高中數(shù)學(xué)排列組合解題技巧探究

高冀驍

在高中數(shù)學(xué)當(dāng)中，排列組合就是其中需要學(xué)習(xí)并掌握的重要知識點(diǎn)。其中，排列組合問題也對解決數(shù)學(xué)概率計(jì)算中所遇到的難點(diǎn)有著關(guān)鍵性作用。有許多的排列組合在表面上看起來通俗易懂，但是在實(shí)際的應(yīng)用當(dāng)中，排列組合問題運(yùn)用于非常廣闊的實(shí)際當(dāng)中，并具有靈活多變的特點(diǎn)，并且所能涉及到各種各樣的題型，讓我們學(xué)生在進(jìn)行學(xué)習(xí)的時(shí)候難以掌握其中的規(guī)律。隨著排列組合問題在近些年的高考當(dāng)中被考中的概率越來越高，所占的分?jǐn)?shù)值比重也是逐年上漲，因此為了能夠讓我們知道如何運(yùn)用方法進(jìn)行正確的解題思路，提升在學(xué)習(xí)當(dāng)中的解題能力，本文就專門針對排列組合問題的答題技巧進(jìn)行了分析。

1 通曉透徹辨析排列組合的意義

要想將排列組合的考試題在最短的時(shí)間內(nèi)用最簡單的方法做出正確答案，就要求我們能夠就其中排列組合的不同做出正確的區(qū)分，必須要知道使用哪種解題思路才能得出正確答案。

要知道，所謂的排列，具體指的是從一定的元素當(dāng)中拿出其中特定的元素?cái)?shù)目來進(jìn)行相關(guān)排序并且組合卻是一定元素中所拿出的特定的元素?cái)?shù)目，這是不需要對其順序進(jìn)行考慮的。排列組合當(dāng)中的關(guān)鍵點(diǎn)就是根據(jù)題目所列出的要求，按照要求進(jìn)行排列組合即可，最終得到可能會出現(xiàn)情況的數(shù)目。排列是有順序的，但是組合是沒有順序的。所以當(dāng)我們在進(jìn)行解題的時(shí)候，要先分清楚題目到底是哪一種情況，這也是解題當(dāng)中的關(guān)鍵前提，如果連這點(diǎn)都弄不明白的話，那么這個(gè)題目的正確答案就將無法被尋找出來。

2 排列組合當(dāng)中的解題類型以及具體解題方法

2.1捆綁型-捆綁法

如果在土木當(dāng)中會出現(xiàn)要求把幾種元素按照相關(guān)要求將它們放在一起的時(shí)候，；那么這就屬于捆綁型的題目類型。這個(gè)時(shí)候就能夠直接采捆綁法對題目進(jìn)行解析。具體的做法是把要求一直都在一起的幾個(gè)重新組合成一個(gè)新元素，并將在將這個(gè)新元素和其他的元素一同根據(jù)題目的具體要求進(jìn)行排列組合。在一些時(shí)候，也要注意針對這個(gè)新元素的內(nèi)部進(jìn)行排列組合，出現(xiàn)這種情況，就要根據(jù)題目的具體要求進(jìn)行具體分析具體論證。例如，某個(gè)班級當(dāng)中的4名男生和2名女生組成一個(gè)排，女生就必須被要求排列在一起，在這樣的情況下那么會有多少種排法，這也是針對一個(gè)隊(duì)伍排列導(dǎo)向的問題，排隊(duì)的時(shí)候也是要對前后次序進(jìn)行考慮的。又是因?yàn)槠渲械年P(guān)鍵條件是女生必須要被排在一起，所以可以將女生當(dāng)作例外，意思就是說，將兩個(gè)女生看作是同一種元素，然會在和5個(gè)男生進(jìn)行排列，所以經(jīng)過計(jì)算也就產(chǎn)生了A66種排列方法。而且女生內(nèi)部有A22種排列方法，所以總共就會產(chǎn)生A66A22=1440種各不相同的方法。

2.2不相鄰型-插空法

所謂插空法，具體指的是針對那些題目要求，其中最少有兩個(gè)元素是不能相鄰的問題的解析方法。在對這種不相鄰問題進(jìn)行解析的時(shí)候，我們首先需要做的就是將沒有任何條件限制的元素進(jìn)行排列，然后再將題目限制條件的元素拿著順序穿插到那些沒有條件限制的元素當(dāng)中。在此就舉一個(gè)簡單的例子，例如一個(gè)公司要進(jìn)行合影紀(jì)念拍照，要求一排總共是站成12個(gè)人，其中8人是公司普通員工，4人是公司部門經(jīng)理、現(xiàn)在就要求經(jīng)理必須要站在職員中間，并且經(jīng)理和經(jīng)理還不能挨著站，要求計(jì)算出總共能夠有多少種的站隊(duì)方法。這個(gè)例子就是典型的不相鄰問題的具體論證。要對這個(gè)難題加以解決，這個(gè)時(shí)候就可以采用插空法來進(jìn)行對應(yīng)解題。首先來說，通過分析可以得出，在這個(gè)問題上，并沒有針對職員的站法有任何的限制，所以就可以先對這8名員工進(jìn)行排列，通過得到A88種站隊(duì)的方法，然后再將請外被條件與所限制的經(jīng)理安插在員工里面。要注意，此刻的員工之間共同有7個(gè)位置可以讓4個(gè)經(jīng)理任意的穿插站列進(jìn)去，那么就有A47種站法，所以在這些總共加起來就有A88A47種的站法。

