2017年河南省中考數學試題特點與教學啟示

邱 亮

(河南省駐馬店市基礎教學研究室 463000)

一、總體分析

與往年相比，2017年河南中考數學試卷整體難度下降了不少，在題型設計上，總體比較穩(wěn)定，但也有不少改變，主要體現在以下幾點：

1.三大題型分值的調整

選擇題增加2道，分值增加6分；填空題減少2道，分值減少6分，解答題題數及分值保持不變.

2.考查知識點的調整

代數方面：

(1)選擇題中加入了一道分式方程化簡的問題，第一道解答題由分式化簡求值改為整式化簡求值；

(2)對函數知識的考查放在了第20題，主要考查一次函數與反比例函數的綜合應用，反比例函數重新回到了解答題中.

幾何方面：

第18題與圓有關證明和計算，沒有與特殊四邊形結合，且由動態(tài)問題改為了常規(guī)的證明與計算；

統(tǒng)計與概率：

對概率計算問題的考查放在了選擇題中.

整體看，這套試卷在考查基礎知識、基礎技能的同時，又重視對數學思想方法、綜合能力的考查，如分類討論思想(21題)，數形結合思想(20、23題)，動點問題(14、15、22、23題)等.另外，部分試題解法多樣，為學生提供自主探索與創(chuàng)新的空間，符合課程標準的要求，體現了對學生數學核心素養(yǎng)的考查要求.

二、部分解答題答題情況詳細分析

第16題的詳細分析：

本題考查了乘法公式、整式的乘法、二次根式的運算等內容.評卷時發(fā)現大多數學生能夠正確、快速地完成解答.滿分率在80%左右，但本題失分點也較多，主要體現在以下幾點：

1.基礎知識不牢

2.解題格式不規(guī)范

3.解題步驟不完整

化簡時沒有步驟或跳步，求值時未代入數值直接得結果，忽視了基本解答題的考查要點(思維的邏輯性、嚴謹性)，不免讓評卷人員理解成抄襲，從而造成丟分.

4.不注重通法的使用，“小題大做”

有些同學在化簡時未利用乘法公式、多項式乘法法則展開計算，而是另尋殊徑，采用因式分解反復運算，雖也得到了答案，卻花費了大量的時間、精力，直接影響了后續(xù)答題.

教學建議：

在教學中，重視基礎知識的教學，對重點知識強化訓練，教師要親自跟蹤及時反饋.在解題方法上，教師不僅要注重引導學生從不同角度解決問題，同時也要對通法做進一步要求.另外解題時要步驟規(guī)范，避免失分.

第17題的詳細分析：

教學建議：

加強學生基本功訓練，如計算能力；注意細節(jié)，書寫規(guī)范化.

第18題的詳細分析：

本題難易適中，易于得分.第(1)問，絕大部分學生通過證明△BCD≌△BCF得到結論，少部分利用角平分線性質定理也解決了此小問.第(2)問，大部分同學用勾股定理求得BC的長，個別同學用三角形相似也得到了結果.

學生做題中存在的問題有：

(1)解題不規(guī)范；

教學建議：

在教學中，要對學生容易忽視的問題重點強調，避免丟分.

第19題的詳細分析：

本題考查了銳角三角函數在實際問題中的應用，屬于中檔題.從閱卷結果看，問題主要體現在以下幾點：

1.基礎知識、技能掌握不牢

部分學生對輔助線的敘述不規(guī)范，作圖不夠準確；還有部分同學審題不清，設未知數后不能正確運用等.

2.計算能力有待加強

3.步驟不完整，書寫不規(guī)范

有部分考生步驟具有跳躍性，不清晰；在取近似值時，大部分考生用“=”，沒有用“≈”.

4.不能理解已知條件與所求問題的內在關聯

有部分考生設C船要等待x小時，才能得到救援，誤認為A、B兩船到達C船的時間均為x小時.

教學建議：

1.加強基礎知識的教學，尤其注重概念的復習，如正弦、余弦、正切的定義；

2.加強運算能力的培養(yǎng)，通過限時訓練，提高運算能力，杜絕使用計算器.

3.重視實際應用問題與教學知識的聯系，重視建模思想.

4.重視解題的規(guī)范性.

5.注重培養(yǎng)學生認真審題的習慣，合理分配解題時間.

