‘莊子切棒悖論’、‘調和級數悖論’等的淺簡徹底解決

摘 要：本文依據《對數學基礎0和1的新認識》的‘均分形式法淺簡而徹底的解決了‘莊子切棒悖論、‘調和級數悖論等著名重大悖論。

關鍵詞：‘悖論；‘假悖論；‘均分形式；‘分數形式等

首先，‘莊子切棒悖論是公認未解決的最著名悖論。這悖論與現行教科書因沒有○n 與n之分等而把公共編號○n-○∞錯成n→○∞，進而錯寫成n …有關（n和○n 的不同與○∞和∞的不同直接有關，其原始原理請參看[3]）。

但近年來，由中科院士張景中主編的第二版《數學聊齋》[1]對‘悖論的概念作出荒謬無理的解釋，竟在其375頁說【悖論不是壞東西……悖論不但有趣，而且有用】，并在他作序的《話說極限》[2]的第3頁說出低劣錯誤的【無限段路程之和可以是有限量】（應該‘有限段路程之和是有限量才正確——請看下面證實。）是在掩蓋‘悖論。理學界掩蓋‘悖論的概念，使之變成誰也搞不懂的‘疑難的實例很多；但像張景中教授們這種低劣錯誤卻是絕無僅有的。展示在下面的[1]，是[2]中‘莊子切棒悖論產生的錯誤的級數式子。[3]之實例6對這個悖論雖已作出邏輯上的否定，但還沒有給出新式子來取代解決，所以本文下面用運算推導出正確的新式子如下：

‘莊子切棒悖論的表述實質意為‘任一條線段，每次切取其半，可無限次的切取。

要解決‘莊子切棒悖論及其級數式子的錯誤，首先須知，‘無限多的數學記號是○∞，而○n 表示‘有限多，但現行教科書因沒有○n 與n之分，從而把錯誤的寫成n …，當成無限了，這是一錯；第二個錯是其沒有把未切取的部分算進去。

所以，‘莊子切棒悖論的真正解決的具體運算推導步驟須為

設○n ′為切的次數，則有1/②○n ′=1/○n ≡1，此式可稱為‘莊子切棒公式（注意，依據[3]，‘總段1不是數，表示一物質線段，所以‘莊子切棒公式不是分數形式，即其分數線/等于除號，表示確定的線段1被○n均分，是均分形式）；○n為已切取的‘積段n的編號；還有恒未切取的‘分段1；由于○n>○n '，所以○n '必有限。

莊子作為哲學家，提出了‘莊子切棒悖論問題讓人們去解決，解決了就是知識，解決不了就成了悖論；而悖論必須要解決〔‘一個命題的自我否定，即既表述為A又表述為非A簡稱為‘悖論。請特別注意，形式邏輯學的‘矛盾律表述為‘兩個互相矛盾或者互相反對的命題，不可能同時真，必有一假。；‘悖論與‘矛盾律的區別的關鍵在‘一個命題和‘兩個命題。也就是說‘形式邏輯學的‘同一律、‘矛盾律、‘排中律三大律合起來的總旨就是防止產生‘悖論。

‘哲學只是‘聰明的觀點而已，事實是，從古至今哲學流派眾多，表明‘聰明的觀點眾多，而‘辯證邏輯僅是高級的‘哲學；所以，人們把沒有推理規則的‘辯證邏輯當作高級的‘形式邏輯學是錯誤的，會把‘非邏輯（即悖論）詭辯為‘辯證邏輯（‘辯證意即‘既對立又統一），這就使‘邏輯學與‘哲學混同了；事實是，‘邏輯學是‘形式邏輯學的簡稱，起始于亞里士多德，具有嚴格的推理規則，是理學研究的唯一推理工具。〕

‘莊子切棒悖論被‘莊子切棒公式徹底解決的道理在物理事實方面：因未切取的‘分段恒為1，是有長度單位的，當1的長度小于刀鋒的厚度就不能切了；即使假想刀鋒的厚度可任意微細，但已切取的‘分段也恒為1，也表明必○n是‘有限多，即○n≠○∞。

所以由‘莊子切棒公式產生的數列和級數才正確，這就解決了‘莊子切棒悖論。

第二，千百年來百思不得其解的‘調和級數發散而其數列卻收斂（其錯誤式子的具體展示請看[2]之第6頁）的毛病在哪？此毛病實即‘悖論，也是現行教科書把n→∞的n當成無限，即調和級數數列的1/n不是最末項，在其后還有表示無限項的‘…造成（注意，‘…可用在n或n項之前表示有限的省略，如用在n或n項之后，就會表示無限而產生悖論即錯誤。）！

