多角度探究數列通項公式

祝一丹

(河北省衡水第一中學 053000)

通項公式是數列的重要內容，也是高考的必考知識點，既考查運算求解能力，又考查分析問題和解決問題的能力.下面通過數列典型問題加以說明.

題目在數列{an}與{bn}中，a1=1,b1=4,數列{an}的前n項和{Sn}滿足nSn+1-(n+3)Sn=0，2an+1為bn與bn+1的等比中項，n∈N*.(1)求a2,b2的值；(2)求數列{an}與{bn}的通項公式.

探究一：抓特征，利用數學歸納法求an與bn

注意到待求問題是一個與正整數n有關的命題，故可以嘗試用數學歸納法證明.數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法，在高等數學中有著重要的用途.不但能用數學歸納法去證明現成的結論，而且也注重不完全歸納法應用的考查，既要求歸納發現結論，又要求能證明結論的正確性，因此，初步形成“觀察——歸納——猜想——證明”這一特殊到一般的推理方法的思維模式，顯得特別重要.突破難點的關鍵是掌握由k到k+1的推證方法，證明代數恒等式的關鍵是：第二步將式子轉化成與歸納假設的結構相同的形式——湊假設，然后利用歸納假設，經過恒等變形，得到結論所需要的形式——湊結論.

由題設kSk+1=(k+3)Sk,(k-1)Sk=(k+2)Sk-1,兩式相減整理得kak+1=(k+2)ak，

再用數學歸納法證明bn=(n+1)2，n∈N*.

①當n=1時，b1=4=(1+1)2，等式成立.

根據①②可知等式bn=(n+1)2對任何的n∈N*成立.

探究二：構造對稱式，累乘法求an，迭代法求bn

構造對稱式是學習數列過程中非常常見的一種方法，其應用廣泛，對能力要求較高.因此，平時的學習中要有意識地積累相關方法，形成解題經驗.看到此題設，首先觀察條件等式的特點：含有同一個數列的不同的兩項，而且是與和Sn有關的，如何消去Sn得到an的關系式呢？于是考慮通過賦值構造對稱式，進行減法運算，走“累乘法”之路求得an；如果注意到bn的恒等式中也含有不同的兩項，依葫蘆畫瓢，通過賦值構造對稱式，進行除法運算，走“迭代法”之路可順利求得bn.通常情況下，如果一個等式中含有同一個數列的不同的兩項時，可以采用構造對稱式的方法實施轉化，往往會收到意想不到的效果.

由題設nSn+1=(n+3)Sn,(n-1)Sn=(n+2)Sn-1,兩式相減整理得nan+1=(n+2)an,n≥2，

探究三：巧變形，作差法求an，換元法求bn

總的來看，求數列的通項公式題難度并不大，但內涵卻特別豐富.在遇到一個具體的數列問題時，到底應采用哪種解題策略更有效，還應依據題目的特點，憑借平時的積累，具體問題進行具體分析.

參考文獻：

[1]葉正波.探究遞推數列通項公式求法的實質[J].中學數學研究, 2012(13).