自動化多面函數GPS高程擬合在既有鐵路中的應用

張 偉,花向紅,劉 偉，唐兆鵬,4,陳 鵬

(1.武漢大學 測繪學院,湖北 武漢 430079；2.東華理工大學 江西省數字國土重點實驗室，江西 南昌 330013；3.株洲時代電子技術有限公司,湖南 株洲 412000；4.32022部隊,湖北 武漢 430074)

近年來隨著國家經濟建設的快速穩步發展，鐵路運輸承擔了大量的客運需求[1-2]。據2016年國家鐵路局鐵道統計公報顯示，近年來全國鐵路旅客發送量呈不斷上升趨勢，2016年全國鐵路旅客發送量完成28.14億人，比上年增加2.79億人，增長11.0%。經濟發展和客運需求的增加對客運線路的運輸效率提出了更高的要求。國家發展和改革委員會、交通運輸部以及中國鐵路總公司印發的發改基礎〔2016〕1536號文件的附件《中長期鐵路網規劃》中指出，到2020年實現鄰近大中城市1～4 h交通圈，城市群內0.5～2 h交通圈，進一步提升鐵路運輸的效率。除了高速鐵路的發展規劃外，普速鐵路網的建設也將進一步加強，既有線規劃實施擴能改造將達到2萬km。既有線的維護作業和改造提速的巨大工作量對線路控制網建設提出了更高的要求，傳統全站儀測量方式只能在軌道天窗時間進行，測量效率較低[3-6]?？紤]GPS靜態測量的高精度，全天候優勢，利用GPS靜態測量建設既有線控制網，成為既有線改造控制網建設的現實需求[7]。

由于GPS靜態測量的高程采用參考WGS84橢球的大地高，而施工建設通常采用基于似大地水準面的正常高，因此國內外學者和相關機構對如何將GPS橢球高轉換大地高進行了大量的研究[8-10]。大面積的GPS高程擬合中常常采用基于重力場的模型，例如基于EGM2008模型的GPS高程轉換[11-12]?？紤]到GPS高程轉換的重力場模型需要大量的重力場資料，同時既有線維護中存在大量現有水準高程控制點的實際情況，大量學者針對基于數學模型的GPS高程轉換進行了研究。張小紅等研究了基于Kriging統計的GPS高程擬合方法，該方法綜合了移動法曲面模型和多面函數模型的優勢[13]。吳迪軍等研究了二次曲面函數模型GPS高程擬合在跨海橋梁中的應用[14]。于小平等研究了多項式擬合模型在GPS高程擬合中的應用[15]。目前多面函數模型中的核心點多需要根據人員經驗選取[16]。本文針對多面函數核心點的自動選取進行研究，提出一種新的自動化多面函數模型。通過既有鐵路的高程擬合實例證明，相比于二次曲面函數模型，新模型的擬合精度更高。

1 GPS高程擬合

近年來GPS高精度三維測量廣泛地應用于工程控制網布設中，其中GPS三維坐標的大地高是相對于WGS84參考橢球的橢球高。由于工程施工采用基于似大地水準面的正常高，通常利用高精度的數學模型將GPS大地高轉換為工程施工的正常高。GPS高程擬合主要包括3個步驟：

1)通過研究區域內已知控制點的GPS大地高和正常高獲取高程異常，計算式如下：

δ=h-H.

(1)

式中：δ表示高程異常，h表示GPS大地高，H表示正常高。

2)假定控制點的高程異常具有空間相關性，利用高程異常和控制點的大地坐標(GPS經、緯度)或者工程平面坐標建立高程異常的數學模型。常用的模型包括二次曲面函數模型和多面函數模型等。

3)通過數學模型擬合未知點的高程異常，利用式(1)反算出未知點的正常高。

1.1 二次曲面函數模型

將研究區域的高程異常假設為一個復雜曲面，其數學模型如下：

δ=a0+a1x+a2y+a3x2+

a4y2+a5xy+ε.

(2)

式中：ai(i=0,1,…,5)表示模型的待估計參數，ε表示誤差項，(x,y)表示已知點的坐標，一般取中心化歸算后的坐標。二次曲面函數模型對應的誤差方程如下：

v=a0+a1x+a2y+a3x2+a4y2+

a5xy-δ.

