一種改進的吸引域估計的方法

金德泉　禹磊

【摘 要】在考察具有漸近穩定平衡點的非線性動力系統的時候， 其吸引域范圍是判斷系統穩定性的一類重要指標.利用最優Lyapunovh函數法， 可以得到一大類非線性動力系統所對應的Lyapunov函數， 并利用該函數對吸引域范圍進行估計. 基于最優最優Lyapunov函數， 通過對原吸引域估計方法進行改進， 可以顯著提高估計的準確性， 得到更好估計結果， 并通過數值實驗證明了這一點。

【關鍵詞】漸近穩定平衡點；吸引域；迭代擴展法

中圖分類號： O175 文獻標識碼： A 文章編號：2095-2457（2018）06-0187-002

【Abstract】When investigating the property of nonlinear dynamical system which has asymptotically equilibrium point， the range of its corresponding attractive domain is an important indicator for system stability. By using optimal Lyapunov function approach， the corresponding Lyapunov function can be obtained for large part of nonlinear dynamical systems， which can be used to estimate the range of attraction domain. On basis of optimal Lyapunov function， the original approach for estimating attraction is improved， which effectively increases the estimating accuracy to obtain better estimating result. Numerical Examples are given to show this.

【Key words】Asymptotically stable equilibrium point；Attraction domain；Iterative expansion Approach

0 引言

對于一般的非線性系統而言， 確定平衡點的吸引域的范圍是一個具有相當難度的問題， 也是非線性自治系統研究和應用中的一個重要問題[1-4]。最早關于非線性系統吸引域問題的討論可以追溯到Barbashin和Krasovskii， 以及Zubov等人的工作[5]. 1985年S Balint提出了最優Lyapunov函數的概念[6]， 并于1986年對這種最優Lyapunov函數的逼近的方法[7]. 基于這些工作， 2005年Kaslik E， Balint A和Balint S詳細的給出了一種對最優Lyapunov函數進行近似的迭代逼近方法[8]， 得到了一個新的Lyapunov函數， 并將其用于近似非線性系統的吸引域范圍. 這些工作的成果稱為最優Lyapunov函數法. 因為最優Lyapunov函數法對系統的具體形式沒有太多的限制， 因此非線性系統吸引域估計的研究領域一個重要的成果.

基于一種Lyapunov函數迭代方式， 本文給出一種用于估計具有漸近穩定平衡點的非線性動力系統吸引域范圍的新方法， 稱為迭代擴展法. 理論證明和數值實驗表明了這種方法在吸引域估計中的可行性和有效性. 數值實驗的結果表明， 由迭代擴展法得到的吸引域的近似結果要比最優Lyapunov函數法得到的結果要好.

1 非線性系統穩定性的最優Lyapunov函數法

考慮如下具有一般形式的系統

其中D→Rn是將連通開集D？奐Rn映到 的局部Lipschitz映射.不失一般性，設x=0為系統（1）的平衡點， 即f（0）=0.

用于估計非線性系統吸引域的方法中，如基于Lyapunov穩定性定理的Lyapunov直接方法， 以及基于LaSalle定理的判斷集合正向不變性從而找到吸引域的近似的方法等. 這些方法都依賴于系統的Lyapunov函數， 且近似的效果好壞在很大程度上也依賴于Lyapunov函數自身的性質好壞. 而構造Lyapunov函數是一個很困難的問題， 基本上所有的構造方法， 包括能量函數法和變量梯度法等， 都只是適用于某類具有特定具體形式的系統， 而沒有一個普遍的系統化的方法， 更不要說構造一個“好”的Lyapunov函數.

2005年， Kaslik E， Balint A和Balint S在他們的文獻[8]中提出了一種構造Lyapunov函數的新的方法.這種方法只對系統場函數的光滑性和平衡點處系統的Jacobi矩陣有一定的要求， 而不像大多數方法那樣需要對系統的具體形式加以限制. 這在非線性系統領域是一個很大的突破， 具有很高的理論和應用價值.

定理1（見[8]中定理8）如果場函數f實解析且它在原點的Jacobi矩陣的特征值實部為負，定義實解析函數V的自然解析域為Rn中滿足

3 結論

本文給出了一種用于非線性系統漸近穩定平衡點吸引域估計的改進的最優Lyapunov函數法. 該方法繼承了最優Lyapunov函數法使用范圍廣的優點， 可以用于一大類非線性系統的吸引域估計. 同時， 通過對最優Lyapunov函數法進行改進， 取消了原本需要將估計范圍限制在某個圓（或球）內限制， 從而提高了吸引域估計的精度， 擴展了方法的使用范圍.

【參考文獻】

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[6]Balint S. Considerations concerning the maneuvering of physical systems[J]. An. Univ. Timisoara， 1985， 23（1）：8-16.

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[8]Kaslik E， Balint A and Balint S.Methods for determination and approximation of the attraction domain[J].Nonlinear Analysis， 2005， 60（4）：703-717.