第20題的詳細分析：

在閱卷的過程中發(fā)現了不少好的方法，整理如下：

特點：利用積累的知識經驗，言簡意賅.

特點：利用圖象解決問題，既快又準.

(3)應用列表法，設P(m,-m+4)，1≤m≤3.

m1322523S32158215832

特點：用函數的列表法求解，清晰直觀..

(4)設P(n,-n+4)，

∵1≤n≤3，

特點：函數建模，根據二次函數增減性解決問題.

第21題的詳細分析：

本題考查了二元一次方程組的應用、一次函數的應用、解一元一次不等式以及解一元一次方程.學生得分情況：平均分(含零分)4.65分，平均分(不含零分)5.61分;滿分約占13%，9分占10%，7～8分占14%，零分約占15%.整體情況不太理想，多數學生能得到第(1)問的4分，第(2)問部分同學只得了3～4分.解答過程中出現的問題有：①不會解方程組；②沒有正確列出函數解析式；③沒有用分類討論思想解題；④解答不夠完整；⑤運算錯誤.另外，由于試題描述不清晰，導致出現兩種不同作法，致使評卷難度加大.

閱卷時發(fā)現新的作法，整理如下：

1.圖象法：表示出兩個函數解析式：y1=10x+600,y2=-10x+1500，并畫出函數圖象，求交點，以交點為分界點進行分類討論.這種方法反映了學生思維活躍，靈活運用能力較強.

2.列表法：思路與圖象法相似，這說明了學生能靈活應用函數的三種表達方式解決問題.

第22題的詳細分析：

第22題是幾何探究題，也稱類比探究題，主要考查等腰直角三角形的性質與判定，三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質，三角形相似，幾何圖形的旋轉變換與操作，平行線的性質，三角形內角和定理及其推論，知識涵蓋面廣，既注重對基礎知識、基礎技能的考查，又注重對數學思想方法的考查.第(3)問也充分體現了試卷的選拔功能.

從批改試卷的情況看，本題的答題情況還不盡令人滿意，得0分的占16.17%，得1分的占6%，得2分的占16.5%，得3分的占29.19%，得6分的占12.19%，得8分的占10.1%，得滿分約占3.29%，該題平均分為3.43分.

第(1)問要求線段PM與PN的數量關系并判斷兩者之間的位置關系. 從直觀角度觀察很容易得出PM=PN，PM⊥PN.結合題目條件以及三角形中位線定理也可以證得該結論，難度較低，但仍有部分學生未填答案，還有部分同學將兩者的數量關系和位置關系表述錯誤，這說明了這部分學生數學基礎知識不牢，在今后的教學中要加強基礎知識的教學.

第(2)問，大部分同學能判斷出△PMN是等腰直角三角形，也有一部分同學僅判斷出△PMN是等腰三角形，有個別同學將其判斷為直角三角形，不夠準確.要解決這一問，我們在第(1)問的基礎上通過類比探究就能很容易得出結論，這充分體現了由特殊到一般的思想.在說明理由時，有相當一部分學生能順利證得PM=PN，但不能證明PM⊥PN即證∠MPN=90°，導致第(2)問丟失2分.在證明∠MPN=90°時，除答案提供的證法外，還出現了一些其他證法.

方法一：延長NP交CE于點F，如圖.

由參考答案易證PM=PN.

∵PN∥BD,

∴∠1=∠2.

∵△ABD≌△ACE,

∴∠3=∠4.

∵∠3+∠2+∠ACB=∠ABC+∠ACB=90°,

∴∠1+∠4+∠ACB=∠ABC+∠ACB=90°.

∴∠NFC=90°,

∴∠NFE=90°.

∵MP∥CE,

∴∠MPN=∠NFE=90°，

∴△MPN是等腰直角三角形.

方法二：延長BD交CE于點F，如圖.

由參考答案證PM=PN.

∵△ABD≌△ACE,

∴∠1=∠2.

∵∠ABC+∠ACB=90°,

∴∠1+∠3+∠ACB=90°,

∴∠2+∠3+∠ACB=90°,

即∠3+∠BCF=90°,

∴∠BFC=90°.

∵PM∥CE,∴∠4=∠BFC=90°.

又∵PN∥BD即PN∥BF,

∴∠MPN+∠4=180°.

∴∠MPN=90°.

∴△MPN是等腰直角三角形.

方法三：延長CD交AB于點F，如圖.

由參考答案證PM=PN.

