非線性非最小相位船舶舵減搖系統的滑模控制

王世凱，金鴻章

WANG Shikai1，2,JIN Hongzhang1

1.哈爾濱工程大學 自動化學院,哈爾濱 150001

2.哈爾濱師范大學 數學科學學院,哈爾濱 150025

1.College ofAutomation,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China

2.School of Mathematical,Harbin Normal University,Harbin 150025,China

1 引言

船舶在海上航行時易受到風、浪等環境干擾的影響，致使產生航向偏移和運動位置的搖擺，大大影響船舶的工作效率和運行的平穩性。方向舵不僅能夠提供艏搖力矩，而且能夠產生橫搖力矩[1]。如果能夠合理地利用舵產生的橫搖力矩，則在控制船舶航向的同時，同時獲得減搖的效果[2-4]。且與傳統的減搖設備相比，舵減搖具有投資小，占用空間少，減搖效果好，生成的水下噪聲小等諸多特點。

我國在舵減搖控制方面的研究始于20世紀80年代。費乃振等使用遙控自航船模在純橫浪條件下進行舵減搖研究，設計出抗擾性能較好的魯棒控制器[5]。哈爾濱工程大學的劉勝等將考慮舵機對舵角和舵速的限制作用，設計了基于正實思想的舵減搖魯棒控制系統，解決了模型對象攝動時的減搖效果[6-8]。彭秀艷等基于并行分布補償原理和T-S模糊模型逼近方法設計了舵減搖的狀態反饋控制器，并將該控制器應用于某型實船試驗中，獲得較好的控制效果[9]。宋立忠等依據船舶狀態空間模型，基于模糊神經網絡設計分離型的舵鰭聯合減搖綜合控制器，提高了減搖系統的魯棒性和穩定性[10]。

通過上述文獻的綜合分析可以看出，目前大部分控制系統對外部干擾抑制不夠強，且未考慮減搖裝置自身的非線性特性，致使減搖率不夠高。本文從模型角度出發利用非線性控制理論分析船舶舵減搖系統的非最小相位特性，然后結合反饋線性化和非線性滑模控制方法給出同步進行減搖和航向控制的控制器設計策略，較好地抑制了海浪干擾對船舶控制系統的影響，大大提高了舵減搖系統的魯棒性和穩定性。

2 船舶動力特征分析與模模建立

船舶的動力特性是狀態和輸入的非線性微分方程。通常設計的舵減搖控制系統是將狀態和輸入線性化[11]。本文研究狀態為非線性的船舶動力學方程，具體建立過程如下。

2.1 船舶模型

非線性的單輸入單輸出船舶模型如下：

其中x′∈IR5是狀態，b∈IR是舵角，y∈IR是艏搖角量度，wH∈IR 用來描述一階波的擾動，b?和 f′?(x′)用來描述船舶動力學。在式（1）中的狀態變量可以做如下定義：

其中φ是橫搖角，p是橫搖的角速度，v是橫蕩速度，r是艏搖角速度，ψ是艏搖角。為了獲得期望的平衡點xd=0的船舶模型，狀態變量需要做如下修正且要滿足：

其中rd是期望的艏搖角速度，ψd是期望的艏搖角。因此控制算法應該滿足。事實上式（1）中的非線性部分可以分成一個線性部分和一個非線性部分，通過調整式（3）中的狀態參數可以獲得如下的船舶動力學方程：

2.2 改進的船舶模型

式（4）描述的船舶動力學方程通常是未知的非線性函數，為了方便控制器的設計對動力學方程做如下近似：

通過對式（4）的變形可以獲得如下的船舶動力學方程：

對建模誤差Δx(x)和Δu做如下定義：

建模誤差取決于估計的準確性，線性估計A和b通常近似于真實值。

2.3 數學基礎知識

為了分析船舶模型中的非線性運動方程，引入Z=Φ(x)這一變換。為了尋找合適的變換作如下的數學定義。

定義1關于函數h(x)的梯度向量d：

定義2沿著向量區域的λ(x)函數的導數為 f(x)：

其中Lfλ(x)稱為李導數。具有如下的遞歸性：

在定義2的基礎上，定義了非線性系統的相對階。

定義3一類非線性系統可以看成如下形式[12-13]：

其中的相對階r滿足：

引理1通常選擇φr+1(x),…,φn(x)，此時梯度向量要逐一線性化且需滿足

2.4 標準型

通過如下變換，船舶模型方程式（4）可以化成更為簡單的形式：

根據引理1，這種變換形式為：

且變換后動力學方程變為：

進一步為：

引入逆變換x=φ-1(z)且將其應用于滿足標準形式的方程式（12）中去：

為了簡化數量級，分別用二個和三個狀態變量將系統式（13）改寫成兩個子系統。定義ξ=[z1,z2]T和η=[z3,z4,z5]T，因此有：

且式（13）可以表示為：

2.5 零動態

由標準型。選擇u=-a(0,η)/b(0,η)后得到關于ξ=0的系統式（15）的零輸出y=0，因此η動力學方程為：

這就是簡化后的系統零輸入模型。如果零動力學不穩定，系統式（5）就叫做非線性非最小相位系統[14-15]。從式（15）或式（17）可以驗證零動力學是單獨的輸入，且不會因為反饋而改變。因此如果零動力學不穩定，就達不到完全跟蹤而變為漸進跟蹤[16]。所有船舶的橫搖都顯示了一種非最小相位的特性，而艏搖是最小相位。這就表示通過輸入u和輸出y=cT(x)所給出的零動力學模型是不穩定的。因此在橫搖中就不可以使用反饋線性化的方法，而系統的逆動力學方程也將變得不穩定。

