高中數學中不等式證明的常用方法分析

陳愛麗

不等式是高中數學學習中的重點，同時，也是學生學習的難點，教師開展不等式教學面臨著重大的挑戰。很多時候，學生無法掌握基本的解題思路，無法下手，導致學生對不等式學習喪失興趣，甚至對數學這門課程產生恐懼心理。所謂：“授人以魚不如授人以漁”，教師一定要讓學生自己掌握不等式的證明方法，才能達到事半功倍的教學效果。不等式的證明思路非常豐富多樣，方法更加靈活多樣，學生只有掌握靈活的證明方法，掌握多種不等式證明方法，才能靈活運用，發散思維，提高自己的解題能力，提升自己的答題技巧。所以，教師一定要重視不等式證明方法的教學。

1 比較法證明不等式

比較法主要是通過對比，采用對照組和觀察組進行比較，將定量作為對照，對變量進行觀察，兩邊作差，或者作商，判斷其大小。將兩邊相減的結果與“0”作比較，作商時，將其結果與“1”作比較。

例1：求解不等式（X-1）/X≥2的解集。證明方法如下，因為（X-1）/X≥2，當X≥0時，X-1<2X，得-X>-1，進而當X<-1時，無解；當X≤0時，此時X-1=2X，-X=1，X=1，即得到最終證明結果-1

例2：設a>0，b>0，求證b2/a+a2/b≥a+b。求解思路：因為a>0，b>0，表示等式兩邊均>0，采用兩邊相減方法，推算情況如下，及a-b≤0，即a≤b；采用兩邊相除法，a/b≤1，即a≤b（b>0）。通過兩邊相減得到b2/a+a/b=[（a2+b2）-ab（a+b）]/ab=（a-b）2（a+b）/ab≥0；相除得到（b2/a+a2/b）/（a+b）=（a-ab+b2）/ab≥（2ab-ab）/ab=1。

通過上述兩個案例，由案例2得知，對于同一個不等式，在證明時，可以有兩種結果，證明在同一類型的題目中，通過對比，能幫助我們更加清晰的學習不等式，并且能真正認識到不等式證明方法的靈活性，努力去學習和掌握不等式證明的方法，并且發現其中的規律和奧妙。在教學中，教師一定要讓學生學會舉一反三，對于同一類型的題目，換湯不換藥，要善于利用證明方法，去解決實際的數學問題，真正達到學以致用的目標，全面提升學生的數學成績。

2 換元法證明不等式

換元法是在不等式中，定量保持不變，對變量進行替換，讓不等式證明更加方便，降低不等式證明的難度。換元法一般常用的有代數換元法和三角換元法。其中三角換元法及時根據三角形的勾股定理，如：sin2θ+cos2θ=1及a=Rsinφ，b=cosφ等。

例1：已知：a2+b2=1，求證：丨a2+2ab+b2丨≤亅2。不等式證明過程如下：首先設定a=cosa，b=sina，得到丨a2+2ab+b2丨=丨cos2a=2sinacosa+sin2a丨=丨sin2a+cos2a丨=亅2丨sin（2a+π/4）丨≤亅2。或者將a2+b2=r2，這個進行替換，可以得到a=rcosa，b=rsina。在這個不等式證明過程中，使用換元法之后，首先整個不等式變得簡單，學生在看到不等式之后，證明的目標和思路更加清晰，并且融合了三角形勾股定理方面知識，將數學知識進行融合貫通，真正讓學生能掌握不等式證明方法，在遇到較為難以拆分和辨識的不等式時，學生能第一時間正確使用換元法，將復雜的不等式簡單化，一眼看清題目，并且通過還原，最終能找到清晰的證明思路。換元法證明不等式具有簡單，便于分析等特點和優勢，學生掌握了換元法之后，在解決不等式問題上，速率更加精準，思路更加清晰。數學不等式的證明是高考考核的重點內容，除了上述介紹的兩種常見的證明方法之外，教師還應該讓學生掌握更加豐富的方法，如，均值不等式證明方法、構造函數法等，這些都是不等式解題中常用的方法，每一種的使用，都應該根據具體題目類型，詳細判斷、正確選擇證明方法。

3 結束語

綜上，不等式一直是高考考核的一個重要內容和方面，在全國高考總每年都可以見到不等式證明題目。在高中數學學習中，不等式是一個重要的教學內容，是學生必須掌握的一種數學解題技能。教師也應該重視不等式教學，攻克教學中的重點和難點，消除學生心中對不等式的恐懼，讓學生能輕松自如的學習不等式。在現代信息技術的輔助和支持下，教師一定要善于利用現代信息化的教學手段，將不同的不等式證明方法，與現代教學手段進行融合，更加直觀的展示給學生，降低學生學習的難度，提升學習的積極性，從而達到理想的教學效果。

（作者單位：湖北新產業技師學院）