本文解決：已證實○n是不定的‘有限多，n表示不定的‘有限大，○∞表示‘無限多，∞表示‘無限大（n和○n的不同與○∞和∞的不同直接有關，其原始原理請參看[3]），所以調和級數應改正為s○n=1 +1/②+1/③+…+1/○n。上面已交代過，這1/○n是均分形式（用直尺、圓規均分），還不是分數形式，因為直接用分數形式或化成小數形式，有限性的○n就徹底混淆成了無限性的n …了；而用均分形式就可看出其長度（或稱距離），不用并項也可直觀看出恒有s○n>○n （1/○n ），因為可直觀看出1/○n是有限個點的第○n點到○0點的長度，于是每條長度是確定的且條數是有限的，從而總和長度s○n也隨之趨微地增大而等于確定長度——即有限量；如果把○n不盡的取，可直觀看出右○n （1/○n ）恒不變，而左s○n→∞，但○n ≠○∞，故s○n≠∞〔現行教科書就是把○n→○∞錯誤的當成n …后，○n就混淆成n ，從而1/○n也就混淆成1/n 隨之以無限小的小數形式以0為極限收斂， 而s就混淆成s○n會隨之無限趨微地增大而向∞發散，從而產生令人困惑的悖論。〕

既已證實點為‘有限多，所以雖可任意選取，但不盡的選取是沒意義的。有限選取后，才再考慮還須完全用數計算表出，這才用到分數形式的1/〔注意，另一分數形式1/n，是‘分段1與‘積段n之比的結果寫法，即1/的1就是1/n的‘積段n ，這也證實現行教科書把混淆成n的錯誤；而由本文，須寫成‘分段為1/，與‘積段為1之比的比值是（1/）：1=①/才對。〕，從而才出現了無限小數的近似〔如選取=（11）則s≈3，如選取=（200）則s≈5.8，如選取=（227）則s≈6，如選取=（1835421）則s≈15等等。還須注意，1還是‘量數（請看[3]），帶上量綱單位就成為具體的‘數量了，就更具有限性；從而1/、s都是‘數量。〕，于是此悖論也解決了（注意，‘總段1必須要有長度量綱，才被徹底確定，否則‘總段1還是無限的！）。

為了讓人看得更清晰、踏實，用實例試把上面=（1835421）的數據應用起來，就知上述不謬：如設‘總段1為1納米長=10^9米（注意，10^9本應寫為10^⑨，為簡，不強改；下同。），如這1納米長分別被①、②、…至最后=（1835421）個分點均分，這分點雖趨多但必有限即必≠，則與各均分形式的1/相應的各分數形式分別為1/①、1/②、…、至最后的1/=1/（1835421）≈5.4×10^16米，這與質子半徑8×10^16米相當，這雖很小但必≠0，于是其s≈1.5×10^8米，必是有限大即必≠∞。總之必是有限多，從而1/必不收斂于0而s必不會發散趨向∞形成悖論。

至于‘芝諾悖論，對照‘莊子切棒悖論、‘調和級數悖論的真正解決，就可知其是芝諾冒充搞成的假悖論。

‘莊子切棒悖論、‘調和級數悖論是有產生數列的通項式的，而‘芝諾悖論沒有其通項式，因而本沒有其數列，其所謂的“數列”是假的，是用特意選取的兩個整數相除即100/9得到的無限循環小數11.111…，再拆成無限的數列樣子，搞成了所謂“無限收斂數列”；這樣一來，就產生了‘快速的阿基里斯永遠追不上烏龜的假象。連動物都知道快速的必會追上慢速的，事實是，‘芝諾悖論的編造，其選取100/9的方程就是按‘阿基里斯追上烏龜這條件才建立的（請看[2]的第3頁），怎又會追不上；把100/9寫成11.111…，就是為編造“無限收斂數列”，搞假悖論。顯然，如果不把100/9寫成11.111…，此題就會還原成一般正常的數學題，就可求得阿基里斯追上烏龜的確定時間和確定距離，何來“悖論”。

這就證實了‘芝諾悖論是假悖論并得到真正的解決。

[2]的主題原是講述數列和極限的，而‘芝諾悖論和‘莊子切棒悖論各有一串數列，所以編著者一開始就為引入這兩個悖論的數列，對這兩個悖論予以既虛否定又實贊美，說出了很多顛三倒四而又圓

