帶根號Riemann邊值逆問題關于邊界曲線解的誤差估計

摘 要：最早對解析函數邊值問題的穩定性討論應追隨到1937年M.V.Keldysh等人對關于調和函數的Dirichlet問題在邊界曲線發生攝動時的的穩定性研究。文獻[1]討論了帶根號Hilbert邊值問題關于邊界曲線的穩定性，本文在此基礎上進一步討論帶根號Riemann邊值逆問題關于邊界曲線解的誤差估計。

關鍵詞：帶根號Riemann邊值逆問題；攝動；穩定性

中圖分類號：O175.8 文獻標識碼：A

1 邊界曲線攝動后Riemann邊值逆問題的提出與求解

文獻[2]提出了以下一類帶根號Riemann邊值逆問題：

設L為復平面中一條封閉光滑曲線，求一對函數Ψz，wt，其中Ψz是以L為跳躍曲線的全純函數，wt為L上的H類函數，滿足以下邊值條件：

Ψ+t=G1tΨ-t+g1twt，t∈L，

Ψ+t=G2tΨ-t+g2twt，t∈L.

其中Gjt，gjt∈HLj=1，2，Ψz在z=

SymboleB@ 處有有限階，要求Ψ+t，Ψ-t在L上單值、連續.

在R-1中的解的狀態。

這里記

gt=1 g1t

1 g2t，G0t=G1t g1t

G2t g2t，

D1t=1gtG1t1

G2t1

且Gt=G0tgt.定義指標κ=12π[argG（t）]Γ，并記c=κ+k-m-n.

當邊界曲線L發生極小的攝動時，則有以下的帶根號Riemann邊值逆問題：

Ψ+（ω，ε）ξ=G1ξΨ-（ω，ε）ξ+g1ξw（ω，ε）ξ，ξ∈Lω，

Ψ+（ω，ε）ξ=G2ξΨ-（ω，ε）ξ+g2ξw（ω，ε）ξξ∈Lω.

其中

gξ=1 g1ξ

1 g2ξ，G0ξ=G1ξ g1ξ

G2ξ g2ξ，

D1ξ=1gξG1ξ1

G2ξ1

且Gξ=G0ξgξ.顯然D1ξ∈HLω定義指標κω=12π[argG（t）]Lω，并記cω=κω+k-m-n。

文獻[2]給出了帶根號Riemann邊值逆問題的解，即當κω+km+n時，問題的一般解如下，這里t∈L。

Ψz，wt

=PczXz∏z，PctX-tD1t∏t（1）

那么相應的問題的解如下，這里ξ∈Lω

Ψ（ω，ε）z，w（ω，ε）ξ

=PczXωz∏εz，PξX-ωξD1ξ∏εξ。（2）

其中Xω（z）=eΓω

（z-z0）-κeΓω

2 攝動后Riemann邊值逆問題解的誤差估計

這里取曲線L為單位圓周，則有

定理1 當ω=0時，Xω=X，這時則有

‖X-ωξ-X-t‖L

SymbolcB@ C（ρ0，υ）Aμ（G）+1‖ω‖μ（1-υ）1

證明：由Xω（z）=eΓω（z-z0）-κeΓω可知，

X-ωξ=ξ-z0-κX+ωξ，

那么X-t=t-z0-κX+ωt。

由文獻[3]的定義1的證明過程可得

‖X+ω-X+‖L

SymbolcB@ C（ρ0，υ）Aμ（G）‖ω‖μ（1-υ）1，

且t-z0∈H（L），那么由數學歸納法可得

t-z0-κ∈H（L），

即ξ-z0-κ-t-z0-κ

SymbolcB@ C·‖ω‖1.

則由文獻[4]引理3可得

‖X-ωξ-X-t‖L

SymbolcB@ C（ρ0，υ）Aμ（G）+1‖ω‖μ（1-υ）1

定理2 任給ω∈B（ρ0），G，g∈Hμ（E）.當κ+km+n時，攝動后的帶根號Riemann逆邊值問題在R-1中的一般解為（1）式所示，此解與帶根號Riemann邊值問題的解（2）式滿足：

‖w（ω，ε）ξ-wt‖L

SymbolcB@ C（m，n，d）Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1‖ω‖1+εμ（1-υ）

‖Ψ（ω，ε）-Ψ‖Ω

SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1‖ω‖1+εμ（1-υ）

證明：由定理1，文獻[5]推論2及文獻[4]引理3和Pc-1的Hlder連續性可得

‖w（ω，ε）ξ-wt‖L

SymbolcB@ C（m，n，d）Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1‖ω‖1+εμ（1-υ）。

再則由文獻[1]中定理2的證明過程可得，當t∈Ω+

Ψ（ω，ε）（t）-Ψ（t）

SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）[Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1] ‖ω‖1+εμ（1-υ）則

‖Ψ（ω，ε）（t）-Ψ（t）‖Ω+

=maxt∈Ω+Ψ（ω，ε）（t）-Ψ（t）

SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1‖ω‖1+εμ（1-υ）

由最大模原理可得

‖Ψ（ω，ε）-Ψ‖Ω+

SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）[Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1]（‖ω‖1+ε）μ（1-υ）。

再由Ψ+（ω，ε），Ψ+的有界性可得

‖Ψ+（ω，ε）（z）-Ψ+（z）‖Ω+

SymbolcB@ ‖Ψ+（ω，ε）-Ψ+‖Ω+‖Ψ+（ω，ε）+Ψ+‖Ω+

SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）[Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1）]‖ω‖1+εμ（1-υ）

同理可得

‖Ψ（ω，ε）-Ψ‖Ω-

SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）[Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1]‖ω‖1+εμ（1-υ）。

綜上所述

‖Ψ（ω，ε）-Ψ‖Ω

SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）[Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1]‖ω‖1+εμ（1-υ）。

參考文獻：

[1]曾喬.帶根號Hilbert邊值問題關于邊界曲線的穩定性[J].科技經濟導刊，2016（20）：107109.

[2]吳鳳敏，劉豪.一類帶平方根的Riemann邊值逆問題[J].南陽師范學院學報，2009（6）：2022.

[3]章紅梅，王傳榮.Riemann邊值問題關于邊界曲線的穩定性[J].福州大學學報：自然科學版，2001，29（1）：14.

[4]Wang Chuanrong，Zhang Hongmei，Zhu Yuchan.The Riemann boundary value problem with respect the perturbation of boundary curve[J].complex Variables and Elliptic Equations.2006，51（8）：631645.

[5]曾喬，林峰.一類奇異積分關于曲線攝動的誤差估計[J].四川師范大學學報：自然科學版，2015，38（1）.

作者簡介：曾喬（1990），女，海南海口人，碩士，助教，研究方向：函數論。