2.3插班法

一些排列組合的問題相對來說比較抽象，我們在對這些問題進(jìn)行具體解決的時(shí)候需要耗費(fèi)大量的時(shí)間進(jìn)行摸索。此刻我們就可以將思路進(jìn)行轉(zhuǎn)變，換一種角度其考慮問題的解決途徑，可以化繁為簡，將復(fù)雜的問題簡單化。

舉例說明，某年級的高三總共有8個(gè)班級組成，學(xué)校要進(jìn)行一個(gè)10人研討會，要求每個(gè)班級最少都得派出一名學(xué)生進(jìn)行參加，如果照這樣進(jìn)行計(jì)算，會有多少種分配方法。要是對這道題目進(jìn)行直接考慮，就會讓人有種瞬間摸不著頭腦的感覺。但是這個(gè)時(shí)候，如果能夠把這個(gè)問題的思維方式來回的進(jìn)行一下轉(zhuǎn)變，就會讓人瞬間尋找到最好的解決途徑，豁然開朗。在對這個(gè)問題進(jìn)行考慮的時(shí)候，首先可以將10個(gè)球分成8份，要求得出有多少種分法，如此一來就會將問題變得簡單得多。可以將這10個(gè)黑球按照順序排成一整排，在9個(gè)空蛋黃里面穿插進(jìn)7個(gè)模板，那么最終下來就會得出C79種的解題方法。

2.4正難測反法

在面對一些排列組合問題的時(shí)候，可以先順著題目所描述的思路進(jìn)行分析往往會產(chǎn)生比較困難的情況，但是如果從反面的情況進(jìn)行分析的時(shí)候就會發(fā)現(xiàn)題目反而會變得很簡單一些。那么我們在做這一類題型的時(shí)候就，就可以先在它的反面進(jìn)行考慮，先找到在解題過程中不需要對限制條件進(jìn)行考慮的方法數(shù)，再將其中那些不符合相關(guān)條件的方法數(shù)從中減去，得到了的就是最準(zhǔn)確的正確答案。舉例說明，將3.4.5.6這四個(gè)數(shù)字組合成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字并且其中2.3是不相鄰的四位數(shù)，要求出對于這個(gè)四位數(shù)的排列到底有多少種方法。在這里我們就先不對其他限制性條件進(jìn)行考慮就可以得到2.3.4.5這四個(gè)數(shù)字能夠組成其中沒有重復(fù)數(shù)字的方法經(jīng)過精準(zhǔn)計(jì)算總共是有24種。在這24種四位數(shù)當(dāng)中，2.3的位置順序只有兩種情況，即相鄰和不相鄰。因此但凡是所有2.3相鄰的情況都是和相關(guān)要求不符合的。并且我們還可以得出這樣的四位數(shù)總共是有12個(gè)，那么這總共24種方法里，減去上述的這些，剩下的就是完全符合條件的四位數(shù)。也可以這么說，總共有24-12=12種滿足要求的四位數(shù)。

2.5定序問題

在對排列組合問題進(jìn)行解答的時(shí)候，通常還會出現(xiàn)一些條件，要求某個(gè)事物要排列在另外一個(gè)或者是多個(gè)事物的前面，并通過對其中一部分順序的確定來增加題目的解題難度。要解決這類問題，通常情況下分好幾次進(jìn)行一步一步的解答。例如，將五個(gè)人站在一起排成一排，要求1號站在2號的前面，4號要站在5號的前面，然后讓得出這種排序的方法有多少種。要對這個(gè)題目進(jìn)行解決，第一步要做的就是將其他條件忽視掉并求出五個(gè)人排成一排總共是有A55種的排列方法。在對1號和2號的情況進(jìn)行考慮得出排列方法有2種，4號和5號的排列方法有2種，所以說總共就有30種符合排列的方法。

總之，在我們平常所學(xué)到的排列組合問題的解題方法，它們之間其實(shí)都是有共通性的，并不是一個(gè)問題只能用一種特定的解題方法。針對其中一些比較復(fù)雜難度系數(shù)大的題型，可以采取多種方法相互合作的形式才能解決。排列合租也是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段的一個(gè)重要知識點(diǎn)，因?yàn)轭}型比較復(fù)雜多變，解題的思路也并不是一蹴而就的，這就需要我們作為學(xué)生在對這些問題進(jìn)行解題的時(shí)候，首先要做的就是具體現(xiàn)象具體分析具體解決，只要認(rèn)真總結(jié)學(xué)習(xí)難點(diǎn)，就會發(fā)現(xiàn)其實(shí)這些難題里面也是有著共通點(diǎn)和技巧的。只要我們通過學(xué)習(xí)掌握了其中的解題思路和技巧，那么在做到一些比較復(fù)雜的排列組合問題的時(shí)候，自然也就手到擒來，迎刃而解了。

（作者單位：易縣中學(xué)）