滑的廢話，對讀者的邏輯思維都會有極為嚴重的毒害作用。

所以，1/n是其最末項，不可在其后還有表示無限項的‘…。

有了‘總段1，則‘羅素悖論也即解決，因為‘總段1不是數，而是數的集合，其元素即為自然數1、2、…、n；從而第三次數學危機才真正解決。

下面展示[2]的‘莊子切棒悖論所產生錯誤的通項式1/2n和其錯誤的數列、錯誤的兩種級數式子：

‘莊子切棒悖論數列為1/2 ，1/4 ， …，1/2n ，…錯誤在n項之后還有… ；

【1】、sn=1/2 +1/4 + …+1/2n+…=1；

【2】、sn=（1/2）-（1/2）n+1/〔1-（1/2）〕

此兩種式子錯誤就在沒把未切的剩余部分1/2n 加進去。

這【1】沒把未切的剩余部分加進去，右邊怎會=1？

再來驗算【2】，試把n=3代入，也缺剩余部分1/2n =1/8 ；補進1/8 ，才=1 ！

而本文‘莊子切棒公式產生的正確的‘莊子切棒通項式1/2 ^和其數列、級數，分別為（注意，因‘莊子切棒公式中先用數字表示了，于是'就成了后）：

‘莊子切棒數列1/② ， 1/④， …，1/②^，還有未切的剩余的一段即一項1/②^；

‘莊子切棒級數s=1/②+1/④ +…+2/②^=1；

‘莊子切棒等比級數s=〔（1/②）-（1/②）^+①〕/〔1-（1/②）〕+（1/②）^。

請大家對照。

[2]共有四章，其錯誤都集中在第一、第二和第四共三章中，原因是這三章都涉及‘莊子切棒悖論、‘調和級數悖論、和‘芝諾悖論。在第四章中關于‘芝諾悖論的人云亦云錯誤言論，更無知而怪誕的說【十分有意思，如果初值超越極限，它還是“退回來”從反方向逼近100/9】（摘自[2]之111頁），竟不知此句正是表達不可把100/9寫成11.111…！

[2]最后才哀嘆【其實，計算機的出現始終伴隨著一個很難解決的悖論】（摘自[2]之117頁）；但這樣一來，其前面對悖論的贊美和錯誤式子嚴重毒害了讀者的邏輯思維，怎辦？！張景中院士怎會不知‘悖論是何概念，竟說出【悖論不是壞東西……悖論不但有趣，而且有用】小孩般的話？！

原來，說起‘悖論，就不得不面對現在依然名聲震天的都與‘悖論緊密相關三巨頭理論：康托爾的‘無窮集合論、愛因斯坦的‘相對論、哥德爾的‘不完備性定理。

（1）先說康托爾的‘無窮集合論：其實，‘無窮集合論由‘無窮和‘集合組合而成；‘集合本身是無悖的；而‘無窮是有悖的，因為康托爾把‘…當作‘無窮來代替，再用‘一一對應的方法，并交替輾轉使用‘…代替，主觀的用‘無窮的自然數集不斷構造出客觀并不存在的‘超窮數集，荒謬之至；事實是，一切小數無論是‘有理的，無理的，或超越的，實質上都是物理元素間或幾何元素間的關系性的數，放在表達存在性的‘自然數n的數軸上就已是錯誤。康托爾由于不會區別 n和，產生‘悖論也不知道，例如他面對“整體等于其部分”還嘴硬說這正是‘無窮的特性。事實是，康托爾的‘無窮集合論就已產生了很多‘悖論，也遭到很多大數學家激烈反對；但是反對代替不了否定，反對者們也都因不會區別n和而不能解決康托爾的‘無窮集合論；另一方面，‘集合本身是無悖的，在數學中又很有用；于是接受了‘集合也無意中接受了‘無窮集合論的‘悖論。

（2） 再說愛因斯坦的‘相對論：愛氏的‘光電效應理論是世所公認的真理，但鐵證證實，其“相對論”卻是徹底的偽論，其中全是假式子、假運算；具體請看[4]。

（3）最后說哥德爾的‘不完備性定理：自康托爾的‘無窮集合論‘悖論頻出泛瀾后，許多數學家想盡各種方法以圖消除‘悖論，形成學派之爭，以羅素、弗雷格為代表的邏輯派，以布勞威為代表的直覺派，以希爾伯特為代表的形式公理派。三大流派雖然名稱不同，但實質都以邏輯為標準，但終因不會區別 n與（n）而無法找到數學產生‘悖論的根源。最后在1930年哥德爾發表了撼世的‘不完備性定理，不了了之的結束了這場為消除‘悖論歷經半個世紀的爭論。那么哥德爾的‘不完備性定理究竟說了什么？

非常有趣，哥德爾忽視了人腦與電腦的根本差別；人腦具有主動性，會主動尋悖，而電腦是按人輸進的邏輯符號、程序進行處理，不會區分悖論的真假。要深刻理解哥德爾的‘不完備性定理，最好看‘說謊者悖論（哥德爾本人承認受‘說謊者悖論的啟發）；‘說謊者悖論表述為‘我正在說的這句話是謊話，須知這種表述是假悖論，是玩句子殘缺的文字游戲（如表述為‘我正在說的這句話是謊話也是真話才是真悖論），只能蒙混電腦；不管真悖論、假悖論都最終逃避不了人腦的鑒別和解決。

張景中院士以為，既然世界級的巨頭們都無奈悖何，所以就可肆無忌憚說出【悖論不是壞東西……悖論不但有趣，而且有用】。

參考文獻：

[1]張景中主編，王樹禾編著.《數學聊齋》， 第二版書號ISBN7030139585.科學出版社出版.

[2]梁昌洪編著，張景中作序.《話說極限》，書號ISBN 978030237880.科學出版社出版.

[3]陸道淵.《對數學基礎的0和1的新認識》2016年刊于《中國科技縱橫》，網搜即可參閱或下載.

[4]陸道淵著.《鐵證證實"相對論" 是愛氏埋滅、篡改洛侖茲五條原真式子后編成的偽論》2016年刊于《中國科技縱橫》.

作者簡介：陸道淵 ，溫州東方船艇公司退休。