霧霾對流感傳播影響的動力學建模與分析

王璐璐，張 娟

(山西大學 復雜系統研究所， 太原 030006)

流行性感冒簡稱流感，是由流感病毒引起的一種急性呼吸道傳染病，其主要通過含有病毒的飛沫進行傳播，也可通過人與人之間的接觸或與被污染物品的接觸進行傳播。流感的癥狀表現為咳嗽、頭痛、咽痛、流鼻涕。流感在高危人群中可誘發其他嚴重疾病或導致患者死亡[1]。流感在四季均可發生，我國北方地區高峰一般發生在冬季和春季，而在南方地區全年流行，高峰多發生在春季和冬季[2]。近些年，流感患者的數量急劇上升，有些專家認為是因為受到霧霾天氣的影響[3]。霧霾是霧和霾的統稱[4]，其中霧是由大量懸浮在近地面空氣中的微小水滴或冰晶組成的氣溶膠系統，霾是由空氣中的灰塵、硫酸、硝酸、有機碳氫化合物等粒子組成的。霧霾是特定氣候條件與人類活動相互作用的結果。高密度人口的經濟及社會活動必然會排放大量細顆粒物(PM2.5)，一旦排放量超過大氣的承載能力，細顆粒物濃度會積累，此時若是受到氣候條件等影響極易出現大范圍的霧霾。細顆粒物指數已經成為一個重要的用于測控空氣污染程度的指數，在中國不少城市將霧和霾并在一起作為災害性天氣現象進行預警預報。

隨著霧霾天氣現象出現頻率的增加，空氣質量逐步惡化[5]。文獻[6-7]表明：大規模季節性流感的爆發與霧霾天氣的出現有密切的聯系。文獻[8]中實驗檢測結果發現：空氣中的細顆粒物(PM2.5)能導致肺組織損傷，并且可以降低對流感病毒侵入肺部的免疫力。文獻[9]通過對西安市疑似流感病例數與AQI指數進行數據分析，建立了依賴于AQI指數的呼吸道感染動力學模型，計算出的基本再生數比西安市2009年流感大規模流行時的基本再生數高，并且得到呼吸道感染的風險隨著AQI指數的增加而增加的結論。當霧霾天氣發生時，人體所吸入的細顆粒物會累積在呼吸系統中，進而引起許多疾病的發生[10]。為了分析空氣中的細顆粒物對流感傳播的影響，本文建立細顆粒物-流感傳播的非自治動力學模型，利用2013年12月—2017年7月浙江省衛生和計劃生育委員會[11]公布的每月流感發病數與中國空氣質量在線監測分析平臺[12]檢測到的浙江省每月空氣中細顆粒物濃度，計算出流感傳播的基本再生數，對流感、空氣中細顆粒物濃度的發展趨勢進行了預測。通過數值模擬分析了空氣中細顆粒物對流感傳播的影響，對參數做敏感性分析并且提出相應的防控措施。

1 傳播動力學模型

依據人的染病狀態，將人分為易感者S(t)和染病者I(t)，S(t)表示t時刻易感者數量，I(t)表示t時刻染病者數量，總人口為N(t)。在不考慮霧霾、季節對流感傳播的影響時，建立簡單的SIS模型：

(1)

其中：所有參數都是正數；A為每年人的出生數量；β為傳染率系數；μ為死亡率系數；γ為染病者的恢復率。

(2)

其中：所有的參數均為正數；ξ表示人體對細顆粒物的排解率；θ(t)表示由于風吹散、光合作用分解導致的空氣中細顆粒物的消失率；σ為由流感導致的死亡率系數；u(t)表示外界向空氣中排放的細顆粒物的濃度。假設ηNE滿足質量作用定理，空氣中的細顆粒物與人體內的細顆粒物濃度成正比，比例系數為η，k表示空氣中細顆粒物對人的死亡的影響系數。