∵PN∥BD,

∴∠DPN=∠FDB.

∵∠FDB=∠3+∠4,

∴∠DPN=∠3+∠4.

∵PM∥CE,

∴∠MPD=∠ECD=∠2+∠5.

∵△ABD≌△ACE,

∴∠1=∠2.

∴∠DPN+∠MPD=∠3+∠4+∠5+∠2

=∠1+∠3+∠4+∠5

=∠ABC+∠ACB=90°,

∴∠MPN=90°.

∴△MPN是等腰直角三角形.

方法四：連接AM、AN，如圖.

由參考答案證PM=PN.

∵△ABC是等腰直角三角形，N為BC的中點,

∴AN⊥BC，∠BAN=45°,

∵△ADE是等腰直角三角形，M為DE的中點,

∴AM⊥DE，∠DAM=45°.

∵∠1+∠2=∠BAN=45°,

∠2+∠3=∠DAM=45°,

∴∠3=∠1,

∴△ANM∽△ABD,

∴∠4=∠5.

∵PN∥BD,

∴∠6=∠7.

∵∠4+∠6=∠ABC=45°,

∴∠5+∠7=45°.

∵∠5+∠7+∠MNP=90°,

∴∠MNP=45°.

∵PM=PN,

∴∠PMN=∠MNP=45°.

∴∠MPN=90°,∴△MPN是等腰直角三角形.

第(3)問方法一：

第(3)問方法二：

∵BD=BA+AD=10+4=14，CE=CA+AE=10+4=14,

∴PM=PN=7.

本題知識點涵蓋面廣，且有區(qū)分度，的確是一道好題.

第23題的詳細分析：

本題是二次函數的綜合應用問題，考查了待定系數法、相似三角形的判定和性質、勾股定理、線段的中點、方程思想以及分類討論思想等知識.第(1)問，求拋物線解析式比較簡單，第(2)問中的第①小題，求三角形相似時點M的坐標，絕大部分學生一籌莫展，得分較低.說明學生解決較難問題的綜合能力不高，在以后的教學中要重視培養(yǎng)學生的綜合應試能力.

本題滿分11分，學生得分情況為：平均分為2.39分，得分率較低.這一方面說明學生解決綜合問題的能力極差，另一方面也充分說明命題人不了解學生，過高估計了學生的應試能力.本題雖是壓軸題，但應保證平均分在4分左右才適合.

結合閱卷情況，發(fā)現失分的原因有：

①兩個解析式寫法不規(guī)范，存在將答案寫反或直接用代數式表示的情況；

②基礎知識不牢固，在應用面積公式、去括號、移項、配方等知識時出錯；

③在函數建模的應用上，整體存在嚴重失分；

④解題思路不夠清晰，步驟書寫不規(guī)范.

閱卷中發(fā)現本題解法很多，列舉如下：

法一：直接利用△BPN∽△MPA或△BPN∽△APM.從而得方程

法二：利用△BPN∽△ABO或△BPN∽△OBA.

法三：當∠NBP=90°，作BG⊥PN，利用△BNG∽△BAO.

從評第23題，受到很多啟發(fā)：

1.教學要扎實.萬丈高樓平地起，一定要夯實基礎，保證學生對每個知識都能熟練、準確地掌握并應用，毫厘不差.

2.評卷中，我們發(fā)現很多不同的解法.這讓我們領悟到從函數各種表示方法入手都可以解決本題，殊途同歸.這也啟發(fā)我們，在教學過程中，提倡學生有創(chuàng)新的數學意識，不拘泥于老師所教的方法，能從不同角度解決問題.另外要讓學生理解數學公式、法則、定義、模型，能從不同角度揭示數學原理及知識間的聯系，讓學生感受到知識間互聯互通.

3. 教學中一定要小步子、慢節(jié)奏，提高學生把實際問題轉化為函數建模的能力，注重細節(jié)，抓好每個小知識點，如坐標的意義，二次函數解析式，配方等問題.

4.加強審題、分析問題能力的培養(yǎng)，注重板書的規(guī)范性，培養(yǎng)學生規(guī)范解題的習慣.

以上內容為本人對本次中考數學試題特點與教學啟示的全部內容，供各位初中數學同仁參考.

參考文獻：

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[3]王健，張青云.2015年廣東省中考數學試卷的評析與教學啟示[J].中學數學，2015 (24) :46-49.