(3)

式中：v表示改正數。

假定測區內存在n個已知控制點，則誤差方程的矩陣表達式如下：

(4)

(5)

利用最小二乘可以快速解算出(4)式中的待估計參數。解算二次曲面函數模型測區內需要至少6個已知控制點。

1.2 自動化多面函數擬合模型

假定研究區域的高程異常的數學模型由多個曲面函數構成，其數學模型如下：

(6)

式中：αi表示待估計參數;θ(x,y;xi,yi)表示核函數，這里采用正雙曲面函數;m表示核心點個數;(x,y)表示δ對應控制點的坐標，(xi,yi)表示選取的第i個結點。正雙曲面函數計算式如下：

(7)

式中：ε2表示光滑因子，這里選取為0。

假定測區內存在n個已知控制點，選取其中m個點作為結點，則可以得到多面函數模型的誤差方程矩陣形式如下：

(8)

(9)

利用最小二乘可以快速計算出待估計參數建立高程異常的數學模型。

多面函數的模型中結點的選取是影響多面函數高程擬合精度的一個重要因素，為了滿足既有線改造的需求，本文提出了一種自動循環選取結點的算法，其具體步驟如下：

2)對于第i個結點，查找與其最鄰近的兩個結點，按照下式計算控制點的質量指標Qi。

(10)

式中：δi表示第i個結點的高程異常；δi1和δi2分別表示與第i個點最鄰近兩個點的高程異常；d1和d2分別表示第i個點與最鄰近兩個點之間的距離。

3)刪除Qi最小的點，利用剩余的結點建立多面函數模型，其內符合精度記作σ2；

2 實驗分析

為了評估分析提出的自動化多面函數模型的精度，本文利用既有線工程實例對模型進行了驗證。測區內已知控制點總共為21個，選取其中8個為外符合檢驗點。試驗中分別采用沿線路均勻選取和在線路一端均勻選取的兩種策略選取外符合檢驗點。兩種不同情況下控制點和外符合檢驗點的分布如圖1所示。

分別采用二次曲面函數模型和自動化多面函數模型建立GPS高程擬合模型，兩種情況下高程擬合模型的內符合精度和外符合精度如表1、表2所示。

圖1 兩種不同情況下控制點和外符合檢驗點的點位分布圖

表1 外符合點沿線路均勻分布擬合模型的精度統計表 m

表2 外符合點沿一端均勻分布擬合模型的精度統計表 m

從表1和表2中可以看出，自動化多面函數模型的內符合精度明顯優于二次曲面函數模型，其內符合精度優于0.000 5 m；自動化多面函數的外符合精度約為0.01 m，而二次曲面函數模型的外符合精度約為0.1 m;自動化多面函數的外符合精度約為二次曲面函數模型的1/10，明顯優于二次曲面函數模型。同時在控制點大致均勻分布的情況下，兩種情況的自動化多面函數模型的內符合精度和外符合精度均相差不大。在兩種不同的外符合點分布情況下，兩種模型的外符合檢驗誤差均值，最大值，最小值分別見表3和表4。

表3，表4給出了兩種模型外符合檢驗誤差的均值，最大值，最小值。

表4 外符合點沿一端均勻分布的外符合誤差統計表 m

從表3和表4中可以看出自動化多面函數模型的外符合誤差的均值相比于二次曲面函數模型更接近于0，即模型的外符合誤差更接近于0均值的誤差分布模型。同時自動化多面函數模型的外符合誤差的最大值和最小值均明顯優于二次曲面函數模型。工程實例表明新提出的自動化多面函數相對于二次曲面函數模型，其GPS高程擬合的精度更高，更適用于既有線的控制網布設。

3 結 論

本文研究了既有線改造提速中線路控制網布設的問題，針對兩種不同的GPS高程擬合模型進行了深入探討。利用已有既有線工程實例對新提出的自動化多面函數模型進行了精度評估分析。實驗結果表明，新模型能夠實現多面函數結點的自動選取，同時確保了多面函數模型高程擬合的精度。實驗結果的內符合精度，外符合精度以及外符合誤差的均值，最大、最小值均表明新提出的自動化多面函數模型明顯優于二次曲面函數模型，其更適用于呈線狀的既有線的控制網布設。

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