高中數學解題思路的探討

盛筱祺

(江蘇省無錫市輔仁高級中學高三(2)班 214000)

著名的數學家華羅庚曾經說過：“好的數學方法和概念，常常比解決數學問題本身更重要.”在學習高中數學的過程中，我深感解題思路的重要性.如果說解決數學問題的過程像是行海的過程，那么解題的思路就好比是你迷茫時指引的羅盤；如果說解決數學問題的過程是在漆黑的夜里行走，那么好的解題思路就好比是一盞明亮的馬燈；如果說解決問題的過程是老馬識途，那么解題的思路就好比是老馬記憶里的地圖.對待一個新題型，作為高中生的我們首先應該做的或許不是動筆演算，而是應該回憶與該題型相關的知識點，找到正確的解題思路.下面，我將結合高中數學試卷，談談我的數學解題思路.

一、巧解填空題

做好填空題是數學學科拿高分的關鍵.眾所周知，填空題是考查我們對于知識的理解情況和運用的能力.在高考的大綱中，填空題的比重將近占了44%，也就是說160分值的江蘇卷中將近有70分(共計14個)是分配給填空題的.下面，從填空題題型分布方面談談數學填空題方面的解題思路.

在14道填空題中，將有近10道是基礎題.對于基礎題，我的解題策略是穩拿穩放，做到全對，不失一分.在實際考試的過程中，許多同學都對填空題的基礎部分掉以輕心，因此也總在該方面失去5到10分.大家切不可不把這5分放在眼里，試問高考中有多少個5分能讓你丟失？況且高手之間的較量也總在幾分之間.下面我就一道我們平時常見的但很容易出錯的基礎題型談談我的解題思路.

在解答該題目的過程當中，作為對知識缺乏綜合應用的我們容易造成漏解的情況.我認為在做填空題的過程當中，一旦對題目所蘊含的知識點不能理清楚思路，就會造成漏解.而且我們一旦漏解，就會造成填空題根本性的錯誤.因此，對于簡單的題型我們勢必不能掉以輕心.以上述題目為例，我們最容易犯的錯誤就是忽略空集這種特殊情況，而且直接將集合B化簡為{x|-p

①當B=?時，即p≤0時，易知符合題意.

②當p>0時，B={x||x|

故綜上所述p的范圍是(-∞,1].

對于最后的4個小題，我講究的解題思路是找到題目的關鍵，從題目的關鍵出發，巧解.下面仍然以高考試卷經常出現的題型舉例，談談我的解題技巧.

易錯點：本題易錯在不能確定相切圓的半徑與b值的關系.

很多同學在解答這些排在后面次序的填空題的時候往往會因為懼怕的心理而放棄，這是不對的.眾所周知，高考題型難度的分布是呈U形的，我們不能按照常規的思想認為排在后面次序的題目都是難題，以上面的題型為例，我們只需畫出雙曲線的圖形，然后再設出切點M，根據切線的性質，就很容易找到圖形當中平行的線段.然后，再根據相似三角形的性質，找出比例關系.最后再次根據橢圓的方程，聯立已經找出來的關系等式，很快求解出漸近線的方程.對于這些題型我給它們的解題思路命名為“多思巧解”.像這種排在后面的題，如果我們總是一味地從正面去思考這類題型的解題方案，不僅做法呆板，浪費時間，正確率也不會很高.以上面的題型為例子，通常情況下我們總是想方設法求出切點，然后再通過運算的方式，求漸進線方程.這種常規的思路雖然對于某些簡單的題型還稍有奏效，但對于普遍的高考題型而言，我們如果仍然從正面出發，不僅繁瑣，更容易出錯.我認為花時間找出該題型的題眼和關鍵是解決該類型題目的思路所在，如果一味地采取正面運算求解方式，想必效果是不佳的.下面我仍然舉一些相對有技巧性的填空題的例子.

例3 將正整數12分解成兩個正整數的乘積有1×12,2×6,3×4三種，其中3×4是這三種分解中兩數差的絕對值最小的，我們稱3×4為12的最佳分解.當p×q(p≤q且p，q∈N*)是正整數n的最佳分解時，我們定義函數f(n)=q-p,例如f(12)=4-3=1.數列{f(3n)}的前100項和為____.

根據新定義結合n為奇偶數的兩種情況確定f(3n)的通項，然后利用等比數列前n和公式即可解決問題.

易錯點：本題易錯在沒有利用分類討論確定f(3n)的通項.

以該題為例，在解題的過程當中，首先會分析該道題目當中新定義函數中的通項，我認為分析的過程是非常必要的.因為通過關系會找到通項當中不會因為n的變化而發生變化，將對n的情況進行分類討論，通過這有條有理的討論，很快求出答案.

二、優解幾何題

例4 如圖，已知三棱臺ABC-A1B1C1中，BB1=CC1=B1C1=2，BC=4，AC=6.求證：BC1⊥平面AA1C1C.

所以AC⊥平面BB1C1C,因此BC1⊥AC,AC⊥CC1=C

所以BC1⊥平面AA1C1C.

這里值得一提的是，很多同學在解決該類型題目的時候都會采取建立空間直角坐標系方法.確實，在解高中幾何的題目的時候，我們首先會想到兩種思路，一種是幾何法，另一種就是建系法.正所謂條條大路通羅馬，無論是何種方法，所計算出來的答案，永遠都是一致的.但是這里必須指明，求解該類型的題目時，如果可以用幾何法，盡量用幾何法做.因為幾何法的計算量小，在做題的過程當中出錯率也較低.

三、智解求導題

求導題也是高考題型當中的一個重大難題，對數學學科要求不是很高的部分同學會主動放棄該道答題，因為這道題目的得分率確實很低.但是我的解題思路是，盡量多拿分.

例如2017年江蘇高考試卷(理科)第20題：已知函數f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有極值，且導函數f′(x)的極值點是f(x)的零點．(極值點是指函數取極值時對應的自變量的值)

(1)求b關于a的函數關系式，并寫出定義域；

(2)略.

這道題目的解題思路是：根據高中數學的求導公式，求出該函數f(x)解析式的導數.然后再針對已求出的f(x)解析式的導數進行更加準確的分析.根據高中數學所學的知識，f(x)解析式導數所得到的函數如果存在極值，那么該極值很有可能是該解析式f(x)的零點.由此，我們分析出解析式的導數大于0小于0和等于0的情況，進一步就可以確定參數之間的關系，寫出b關于a的函數關系式.因為前面在分類討論的階段已經確定出參數的范圍，因此就可以寫出定義域.

四、優選附加題

在高考中，附加題也是我們考生分出勝負的關鍵.附加題分為選做題和必做題兩個部分，選做題的解題要求是在A、B、C、D四個小題當中選出兩個給定的小題，只有將所選的兩個小題全做對，才能拿滿分.無疑，很多考生像我一樣糾結究竟應該選哪兩道小題才比較妥當，那么我的解題思路是，只選最有把握的，而不選最簡單的.

例如江蘇卷2017(數學部分)B.[選修4-2：矩陣與變換](本小題滿分10分)

顯然，在附加題眾多的選做題中，這一題的運算較為簡單，思路也比較清晰，我們只要對矩陣的相關運算及性質理解透徹，就能解出此題.

綜上所述，高考考的是基礎，作為學生的我們只要掌握好數學當中相關定理的運算，將基礎打牢，照樣可以拿高分.

參考文獻：

[1]楊志文. 五年“3+2”高考數學試題研究及復習建議[J].數學通報, 1998(2).

[2]胡國生, 張琥.高考數學試題研究的幾種視角[J]. 中學數學月刊, 2013(12):31-33.