基于上述分析本文提出一種可以應用于非最小相位系統的非線性舵減搖控制律。該控制器建立在定理1和假設1的基礎之上。

定理1令η=0為非線性系統的一個平衡點

其中η:D→IRn是連續可微的，D是原點的鄰域，令

則：（1）對于 Q?的所有特征值來說，如果 Re(λi)＜0 則系統漸進穩定；（2）如果Q*的一個或者多個特征值滿足Re(λi)＞0 則系統不穩定。

現在假設q?(0,η)是船舶動力學的零動態，且q(0,η)是零動態估計，則有假設1：

3 一類非最小相位舵減搖和航向保持的控制器設計

船舶是輸入為舵角，輸出為橫搖角的非最小相位系統。這可以從船舶動力學標準型看出，因此考慮如下的船舶動力學方程：

通過變換：

得到標準型：

則有：

能夠證明其零動態方程

是不穩定的。為了克服上述問題，應用滑模控制設計如下。

3.1 橫搖滑模面

定義一個滑模面：

其中α＞0，將滑模面作為輸出，船舶模型可以改寫為：

控制目標是調整σ到0且φ=p=0。容易驗證式（25）的相對階為1。 定義一個新的向量：

則滿足：

則式（15）可以變為：

其中：

然而這一問題可以通過調整滑模面得到解決。如圖1所示給出了非線性滑模控制的航向保持器系統框圖。

圖1 非最小相位橫搖穩定與航向保持系統控制器

3.2 橫搖和艏搖的復合滑模面

改進后的滑模面為：

其中k=[k1,k2,k3,k4]T，因此改進后的σ和η的系統如下：

在假設1的條件下式（37）中的零動態是穩定的，σ正則性保證了并且方程（34）表明，因此：

這樣討論上述內動態系統的有界性，使得問題變得簡單。

3.3 非線性控制器設計

為了得到期望的σ動力學（當t→0時σ→0），設計如下控制器：

其中 kσ是反饋增益，kη是前饋增益向量，k(σ,η)(σ,η)是反饋線性化項，μ＞0是切換增益，φ＞0是邊界層參數。這三種增益在2.4節的穩定性證明中都已經給出，此時邊界層參數是為了減少期望的舵時間導數的最大值的一組設計參數。

3.4 穩定性證明

假設輸入增益向量b很小時的建模誤差為：

零動態式（37）是穩定的且與δ無關，則如果在有限的時間里 η→0能夠獲得 σ=0，因此在控制器式（40）下，式（35）和（36）和船舶模型式（5）的穩定性可以用下面的李亞普諾夫函數來證明：

將控制器代入，有：

其中γ≥0，這種控制器參數的選擇表明：

最后選擇相應的切換增益μ且滿足：

一個關于時間的負半定導數的李亞普諾夫函數V(σ)就被確定如下：

則方程式（39）

4 仿真實驗

選擇某多功能海軍運輸船為研究的仿真對象。本文仿真3級海情下的海浪干擾，有義波高4 m，遭遇角45°，舵角變化率限制在 20（°/s），舵角限幅為±30°。在考慮節約舵機能量的作用下，設計滑模控制器參數如下所示：

圖2～圖5的橫軸均表示仿真時間，單位為s。

圖2 滑模控制器不工作時的橫搖角

圖3 滑模控制器工作時的橫搖角

圖4 PID控制器工作時的橫搖角

圖5 滑模控制器工作時輸出的舵角變化曲線

海浪對船舶干擾力和力矩的仿真計算采用切片理論。通常用減搖率來表示阻搖控制效果，本文所設計的控制系統在前文所述海情中的減搖率為42%，在同等條件下，為驗證本文控制方法的優越性，選擇用試湊法設計的PID控制器進行對比，得出的減搖率為34%。可見，采用非線性滑模模型所設計的舵減搖控制器能夠有效地減小橫搖，同時航向角在+20°之間變化，可以獲得更為穩定的航行效果，符合實際工程設計的需求。

5 結束語

本文所設計的舵減搖系統的非線性滑模控制器能夠有效地抑制海浪的干擾，優于常規的PID控制方法，具有良好的魯棒性。由于舵減搖和鰭減搖各有所長，它們的減搖機理也很近似，將本文的研究方法應用于減搖鰭或者舵鰭聯合減搖，值得在今后的工作中繼續深入研究。

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