對課本定義的拓展及應用

韓義成

(甘肅省積石山縣積石中學 731700)

必修2新教材課本P66關于直線和平面所成角的定義是“平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角.”包括0°和90°的角.由此可以得出兩個結(jié)論：

1.斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角.

2.斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角.

但是從結(jié)論以及圖形里面隱藏著一個應用廣泛的好結(jié)論：

圖1

如圖，l是平面α的一條斜線，點O是斜足，A是l上任意一點，AB是α的垂線，點B是垂足，所以直線OB(記作l′)是l在α內(nèi)的射影，∠AOB(記作θ)是l與α所成的角.

設∠AOB=θ，∠BOC=β，∠AOC=α，△AOB，△BOC，△AOC都是直角三角形.易得：cosα=cosθcosβ.

∵0≤cosθ≤1，0≤cosβ≤1，

∴cosα≤cosβ， cosα≤cosθ,

即α≥β，α≥θ，說明當直線OA繞著點O豎直向上移動的過程中，∠AOC始終不小于∠AOB和∠BOC.

下面先看一道好題：

已知異面直線a與b所成的角為50°，P為空間一定點，則過點P且與a、b所成的角都是30°的直線有且僅有( )

A.1條 B.2條 C.3條 D.4條

圖2

分析將直線a、b平移交于點P，如圖AA′∥a，BB′∥b，∠APB=50°.

設CC′、DD′為兩對頂角的平分線，∵∠APC=∠BPC=25°<30°，∴存在這樣的射線PQ，使得∠QPA=∠QPB= 30° .根據(jù)對稱性知相應直線PQ有2條，∵∠BPD=∠A′PD=65°>30°，∴不存在這樣的射線PR，使得∠RPB=∠RPA′=30°.

綜上所述，這樣的直線有且只有2條.

變式已知異面直線a與b所成的角為60°，P為空間一定點，則過點P且與a、b所成的角都是60°的直線有且僅有( )

圖3

A.1條 B.2條

C.3條 D.4條

分析將直線a、b平移交于點P，如圖AA′∥a，BB′∥b，∠APB=60°.

設CC′、DD′為兩對頂角的平分線，∵∠APC=∠BPC=30°<60°，∴存在這樣的射線PQ，使得∠QPA=∠QPB= 60° .根據(jù)對稱性知相應直線PQ有2條，∵∠BPD=∠A′PD=60°，∴存在惟一的直線DD′，使得∠DPB=∠DPA′=60°，綜上所述，這樣的直線有且只有3條.

從上述兩題中得出：空間兩條直線所成角的值不同，導致所求的直線條數(shù)不一樣，因此通過具體的分析與討論，我們可以總結(jié)出一般情況的規(guī)律了.

記兩條異面直線的夾角為θ，其中0°<θ≤90°，過空間一點與異面直線成相等的角為α，其中0°<α≤90°，于是有下表：

α的取值θ與α的關系及直線的條數(shù)0°<α≤45°θ<2α2條θ=2α1條θ>2α0條α=45°2條45°<α<90°θ+2α<180°2條θ+2α=180°3條θ+2α>180°4條α=90°1條

應用上述的結(jié)論，讀者可以輕而易舉的解下列的題目，不妨一試：

1.已知異面直線a與b所成的角為60°，P為空間一定點，則過點P且與a、b所成的角都是30°的直線有且僅有( ).

A.1條 B.2條 C.3條 D.4條

2.已知異面直線a與b所成的角為70°，P為空間一定點，則過點P且與a、b所成的角都是60°的直線有且僅有( ).

A.1條 B.2條 C.3條 D.4條

3.P為空間一定點，則過點P且與a、b所成的角都是60°的直線有且僅有 ( )

A.2或3條 B.3或4條

C.1或2或3條 D.2或3或4條

4.異面直線a、b成80°角，P為a、b之外的一個定點，若過P有且僅有2條直線與a、b所成角相等(都等于θ)，則θ滿足( )

A.0°<θ<40° B.40°<θ<50°

C.40°<θ<90° D.50°<θ<90°

參考答案A、D、D、B

參考文獻：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心. 普通高中課程標準試驗教科書( 必修)數(shù)學4(A版)[M]. 北京:人民教育出版社,2014.