帶有部分不確定性的平差算法在高程擬合中的應用

左廷英，丁俊豪，宋迎春，肖兆兵

(中南大學 地球科學與信息物理學院，湖南 長沙 410083)

GPS測量能夠獲得測站點高精度的WGS-84坐標，即大地經度L，大地緯度B和大地高H[1-2]。通過高斯正算公式能將大地坐標L和B轉換為高斯-克呂格投影平面坐標系中的坐標(x,y)，但高程則需利用高程擬合實現，考慮到大地高與正常高的差值(高程異常)，通常的方法是以平面坐標(x,y)為自變量，高程異常值為因變量來建立擬合函數[3-4]。若僅考慮高程異常(觀測向量)的誤差，認為平面坐標無誤差，則可直接利用最小二乘法(Least-Squares，LS)求得擬合參數。由于測量技術手段和環境因素，平面坐標必然存在誤差，有時這種誤差甚至是不確定的，造成法方程系數陣包含不確定性，最小二乘解不夠精確。研究者針對觀測向量和系數陣都含有誤差的情況，提出采用總體最小二乘法(Total Least-Squares，TLS)解決[5-10]。如王樂洋等人推導了利用監測點位移或速度反演地殼應變參數的總體最小二乘方法的求解過程；陸玨在相機定標過程中，考慮像點坐標和對應地面點坐標均存在誤差，采用總體最小二乘方法修正誤差方程中的系數陣和觀測向量，提出了更合理的計算模型。但考慮到總體最小二乘平差模型將不確定性(誤差)同時融入觀測矩陣和系數陣，可能導致系數陣過度修正[11]。于是，有研究者提出，引入不確定度(不確定性的度量指標)來限制不確定性。目前，在測繪領域，應用不確定度理論，研究減小不確定性的方法仍是一個新熱點。如宋迎春將不確定度作為參數融入函數模型中，利用殘差最大不確定度達到最小的平差準則(max-min準則)，采用迭代算法解算不確定性平差模型[12]。鄒渤將前者帶不確定性的平差算法成功運用于沉降AR模型中，獲得了較最小二乘和總體最小二乘更高的預測精度[13]。

本文考慮到系數陣中并非所有元素都含有不確定性，針對類似于GPS高程擬合的案例，將系數陣進行分塊處理[14]，對含有不確定性的區塊進行限制，運用帶部分不確定性的平差算法(PULS，Least-Squares with Part of Uncertainty)解算擬合參數，并與最小二乘、總體最小二乘對相同對象的解算結果進行比較，分析 PULS算法的有效性。

1 GPS高程擬合模型

目前，主流的GPS高程擬合模型是針對高程異常的曲線擬合和曲面擬合[1]。本文以二次曲面擬合為研究對象，模型為

ξ=a0+a1x+a2y+a3xy+a4x2+a5y2.

(1)

式中:ξ為高程異常值，(x,y)為高斯平面坐標，ai(i=0,1,2,3,4,5)為擬合參數。求解這6個參數，至少需要6個平面點坐標以及對應的高程異常值，若有n個觀測值，則

(2)

組成誤差方程V=AX-L，其中

(3)

2 高程擬合模型的部分不確定性

觀測數據中常含一些不確定的附加信息或先驗信息，它們的統計信息和概率分布函數無法確定。在GPS高程擬合模型中，平面坐標和高程異常值含有不確定性的量，干擾量帶有不確定區間，即

(4)

‖ΔA2‖F≤α,‖ΔL‖F≤β.

(5)

融入不確定度參數α和β后，原平差模型轉化為帶部分不確定性的平差模型，即

(6)

在部分帶不確定性的平差模型中，不確定度α和β的上限已知，即帶不確定性的部分A2和觀測向量L的不確定性是已知的。在總體最小二乘平差(TLS)中，系數矩陣和觀測向量的不確定性都是未知的；而最小二乘平差(LS)不考慮系數矩陣的不確定性(即ΔA=0)，僅認為觀測向量的不確定性未知。

在限制不確定性的情況下，對X進行參數估計，可根據文獻[14]提出的min-max平差準則，使殘差的不確定性達到最小，即

(7)

在上述準則下，一個類似的部分嶺估計[15]為

(8)

DNP-9022恒溫培養箱 上海精宏試驗設備有限公司；MLS-3751立式滅菌鍋 日本三洋電機公司；DZ400真空包裝機 鄭州星火包裝機械有限公司；D90單反相機 尼康株式會社；F2038/H7001無影燈 康爾健醫療科技有限公司；UTP電子天平 上海花潮電器有限公司；FA2004分析天平 常州市幸運電子設備有限公司。

3 實驗分析

表1 模擬點坐標及其對應的高程異常值 m

圖1 模擬點分布

解算的擬合參數與其真值之間差值的二范數，表征解算精度見表2和圖2。從表2中可以看到，帶部分不確定性平差算法(PULS)解算參數的精度高于最小二乘(LS)和總體最小二乘(TLS)，差值二范數僅為0.015，而總體最小二乘平差由于系數矩陣和觀測向量同時考慮不確定性，但這種不確定性的限度未知，導致了修正過度，使得結果不及最小二乘平差。為了檢驗所求參數的適用性，另外設置50個均勻分布模擬點進行高程異常內插，以參數真值計算的高程異常真值作為評定精度的標準。50個高程異常利用MATLAB中MESH函數繪制的三維曲面圖見圖3。計算的各點高程異常值分別減去對應的真值再取絕對值后繪制的折線圖見圖4，子圖中虛線表示平均絕對差值，三種平差模型計算的參數內插高程異常得到的平均絕對差值分別為：0.56 mm(LS)、0.77 mm(TLS)和0.07 mm(PULS)，可以看到利用PULS計算的參數內插高程異常的精度較LS和TLS高一個數量級，與表2得到的結論一致。另外從圖4可以看出，LS和TLS方法得到的擬合參數內插高程異常的絕對差值有呈現總體逐漸增大的趨勢(隨坐標的增大)，這與選取的二次曲面擬合模型有關系：帶不確定性的坐標值增大，系數矩陣中的不確定性也隨之增大；但PULS方法在同樣的內插范圍看，絕對差值卻呈現減小再增大趨勢，這也進一步表明PULS在一定范圍內對于較強不確定性的干擾有抵抗性。

表2 擬合參數解算結果

箭頭表示內插點按點號排序圖2 高程異常內插點的分布

圖3 三組參數計算的高程異常

圖4 高程異常內插值與真值的絕對差值

4 結束語

本文研究GPS高程擬合二次曲面模型的不確定性，將系數矩陣進行分塊，對含有不確定性的區塊加以限制，并將不確定度融入函數模型，運用帶部分不確定性的平差算法(PULS)解算擬合參數。實驗利用20個模擬點坐標及其高程異常值，分別運用LS，TLS以及PULS對擬合參數進行解算，結果表明，PULS得到的擬合參數精度高于LS和TLS，另外由于TLS同時考慮系數矩陣和觀測向量的不確定性，但這種不確定性的限度未知，導致了修正過度，使得結果不及LS。利用解算出的3組參數，在50個均勻分布的模擬點進行高程異常內插，內插精度同樣反映出PULS解算結果的優越性。

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