解決實際問題的過程中建立數學模型的方法探析

“解決問題”是指應用數學知識和方法解決實際問題，小學數學中的解決問題作為聯系數學知識與現實生活的橋梁，是各項數學知識的整合體現，是小學數學教學的重要組成部分，也是數學教學中的一個難點。如何幫助學生在解決問題的過程中理清數量關系，建立數學模型呢？ “數學建模”是通過建立模型的方法來求得問題解決的數學活動過程，即“把現實世界中的實際問題加以提煉，抽象為數學模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，并用該數學模型所提供的解答來解釋現實問題”分析和解決數學問題的過程，就是解釋與應用模型的過程。下文就以“蘇教版”一年級（下冊）“求兩數相差多少的實際問題”為例，談談具體的做法。

一、比較，建立直觀模型

任何數學模型的建立都具有具體的現實情境，教師要從學生的實際生活出發，創設與現實生活緊密聯系的問題情境，喚起學生對生活原型的回憶，在新的數學問題與生活問題之間建立一種實質性的聯系，并引導學生從實際情境中發現問題、提出問題。發現、提出問題是構建數學模型的知識基礎，是學生充分感知、體驗的過程，是獲得對模型豐富、深刻認識的過程，只有真正理解透徹了，才能建構好數學模型。

筆者在教學“求兩數相差多少的實際問題”時，首先出示三組物體圖片（圖1）。

圖1

讓學生說一說，每組中誰比誰多（少），多（少）幾個？你是怎么看出來的？

通過排列比較，學生就會發現，把兩種小動物一個對著一個排整齊，可以一眼看出誰多誰少，相差幾個。再通過追問“怎么數的？”引導學生發現求“誰比誰多幾個，或誰比誰少幾個”，直接數后面多出來的部分就可以了。

通過將上面幾幅情境圖的排列演示，引導學生從多與少的角度充分感受兩個數量之間的關系，從日常生活現象抽象為數學語言，逐步引發學生對兩個數量多與少的感知體驗，為建立“兩數相差多少的實際問題”的方法模型做好充分的準備。

接著出示兩根紙條，要求學生比長短 （圖2）。通過交流進一步明確，只要將紙條一端對齊，量出多余的部分就是兩根紙條相差的。

圖2

三幅實物圖的比較感知，以及兩根紙條的操作活動，學生逐步認識到比較兩個數量多少的基本方法，即一端對齊，看另一端相差多少，建立了關于比較兩個數量的直觀模型，為進一步的抽象奠定了感性基礎。

二、分析，建立算式模型

數學模型有利于幫助學生認識并理解知識的本質，能幫助學生從具體到抽象，從現象到本質地認識數學。直觀模型是解決問題數學模型的初級階段，為數學模型的建立提供了可能，要使學生將數學問題抽象成數學模型，必須要讓學生經歷數學化和再創造的過程，形成抽象的算式模型。

圖3

1.出示主題圖（圖3）。

（1）喚醒：怎樣才能知道誰抓得多，多多少呢？

怎樣排列更好？ （引導學生一一對應排列）

哪種顏色的花片多，多幾個？從哪兒看出來的？

（2）探究：能用算式表示嗎？算式里每個數各表示什么意思？為什么從紅花片的個數里去掉藍花片的個數就得到紅花片比藍花片多的個數？為什么這樣列式呢？

（3）反思：剛才我們在解決哪種花片多多少這個問題的時候，可以用排一排再比一比的方法，也可以列算式計算這種方法，你喜歡哪一種？為什么呢？

老師調動學生已經形成的直觀模型的表象，讓學生用學具排一排、比一比的方法解決“紅花片比藍花片多多少個”這一問題。再借助直觀演示理解算式13-8的含義，即：藍花片和紅花片中的一部分同樣多（用一條虛線隔開），從紅花片里去掉和藍花片同樣多的部分，剩下的就是相差的數量。至此，學生完成了從直觀比較到算式模型的建構過程。最后討論“藍花片比紅花片少多少個”這一問題，使學生對求一個數比另一個數多多少，或求一個數比另一個數少的問題模型形成較為完整的認識。

2.出示圖4、圖5。

圖4

圖5

要求學生先用算式解決上面兩個問題，再讓學生說說為什么可以這樣列式，并結合圖示幫助學生理解。通過用長方形直條圖來表示兩個數量，通過直條圖的比較，將具體事物轉化為抽象圖形。引導學生說說解決問題的方法，重點引導他們理解算式的意義。

接著將前面解決的三個問題一并出示，如圖6，引導學生回顧這三個問題的解決過程，比較這三個問題的結構以及解決問題的方法有什么相同之處，幫助學生歸納出解決“求一個數比另一個數多幾或少幾”這類實際問題的方法模型，即“用較多的數減去較少的數”。

圖6

三、溝通，建立關系模型

建立數學模型的目的是更好地描述自然現象和社會現象，從而幫助人們更好地去認識自然、認識社會、改造自然、改造社會。建立數學模型是把一個實際問題中事物的主要特征、主要關系抽象成數學語言，同時傳授給學生一些數學思想和方法，為進一步學習打下堅實的基礎。對所建立的數學模型進行應用，變學數學為用數學，讓數學模型具有生命活力。

有效模型的運用可讓學生在建模基礎上提升認識，加深感悟。用所建之模來解決生活實際中的問題，可以讓學生體會到數學模型的應用價值，增強數學的應用意識，學生在實際應用中能認識新問題、感悟新方法、拓展新認知，構建自己的知識體系。構建模型的過程是由具體、逐步到抽象的過程，而運用模型的過程則是將數學模型應用于問題解決的過程。

教師在應用環節出示一組比較練習：

（1）一年級小朋友做了45朵紙花，送給幼兒園20朵，還剩多少朵？

（2）一年級小朋友做了45朵紙花，送給幼兒園一些，還剩20朵，送給幼兒園多少朵？

（3）一年級小朋友做了45朵紙花，幼兒園小朋友做了20朵，一年級小朋友比幼兒園小朋友多做多少朵？

這三個問題中前面兩個問題是學生以前學過的，第三個問題是今天學習的，但有一個共同點，即都是用減法計算。教師在教學中逐題出示，請學生列式解答。接著進行追問：“這三道題意思不一樣，為什么都用減法計算？”組織學生討論后，再通過示意圖（圖7）的演示，幫助學生明白其中的內涵。

圖7

這是“兩數相差多少”實際問題的建立模型后的一個獨立練習，是對已掌握數學模型的運用和內化的過程。這其中不僅有“兩數相差多少”的問題，還有之前學的“求減數是多少”的問題，不是簡單地套用模型，而要通過分析各自的數量關系進行解答。三個問題的比較在很大程度上幫助學生深刻領會數學知識，建構數學體系。學生在解決問題的過程中，經歷了理解分析和比較的數學化思維活動，培養了學生多角度思考問題的能力。在比較中，學生對兩數相差多少就是“用多的數減去少的數”這一模型有了更深刻的認識，同時豐富了學生對減法模型的理解。

數學學習的過程既是解決問題的過程，也是建立數學模型的過程。教師不僅要向學生滲透模型思想，還要教會學生如何建立模型，引導學生運用觀察、分析、比較、抽象、概括等思維方法。讓學生親身經歷將現實問題抽象為數學問題，生活原型轉化為數學模型，將具體事物轉化為邏輯抽象的過程。只有積累將現實問題數學化的經驗，感受數學模型的思想、方法及其價值，才能提高學生的數學應用意識和應用數學解決實際問題的能力。