依據文獻[14]可以得到周期傳染率系數β(t)和空氣中細顆粒物的周期輸入u(t)，都用正弦函數來描述，且β(t)=b1(1+b2(sin(α1t+α2))),u(t)=a1(1+a2(sin(α3t+α4)))。其中b2,a2≤1。

考慮系統(2)的第4個方程，人呼吸所吸收的細顆粒物比在風、光合作用影響下空氣中消失的細顆粒物要少，因此可以將ηNE忽略不計，則系統(2)變成以下系統：

(3)

2 基本再生數

基本再生數是指每一個染病者傳染給下一代的染病者的人數，通常將其記為R0。基本再生數是衡量疾病是否消亡的一個重要指標。如果R0<1表示疾病自然逐步消亡；若R0>1表示疾病將始終存在。下面根據文獻[15]的方法計算周期系統的基本再生數R0，首先給出系統(3)的不變集。

觀察系統(3)可以得到：

(4)

定理1X是系統(3)的正向不變集。

對于系統(3)，可以得到一個無病周期解x*(t)=(S*(t),0,C*(t),E*(t))。將系統(3)寫成

通過驗證，滿足文獻[15]中的條件(A1)～(A5)。

下面證明文獻[15]的條件(A7)滿足。對F1,V1在無病周期解(0,C*(t),E*(t),S*(t))處對變量I、C、E求偏導，得到

對于線性周期系統

考慮一個線性周期系統

W(t,s,λ),t≥s定義為系統的演化算子，并且可以得到ΦF-V=W(t,0,1),?t≥0。

假設φ(s)為在s時刻的ω周期函數，并且表示為染病者個體最初的分布，從而F(s)φ(s)為s時刻的染病者個體所感染的新染病者的分布，當t≥s時，Y(t,s)F(s)φ(s)為在s時刻的染病者個體在t時刻仍為染病者個體的分布，因此

為在t時刻之前由φ(s)所感染的所有染病者在t時刻的分布。

?t∈R,φ∈Cω

定理2 若文獻[15]條件(A1)～(A7)成立，那么以下條件成立：

1) 如果ρ(W(ω,0,λ))=1有一個正解λ=R0，那么R0就是算子L的特征值且R0>0。

2) 如果R0>0，那么λ=R0是ρ(W(ω,0,λ))=1唯一的解。

3)R0=0當且僅當對于所有的λ>0，ρ(W(ω,0,λ))<1。

根據定理2條件2)，利用數值方法可以計算周期系統的基本再生數。

3 數據擬合及參數敏感性分析

根據模型(3)，利用浙江省衛生和計劃生育委員會發布的2013年12月—2017年7月實際月人間病例數與中國空氣質量在線監測分析平臺檢測到的2013年12月—2017年7月每月的細顆粒物濃度數據，估計出參數值，預測總人數以及細顆粒物濃度的發展趨勢，并通過參數的敏感性分析評估相應的防控措施。圖1和圖2分別給出了2013年12月—2017年7月的浙江省每月的細顆粒物濃度和感染流感的人間病例數。

圖1 中國空氣質量在線監測分析平臺發布的細顆粒物濃度數據

圖2 浙江省衛生和計劃生育委員會發布的實際月人間發病數

注：星點是中國空氣質量在線監測分析平臺發布的細顆粒物濃度數據；實線是模型中變量E(t)隨時間的變化。

圖3 空氣中細顆粒物濃度的數據擬合

表1 模型中有關參數的說明

注：星點是浙江省統計年鑒發布的2013—2015年的年末總人口數；實線是模型中變量N(t)隨時間的變化

圖4 人口總數的數據擬合圖

注：星點是浙江省衛生和計劃生育委員會發布的實際月人間的發病數；實線是模型中變量I(t)隨時間的變化；虛線是沒有考慮細顆粒物對流感的影響下模型中變量I(t)隨時間的變化。

