一道課本題的多解、多變與多用

馬愛平 陳德前

(1.江蘇省興化市戴澤初級中學 225721; 2.江蘇省興化市教育局教研室 225700)

義務教育教科書人教版八年級下冊第62頁第13題是：

題目如圖1，E，F(xiàn)，M，N分別是正方形ABCD四條邊上的點，且AE=BF=CM=DN.試判斷四邊形EFMN是什么圖形，并證明你的結論.

一、在一題多解中復習知識

經(jīng)過測量、觀察可知四邊形EFMN是正方形，通過對這個結論多種證明方法的研究可鞏固平行四邊形、菱形、矩形、正方形、全等三角形及勾股定理等眾多知識.

思路1 先證明四邊形EFMN是平行四邊形，再證明它有一個角是直角和一組鄰邊相等.

思路2 先證明四邊形EFMN是矩形(證三個角是直角)，再證明有一組鄰邊相等

思路3 先證明四邊形EFMN是菱形(證四邊相等)，再證明有一個角是直角.而證明四邊相等又有兩種方法：一是通過證明△NAE≌△EBF≌△FCM≌△MDN得到，二是利用勾股定理證明得到.

下面只給出思路3的證明，其他思路的解題過程請同學們作為練習，自己給出.

方法1 ∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=AD，∠A=∠B=90°.∵AE=BF=DN，∴BE=AN，∴△NAE≌△EBF，∴EN=EF，∠AEN=∠BFE.同理可證EN=EF=FM=MN，∴四邊形EFMN是菱形.∵∠B=90°∴∠BEF+∠BFE=90°，∴∠AEN+∠BEF=90°，∴∠NEF=180°-90°=90°，∴四邊形EFMN是正方形.

方法2 ∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴BE=CF=DM=AN，∴由勾股定理得EN=EF=FN=MN，∴四邊形EFMN是菱形.下同方法1，略.

通過上述一題多解，我們不僅復習了平行四邊形、菱形、矩形、正方形的判定方法，而且對四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的知識結構會變得十分清晰.

二、在一題多變中學會探索

在一題多解的基礎上，研究題目的多種變式，不僅可以提高我們的應變能力，而且能使我們在變式中學會探索，學會學習.

變式1 將點E，F(xiàn)，M、N特殊化，變成正方形ABCD各邊的中點，則有：

如圖2，E，F(xiàn)，G，H分別是正方形ABCD各邊的中點.四邊形EFGH是什么四邊形？為什么？(課本八年級下冊第67頁復習鞏固第6題)

解析很明顯四邊形EFGH仍是正方形，證明這個結論除上述方法外，還可連AC和BD，利用三角形中位線定理，先證明四邊形EFGH是平行四邊形，再證明它有一個角是直角和一組鄰邊相等(請同學們自己寫出證明過程).

變式2 由變式1可發(fā)現(xiàn)，EG和FH一定經(jīng)過正方形ABCD對角線的交點，那么在一般情況下這個結論是否成立呢？于是有：

如圖3，E，F(xiàn)，M，N分別是正方形ABCD四條邊上的點，且AE=BF=CM=DN.試判斷直線EM是否經(jīng)過一個定點，并說明理由.

分析連接AC、BD和EM發(fā)現(xiàn)它們交于一點，將圖4繞正方形ABCD對角線的交點旋轉也可得到這個結論，于是猜想直線EM經(jīng)過一個定點(即正方形對角線的交點).然后證明這個結論正確即可.下面給出三種證明方法：

方法1 如圖3，連接AC，設AC、EM相交于點O.∵四邊形ABCD為正方形，∴AB∥CD，∴∠AEO=∠CMO，∠EAO=∠MCO.又∵AE=CM，∴△AEO≌△CMO，∴AO=CO.∵AC一定，∴O為定點，即EM一定經(jīng)過正方形對角線的中點.

方法2 如圖3，AC,設AC、EM相交于點O.∵四邊形ABCD為正方形，∴AB∥CD，即AE∥CM.又∵AE=CM，∴四邊形AECM是平行四邊形，∴AO=CO.而AC一定，∴O為定點，即EM一定經(jīng)過正方形對角線的中點.

