例談小學數學教學中的建模過程

《義務教育數學課程標準 （2011版）》指出：“在數學教學中應當引導學生經歷建模過程，感悟模型思想?！毙W階段作為模型思想教學的初級階段，應當抓住合適的時機、利用適當的內容、采取恰當的方式讓學生來體驗和感悟模型思想，經歷數學建模的過程。對于小學數學教學而言，建模的過程實際上就是學生的學習活動經歷“數學化”的過程；對于建模教學的過程而言，實際上就是從現實生活或具體的情境中抽象出數學問題，通過動手操作、觀察、分析、推理等數學活動完成模型的構建，對模型進行分析、檢驗的過程。

一、通過實驗操作建構數學模型

一個數學模型的建立，往往需要對事物關系進行多層次的發現，多批次的實驗，獲得一些數據或認識。小學生由于年齡及心理的差異，愛玩、好動，抽象思維差，思維正處在具體形象為主的階段。例如，在教學“三角形三邊關系”這一課時，三角形的三邊關系是需要學生建構關于三角形邊的模型結構，而這個關系學生往往不容易發現，如果教師采用直接口述的方式，會不利于數學素養的形成。對此，教師可以借助直觀實物引導學生開展實驗操作活動，經歷建構模型的過程，豐富學生動手操作的體驗。教學中筆者設計了一系列的實驗操作活動：

環節一：提出問題。學生完成下面的實驗操作活動：任意選三根小棒，是不是都能圍成一個三角形？

在8cm、5cm、4cm、2cm四根小棒中，任選三根小棒搭一搭，看是不是任意的三根小棒都能圍成三角形？ （表1）

表1

結論：任意三根小棒_____________（一定/不一定）能圍成三角形。

學生通過實驗發現：任意選三根小棒不一定能圍成三角形。在此基礎上引導學生思考：為什么8cm、5cm、2cm以及8cm、4cm、2cm不能圍成三角形？學生會說：5cm和2cm搭的時候夠不著，4cm和2cm搭的時候也是這樣的。進而引導得出猜想：兩條邊的長度加起來要比第三條邊長。

環節二：要想圍成一個三角形，三根小棒中兩條邊的長度加起來是不是要比第三條邊的長？帶著這樣的問題完成下面的實驗。 （表2，P10）

學生在實驗的過程中發現：因為5cm和3cm合起來剛好等于8cm，圍不成三角形；8cm、5cm合起來是13cm，也圍不起來；8cm、5cm的和比14小，也圍不起來；其余的情況都可以圍成三角形。從而進一步確信自己的猜想：要想圍成三角形，任意兩條邊的長度和要大于第三邊。

表2

1.從圍成三角形的三根小棒中任意選出兩根，將它們長度的和與第三根比較，結果怎樣？

□+□○□ □+□○□ □+□○□

2.自己任意畫兩個三角形，先量一量（用毫米做單位，標出長度），再算一算。

① □+□○□ ② □+□○□□+□○□ □+□○□□+□○□ □+□○□

結論：_______________________________

環節三：是不是三角形的任意兩條邊長度之和都大于第三邊？再次通過對已有三角形邊的長度的測量操作進行驗證。

經過三個環節的實驗操作，學生的認識逐步深刻，從而建立起了三角形三邊關系的模型，即：三角形任意兩邊之和大于第三邊。

二、引用符號語言幫助建構數學模型

數學語言有三種常用的表現形態，即文字語言形態、符號語言形態和圖形語言形態。在小學教學中，隨著年級的升高，圖形、符號語言形態呈逐步增多的趨勢。在數學建模過程中，要引導學生嘗試用圖形、符號等語言進行抽象建構、表達模型。如“蘇教版”六年級“解決問題的策略——假設”教學，問題中有兩種未知量，需要通過假設化歸為一種未知量，從而解決問題。而假設的關鍵是如何進行數量關系的轉化，從而完成數量關系的重新建構。教學時筆者嘗試讓學生用自己的畫圖經驗逐步抽象出解決問題的數量關系模型。

