆者提出了利用對參考信號進行經驗模態分解得到的本征模函數構造觀測矩陣的方法——本征模函數循環矩陣．基于Ger?gorin圓盤定理證明了IMF循環矩陣滿足RIP條件．仿真結果表明，為參考信號添加一定程度的噪聲后再進行EMD分解，對于降噪有更佳的效果; 在含噪信號與參考信號在時域完全對準的情況下，IMF循環矩陣能夠以較明顯少于隨機矩陣的測量次數達到更高的重構概率和重構精度; 與DCT矩陣相比，IMF循環矩陣在處理隨機正弦類信號中具有優勢;在含噪信號與參考信號在時域有錯位的情況下，雖然降噪效果與理想情況有明顯的降低，但是由頻譜圖發現，IMF循環矩陣能夠很好地凸顯信號的頻域特征，為后續階段的信號處理奠定了基礎．

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Measurementmatrixconstructionbasedonempiricalmodedecomposition

LIUXuewen，XIAOSong，XUEXiao

(State Key Lab. of Integrated Service Networks, Xidian Univ., Xi’an 710071, China)

In order to maintain the integrity information on the signal in high probability, the measuremental matrix is designed to be a random one. But this randomness results in the fact that both useful information and useless information are near the equiprobably measured, which leads to a low sensing efficiency. To improve the sensing efficiency, this paper proposes a new method of measurement matrix construction based on Empirical Mode Decomposition of the reference signal. It uses the Intrinsic Mode Function to construct a cyclic matrix, which is proved to satisfy the restricted isometry property condition by the Ger?gorin disc theorem. It simulates the signal denoising process and uses signal noise reduction as the measure. Simulation results show:it has a better effect on reducing noise by adding noise to the reference signal;when the noisy signal and the reference signal are dislocated in the time domain, the effect of noise reduction is significantly decreased compared with the ideal condition. However, the reconstructed signal maintains its frequency information well, which is helpful in practical applications.

measurement matrix; compressive sensing; signal denosing; sparse reconstruction; circulant matrix

2017-03-09

時間：2017-06-29

國家自然科學基金資助項目(61372069)；高等學校學科創新引智計劃(111計劃)資助項目(B08038)；河南省高等學校重點科研計劃資助項目(15A510002)

劉學文(1983-)，男，西安電子科技大學博士研究生, E-mail：xdkdlxw@126.com．

http://kns.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20170629.1734.014.html

10.3969/j.issn.1001-2400.2018.01.007

TN911.4

A

1001-2400(2018)01-0035-07

(編輯： 李恩科)