《兩角差的余弦》教學(xué)設(shè)計

張娜

本節(jié)課是高中數(shù)學(xué)人教A版第三章第一節(jié)第一課時的內(nèi)容，是三角函數(shù)線、誘導(dǎo)公式等知識的延伸，是我們后續(xù)學(xué)習(xí)兩角和差公式、二倍角公式等一列公式推導(dǎo)的核心和基礎(chǔ).對三角變換、三角恒等式的證明和三角函數(shù)式的化簡、求值等問題的解決有著重要的支撐作用.

【學(xué)情分析】

學(xué)生已經(jīng)掌握了利用單位圓上點的坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù)，也學(xué)習(xí)了同角三角函數(shù)式的變換，理解了平面向量及其運算的意義，并能用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，具有一定的推理能力、運算能力和解決實際問題的能力，但利用向量的數(shù)量積公式證明兩角差的余弦公式時，學(xué)生容易犯思維不嚴(yán)謹(jǐn)、不嚴(yán)密的錯誤，教學(xué)時需要引導(dǎo)學(xué)生搞清楚兩角差與相應(yīng)向量夾角的聯(lián)系與區(qū)別.

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識與技能

通過讓學(xué)生探索、猜想發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)“兩角差的余弦公式”，通過公式的簡單應(yīng)用，使學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能，并為建立兩角和差的正余弦公式和正切公式打好基礎(chǔ)；

2. 過程與方法

在探究公式的過程中，逐步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會分析問題、解決問題、合作交流的能力，并體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；

3. .情感態(tài)度

通過課題背景的設(shè)計，增強(qiáng)學(xué)生的探究、應(yīng)用意識，認(rèn)識到數(shù)學(xué)來源于生活又應(yīng)用于生活，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

【重難點】

重點：兩角差的余弦公式的探索和推導(dǎo)過程及簡單應(yīng)用。

難點：兩角差的余弦公式探索過程中的組織和適當(dāng)引導(dǎo)。

【教學(xué)過程】

閱讀課本第124頁.

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

一年之計在于春，同學(xué)們有沒有自己的計劃？相信很多同學(xué)已經(jīng)在心里暗下決心，要在萬物復(fù)蘇，充滿希望的春天里努力學(xué)習(xí)達(dá)到預(yù)期的學(xué)習(xí)目標(biāo)，為之后邁向理想的大學(xué)鋪路！不過，身體要保持健康強(qiáng)壯是前提，生活在泰山腳下，課件播放泰山景點圖片.有沒有經(jīng)常爬個山坡鍛煉一下呢？爬山的時候有沒有時刻體會到數(shù)學(xué)呢？我們?nèi)∫欢紊狡拢绻狡麻L度約為8米，坡度（與地面夾角）約為30度，請問當(dāng)我們爬完山坡后，在水平方向上前進(jìn)了多少米？

設(shè)前進(jìn)量為 米，則 米

提問：當(dāng)山坡坡度為45度時，其他不變， 等于多少？

答： 米

提問：當(dāng)山坡坡度為15度時，此時 又等于多少？

答： 米

問題1： 等于多少？能否用特殊角三角函數(shù)值來表示？

【設(shè)計意圖】從學(xué)生的實際生活出發(fā)，自然地引出問題，基于人的由低到高的認(rèn)知規(guī)律，把新內(nèi)容的起點定得越低，學(xué)生越易入門，所以我將教材中的例子做了修改，從而培養(yǎng)學(xué)生把實際問題抽象為數(shù)學(xué)模型來解決的能力，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)來源于生活，并應(yīng)用于生活，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

（二）自學(xué)探究，提出猜想

問題2：對任意的 ， 是否成立？

1. 思考： 能否用特殊角表示？

預(yù)案1：

問： 是否成立？為什么？

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生經(jīng)歷提出假設(shè) 證明假設(shè)的過程，知道要證明一個假設(shè)不成立，只需舉出反例即可，即明白特殊與一般的辯證關(guān)系.

2. 探究： 能否用特殊角三角函數(shù)來表示？如何表示？

提示：利用單位圓、向量知識，插入微課復(fù)習(xí)舊知.

其實我們之前已經(jīng)接觸過兩角差的余弦，想想在哪里接觸過呢？

【設(shè)計意圖】從新舊知識之間的聯(lián)系入手，通過插入微課復(fù)習(xí)舊知，讓學(xué)生對新知不陌生，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn) 與 的值都有關(guān)系，為最終公式的得出做鋪墊.

（三）合作解疑，證明猜想

【設(shè)計意圖】這個推導(dǎo)過程對于學(xué)生來說，比較繁瑣.所以我制成動畫課件把探索過程逐步展示出來.

問題3：以上結(jié)果是在 都是銳角且 的情況下得到的，對一般情況下的角是否成立？

探究：證明對任意的 都有 .

方案2：利用單位圓、向量知識.

【設(shè)計意圖】作為第一個和差公式，通過趣味性的記憶，加深學(xué)生印象.

（四）精講點撥，鞏固訓(xùn)練

例1：利用差角余弦公式求 的值.

【設(shè)計意圖】通過公式的簡單應(yīng)用，使學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能，并為建立其他和差公式打好基礎(chǔ)；通過變式的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生用多種方法解決問題的能力.

例2：已知 是第三象限角，求 的值.

解：由 可得

【設(shè)計意圖】訓(xùn)練學(xué)生思維的有序性、思維過程表述的準(zhǔn)確性與簡潔性，這些都是三角恒等變換能力所不能忽視的；注意角 、 的象限，也就是符號問題.

變式2：若將例2中的條件 去掉，對結(jié)果和求解過程會有什么影響？

【設(shè)計意圖】將例2作此延伸，體現(xiàn)討論的數(shù)學(xué)思想.

練習(xí)：1、 的值為

2、化簡 =

3、已知 則 的值為

4、已知 是第三象限角，求 的值.

【設(shè)計意圖】1、2題考察公式的逆用，3題考察特殊角與非特殊角在兩角差的余弦公式中的結(jié)合；4題強(qiáng)調(diào)解決三角變換問題的基本要求：思維的有序性和表述的條理性。

（五）課堂小結(jié)，回顧反思

1.這堂課你學(xué)到了什么內(nèi)容？如何學(xué)習(xí)的？

①學(xué)習(xí)了差角余弦公式；

②假設(shè)猜想—反證否定—用向量、三角函數(shù)線探究公式—證明結(jié)論—公式應(yīng)用

2.學(xué)習(xí)與應(yīng)用過程中，你有什么體會？

①證明一個假設(shè)不成立，只需舉出反例即可.

②探究證明公式過程中，可以通過特殊情況去討論證明一般情況.

③公式應(yīng)用中，可以有不同的解題方法.

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生對探究的過程與思路、方法有一個清晰的認(rèn)識，進(jìn)一步達(dá)到“教思維”的目的.

（六）當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

【設(shè)計意圖】考察公式的逆用，特殊角與非特殊角在兩角差的余弦公式中的結(jié)合，強(qiáng)調(diào)解決三角變換問題的基本要求，從而加強(qiáng)鞏固本節(jié)課的知識.

（七）布置作業(yè)

課本第127頁練習(xí)2、3、4題.

【設(shè)計意圖】課下鞏固練習(xí)。