方法3 如圖3連接AC、BD，設AC、BD相交于點O.連接EO、MO.∵四邊形ABCD為正方形，∴AB∥CD，AO=CO，∴∠EAO=∠MCO.又∵AE=CM，∴△AEO≌△CMO，∴∠AOE=∠COM.∵∠AOM+∠COM=180°，∴∠AOM+∠AOE=180°，即E、O、M三點共線，∴EM一定經(jīng)過正方形對角線的中點.

變式3 在變式2的探索中，我們發(fā)現(xiàn)隨著點E，F(xiàn)，M，N的變化，正方形EFMN的面積也在變化，很明顯它有最大值，即正方形ABCD的面積，那么有沒有最小值呢？于是又有：

如圖4，正方形ABCD的邊長為8cm，點E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的動點，且AE=BF=CG=DH.試問四邊形EFGH面積是否存在最小值？若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由.

分析在圖形的旋轉中，我們發(fā)現(xiàn)，當E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點時，S正方形EFGH最小，因此只要通過推理得到這個結論即可.

通過一題多變，我們得到了三個有價值的問題，其實我們還可以通過變式得到許多問題，同學們可以自己試一試.

三、在一圖多用中提升能力

由圖1，我們可以得到這樣一個基本模型：

如圖5，點E在線段BC上，∠ABE=∠AEF=∠ECF=90°，BE=CF，則△ABE≌△ECF.由于這個圖形象“凹槽”，所以我們把它稱為“凹槽全等型”，Rt△AEF稱之為“凹槽直角三角形”.應用這個基本模型及其性質可以簡捷地解決許多問題.

1.模型具備直接用

例1 如圖6，直線a經(jīng)過正方形ABCD的頂點A，分別過正方形的頂點B、D作BF⊥a于點F，DE⊥a于點E，若DE=8，BF=5，則EF的長為 .

解析在正方形ABCD中，∠BAD=90°,AB=AD.∵BF⊥a于點F，DE⊥a于點E,∴∠BFA=∠DEA=∠BAD=90°.由上述基本模型和性質可得△ABF≌△DAE，∴AF=DE,BF=AE，∴EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13.

2.模型殘缺補全用

例2 如圖7，平面內(nèi)4條直線l1、l2、l3、l4是一組平行線，相鄰2條平行線的距離都是1個單位長度，正方形ABCD的4個頂點A、B、C、D分別在這些平行線上，該正方形的面積是____平方單位.

解析如圖7，分別過點B、D作直線l4的垂線，垂足分別為E、F.由上述基本模型和性質可得△DFC≌△CEB,∴FC=EB=1.又∵DF=2,∴S正方形ABCD=DC2=DF2+FC2=5.

3.多個模型反復用

例3 如圖8①所示,已知A、B為直線l上兩點,點C為直線l上方一動點,連接AC、BC分別以AC、BC為邊向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG,過點D作DD1⊥l于點D1,過點E作EE1⊥l于點E1.

(1)如圖8②,當點E恰好在直線l上時(此時E1與E重合),試說明DD1=AB；

(2)在圖8①中,當D、E兩點都在直線l的上方時,試探求三條線段DD1、EE1、AB之間的數(shù)量關系,并說明理由；

(3)如圖8③,當點E在直線l的下方時,請寫出三條線段DD1、EE1、AB之間的數(shù)量關系，并說明你的理由.

解析(1)由上述基本模型及其性質可得△ADD1≌△CAB，∴DD1=AB.

(2)DD1+EE1=AB，理由如下：如圖9，過點C作CH⊥l，垂足為H，由上述基本模型及其性質可知△ADD1≌△CAH，△BEE1≌△CBH，∴DD1=AH,EE1=BH,∴DD1+EE1=AH+BH=AB.

(3)DD1-EE1=AB，理由如下：如圖10，過點C作CH⊥l，垂足為H，由上述基本模型及其性質可知△ADD1≌△CAH，∴DD1=AH.再通過證明△BEE1≌△CBH，可知EE1=BH，∴DD1-EE1=AH-BH=AB.

以上我們通過模型的發(fā)現(xiàn)與構造，順利找到了解決問題的途徑，由此足見模型的巨大作用，我們在復習中要善于提煉基本模型，并靈活運用它來分析問題和解決問題.

參考文獻：

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[2]霍彩霞.如何進行審題[J].初中生學習指導(七年級)，2016(7-8)：98-101.