精選習題漸次推進 聚焦目標提升效度

近期筆者有機會聽某年輕教師的一節匯報課，教材上并沒有相關的課例。該教師針對平面直角坐標系新授課之后，學生家庭作業中出現的一些錯誤增設出一節習題課，精心選題，歸類講解了在平面直角坐標系中的三角形面積的探究，題型比較豐富，訓練量很大，應該說對這類問題的應試輔導是到位的，也是有效的。要想讓課堂教學更有品質，各個教學環節之間更有關聯，不同例、習題之間更有聯系，我們還可以怎樣設計與構思呢？帶著這些問題，本文將該課的一些主要選題摘抄一部分呈現，并本著教學研討的目的，重新給出教學設計的簡案，拋磚引玉。

一、聽課摘錄

聽課記錄：學生匯報解題思路之后，教師小結了求這種三角形面積的關鍵是利用點C的縱坐標為高來計算。

題型2 在平面直角坐標系中，已知點A（2，4），B（4，2），C（1，1），則△ABC的面積為________。

聽課記錄：師生合作畫出圖形，如圖2，過A，B，C三點作坐標軸的平行線，補成四邊形CDEF，先分析得出D（1，4），E（4，4），F（4，1），

進一步用四邊形面積減去3個直角三角形面積，S△ABC=3×3-[12]×1×3-[12]×3×1-[12]×2×2

=9-[32]-[32]-2=4。

題型3 已知平面直角坐標系xOy中，直線l經過A（a，0）和B（0，-5）兩點，且直線AB與兩坐標軸圍成的直角三角形的面積為10，求a的值。

聽課記錄：先構造出草圖進行分析，師生互動探討了A點所在位置（x軸上任意一點），學生最初只考慮了一個解，為了糾錯和防控漏解，教師啟發學生從絕對值方程的角度來思考，列出絕對值方程[12]·|a|·|-5|=10，解得a=±4。最后，在圖形上給出A點兩處可能的位置（如圖3）。

題型4 在平面直角坐標系xOy中，有4個點A（-6，0），B（-5，2），C（-1，4），D（1，0），順次連接AB，BC，CD，AD，得到四邊形ABCD。求四邊形ABCD的面積。

聽課記錄：有學生先想到將四邊形補成一個大的長方形，然后依次減去一些三角形的面積；教師對學生基于“補”形的思考策略表示了肯定，接著提示，是否可以采用“割”的方法呢？于是，有學生提出過點B作BP⊥x軸于點P，過點C作CQ⊥x軸于點Q。直角三角形ABP的面積=[12]×1×2=1，Rt△CDQ的面積=[12]×2×4=4，梯形BPQC的面積=[12]×4×（2+4）=12，所以四邊形ABCD的面積=1+4+12=17。這樣問題也獲得了解決。

聽課隨感：課中，上述4種題型較好地涵蓋了平面直角坐標系中求三角形面積的常考題型，學生訓練之后普遍感覺不錯，在課堂小結中表示對這類問題都更有信心。在教師隨后鏈接的一些同類訓練題中，學生的正確率也較高。應該說這節課的教學還是富有成效的。

二、教學再設計

筆者從平面直角坐標系的概念復習出發，漸次生成系列問題，讓各個教學環節融為一體，如中國古代山水畫卷一樣，緩緩展開。

（一）復習引入

師：同學們，前面我們剛學習了平面直角坐標系，大家會用一個有序數對表示平面內一個點的位置，現在我們來練習一道習題（給學生發的學案上已備好幾個平面直角坐標系，教師在黑板上也畫好一個直角坐標系備用）。

問題：在平面直角坐標系xOy中，描出

A（-2，3），B（2，-2），C（-1，-2），D（3，2），

E（-3，0），F（0，-3）。

教學組織：師生合作，復習舊知，得出平面直角坐標系xOy以及6個點，如圖4。

師：這節課，我們就圍繞這六個點，選取其中兩個或多個來研究相關圖形的面積。先看問題1：在圖4中，連接AO，AE，OE，得到△AEO，怎樣求它的面積？

教學組織：學生應該能直接讀出這個三角形的面積，教師追問是怎樣做的，在追問中學生形成對點A的縱坐標與三角形高之間的關系的認識。

（二）“補形法”求解坐標系中任意三角形的面積

問題2：如圖4，連接AO，AD，DO，BD，OB，求△ADO和△BOD的面積。

教學組織：這兩個三角形的面積都可以通過補形的方法來求出，將其補成梯形或長方形，然后再減去“周邊”三角形，可安排學生上臺展示他們的補形與意圖。

（三）“分割法”求解坐標系中任意四邊形的面積

問題3：如圖4，連接AO，AE，CE，OC，求四邊形AOCE的面積。

教學組織：學生仍然可以將這個四邊形補成一個大的長方形，并逐個減去“周邊”三角形。作為多解訓練的需要，要啟發學生能否將其分割求解呢。學生會想到將這個四邊形分割為兩個三角形的面積（△AOE，△COE）來求和。

變式問題1：求四邊形CDBF的面積。

（四）探究具有特殊位置關系的三角形面積算法

問題4：分析計算△COE，△BOE的面積，你有什么發現？你能解釋這種發現嗎？

教學組織：學生計算出它們的面積相等后，通過師生互動對話，引導學生發現這兩個三角形的底相同（OE），高相等（點B，C的縱坐標相等）。

變式問題2：若另有一點M（m，0），當△AOM的面積為3時，求m的值；

變式問題3：若另有一點N（n，-2），當△NCD的面積為6時，求n的值。

教學組織：變式問題主要是坐標中含有一個參數，另一個坐標為常數，學生需要先解讀出這樣的點在某一直線上，然后再畫出草圖分析，分類討論。

三、進一步的思考

在當下的數學教學中，習題講評課幾乎每天都上，作業講評、周練講評、階段檢測卷講評、期中期末卷講評等，然而多數習題講評課總是對照習題資料的順序，一題接著一題往后講，鮮有針對同類題型或某一種方法或某種解題策略而研發的習題講評課型，這是值得我們反思和重視的。

（一）習題講評課的備課要精心選題并同類跟進。

習題講評課首先要精心選題，針對學生作業過程中出現的普遍、共性問題，選定講評主題，然后有針對性地挑選相關問題，歸類講解，漸次展開（如上文中后一種教學設計），讓學生抬級而上，逐個突破，做一題，會一類，通一片。在講評之后，還應該進行同類跟進的訓練，這樣就可有效反饋學生是否真正弄懂、掌握。

（二）習題講評課應該有目標意識，重視內容效度。

如前所述，當前習題講評課的一個現狀是就題講題，講完一題接著講另一題，題目之間知識點、方法策略等層面往往差別很大，很多時候學生還沒有來得及消化前一題，教師又開始講解下一題了，造成習題講評的教學效率低下。這種現象的應對策略首先是要讓教學“慢”下來，慢下來就是要增強習題教學的課時教學目標意識，想講評一類習題就要先搜集出同類習題作為題組呈現出來，這樣習題課的內容效度就得到了保證，然后再跟進同類訓練，習題講評的效率也就得到了提升。

（作者單位：江蘇省蘇州市吳江區松陵第一中學）

參考文獻

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