例題：將720毫升果汁倒入1個大杯和6個小杯，正好倒滿。小杯的容量是大杯的1/3，小杯和大杯的容量各是多少毫升？

學生很快找到題目中的數量關系式：6個小杯容量＋1個大杯容量＝720毫升；小杯容量×3=大杯容量。這是含有兩個未知量的問題，學生很快想到將兩種杯子假設成一種杯子。如何將兩個未知量變成一個未知量，題目中的數量關系式又會怎樣變化？學生將他們的想法畫在了作業紙上。

先把題中的這兩個關系用圖表示出來，再在圖上表示假設成同一種杯子的示意圖。

展示學生的學習單，發現學生出現了畫線段圖、畫圓圈等方法。

（1）畫線段。

（2）畫圓圈。

通過畫圖將兩種杯子如何逐步抽象假設成一種杯子的過程變得直觀清晰；通過畫圖學生能夠更清楚地整合題目中的數量關系：“6個小杯容量＋1個大杯容量＝720毫升”“小杯容量×3=大杯容量”，建構了9個小杯容量=720毫升或3個大杯容量=720毫升這樣簡單的數量關系模型。學生將假設用符號語言描述出來，將兩種未知量逐步抽象成一種未知量，從而建構出只有一種未知量的數量關系式。

三、通過探尋關系建構數學模型

數學模型是通過數學語言、符號和圖形等形式來刻畫、描述、反映特定的問題或具體事物之間關系的數學結構。數學模型的價值體現在建立過程及以此去解決實際問題，在問題解決中自覺主動地尋求適應需求的數學模型，才是學生真正具有模型意識的具體體現。

例如，在六年級教材中多次出現“圓與正方形關系”的內容，學生往往就題論題，沒有形成建模意識，若題目稍加變化就會顯得束手無策。如果嘗試用數學建模的思想來指導解決此類問題，就能引導學生進入到數學的一個新天地。

例1：（如圖1）從一個面積是12平方厘米的正方形紙板上剪下一個最大的圓，求圓的面積。

按常規思路，求圓的面積需要半徑長度，顯然這道題不具備這樣的條件，那么就要引導學生思考：在正方形中剪一個最大的圓，這個圓與正方形的面積有什么關系？

這時筆者引導學生回顧探究圓面積公式的過程（如圖2），可以發現正方形的邊長即為圓的半徑，那么，圓的面積就是正方形面積的π倍。引導學生思考將圖1中大正方形平均分成4份（如圖3），那么圓的面積就是1/4個大正方形面積的π倍，也就是說在正方形紙中剪一個最大的圓，這個圓的面積就是這個正方形面積的π/4倍。所以，圓的面積就是12×π/4=9.42（平方厘米）。

接著出示例2：（如圖4）在圓中剪一個最大的正方形，正方形的面積是10平方厘米，圓的面積是多少平方厘米？

通常求解正方形的面積，我們是用邊長×邊長得到的，而此題只是告訴我們正方形的面積是10平方厘米，正方形的邊長是無法得知的，那就需要探尋此時正方形面積與圓的面積的關系。

學生受前面解題經驗的影響，會設法將正方形進行改變，將正方形平均分成四個相等的等腰直角三角形（如圖5）。那么，兩個等腰直角三角形就可以拼成邊長為r的小正方形（圖5中虛線部分），就可以看出圓面積是這個小正方形面積的π倍，從而得出圓面積就是這個大正方形面積的π/2倍。所以，圓的面積就是10×π/2=15.7平方厘米。

總之，建模是數學學習的一種新的方式，它為學生提供了自主學習的空間，有助于學生體驗數學在解決實際問題中的價值和作用。但是，學生在建模過程中一定會遇到諸多的困難，教師應鼓勵他們敢于質疑、猜想、發表自己獨特的見解，使建構活動更為豐富多彩。

參考文獻：

[1]曹培英．跨越斷層，走出誤區：“數學課程標準”核心詞的解讀與實踐研究［M］．上海：上海教育出版社，2017，189．

[2]林碧珍．數學思維養成課——小學數學這樣教［M］．福州：福建教育出版社，2013，181＋183．

[3]李其進.小學數學建模教學的起點過程及應用策略［J］.現代中小學教育，2017，（8）：37．

[4]孟宏生．數學建模 培養數學素養的有效途徑［J］．教書育人，2011，（31）：42．