圖5 流感患者的數據擬合圖

根據數據擬合獲得的參數值，利用定理2條件2)計算基本再生數，借助Matlab計算出基本再生數R0=1.304 2。

在圖6對細顆粒物濃度的變化趨勢進行了預測，可以看出：隨著時間的變化，空氣中細顆粒物濃度仍會周期性波動且濃度峰值會變低，但其不會消除。

在圖7中對恢復率γ、傳染率系數中的參數m1、b1作敏感性分析，考慮當γ、m1、b1變化時流感患者I(t)隨時間的變化。圖7(a)給出了恢復率γ對流感傳播的影響，顯然恢復率越小，流感患者越多。因此，通過及時采取有效的治療以縮短患病期來控制疾病。從圖7(b)中看到：當m1=0.003時的流感患者數量會比m1=0.008時少，而且隨著時間的推移，流感患者數量差距會變大。易知空氣中細顆粒物的濃度對流感傳染率影響越小，流感患者會越少。因此，流感患者在患病期間(特別是霧霾天氣時)應減少外出時間與次數，且外出時做好相應的防護措施，比如戴口罩等。圖7(c)給出了周期傳染率系數β(t)中參數b1的敏感性分析，可以看出：b1變小后，流感患者也變少。也就是說減少流感患者與易感者的接觸率可以使疾病得到控制。綜上來說，減少空氣中的細顆粒物濃度以及減少流感患者在霧霾天氣外出的時間和次數、提升人們對流感和霧霾的認識等都是控制流感傳播的有效措施。

圖6 空氣中的細顆粒物濃度E(t)在短時間和較長時間內的變化

圖7 參數γ、m1、b1對流感患病者I(t)的影響

圖8考慮空氣中的細顆粒物對人口總數的影響，可以看出：當考慮空氣中的細顆粒物濃度對流感的影響時，總人數會變少，這是由于空氣中的細顆粒物會誘發一些嚴重疾病的發生，比如呼吸系統疾病、心血管系統疾病等，這些疾病會導致患者的死亡。

注：實線是模型中變量N(t)隨時間的變化。虛線是沒有考慮細顆粒物對流感的影響下模型中變量N(t)隨時間的變化

圖8 人口總數在長時間的變化趨勢

圖9給出R0對參數m1、b1的敏感性分析，其他參數值見表1。由圖9(a)可知：m1越小，R0將會越小，且R0關于m1是線性的。在其他參數值不變的情況下，當m1減少到0，基本再生數仍大于1。于是應該增強對預防流感與霧霾的意識，做好個人衛生，特別是在霧霾天氣，應該減少外出時間與次數，盡可能避免暴露在霧霾中。由圖9(b)可知：R0關于b1是線性的，當b1較小時，R0很小；當b1<6.2875×10-8時，R0<1。因此，易感者在與流感患者接觸時應該做好防護措施，以此降低流感的傳染率。

圖9 R0關于不同參數的值

4 結束語

建立了在空氣中的細顆粒物影響下的具有周期傳染率的流感傳播動力學模型，利用浙江省2013—2017年每月的流感發病數與細顆粒物濃度，計算出流感傳播的基本再生數。從數值模擬可以看出：空氣中細顆粒物濃度的增加會使得流感的發病數增加，加重流行性感冒的傳播。因此，可以通過減少霧霾天氣的外出次數和時間來降低細顆粒物對流感傳染率的影響，即減少m1。另外，政府部門應當完善工廠的標準排放廢氣量、有關汽車尾氣排放等的制度規定，推廣使用天然氣、太陽能等清潔能源進而減少空氣中的細顆粒物的濃度，使得人體內吸入的細顆粒物濃度降低，從而降低流感傳染的可能性。由于流感的高峰期是在冬季和春季，可以在流感爆發前期采取措施，比如在此期間增強人們的防范意識、減少外出、做好預防工作，從各個方面保證人們的身體健康。

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