用同階無窮小判定正項級數的斂散性

陳彥恒 賈松芳

在高等數學課程級數內容的學習過程中，判斷正項級數斂散性是學習的主要內容，正項級數的斂散性定理很多，比如，柯西收斂準則、比較審斂法、比較審斂法的極限形式、達朗貝爾判別法等。應用比較審斂法的極限形式時，遇到最大的困難是要找到一個可以與所求級數進行比較的級數。由級數收斂的必要條件我們知道，只要級數的一般項在 時的極限不是0，即一般項不是 的無窮小，級數必發散，因此我們所需處理是級數的一般項是 的無窮小的情形。對于此情形的正項級數，該文利用同階無窮小給出了一種簡單有效的求比較級數的方法，為利用比較審斂法的極限形式判定正項級數的斂散性提供了方便，同時也為快捷的判定一般級數收斂性提供了強有力的支持。該文所使用數學符號與文獻保持一致。

下面首先給出利用同階無窮小判定正項級數的斂散性的定理.

定理 設正項級數 與 。若 是 的同階無窮小，則 與 具有相同的斂散性。

證明 由題意， ，且可設 ，所以由比較審斂法的極限形式知，正項級數 與 具有相同的斂散性。

注：在文獻中定理條件是 是 的等價無窮小，因此本文定理可以看作文獻中定理的推廣。

從上述定理我們知道，在學習正項級數斂散性的過程中，合理地應用同階無窮小量，將會為利用比較審斂法的極限形式判定正項級數的斂散性提供了方便.下面我們將通過具體例題來體現這一便利，這些例題都是節選自文獻。

例1 判斷下列正項級數的斂散性。

（1） ， （2）

解 （1） 令 ， 。 因為 ， 且 ，所以由定理知， 和 具有相同斂散性，因此 收斂。

通過例1中的（1）題可以看出，若一般項是關于 的有理分式函數

則在 時， 是同階無窮小，從而由p-級數的結論和定理知，當 時， 收斂，當 時， 發散。

（2）令 。當 ， ，

取 ，從而由p-級數和定理知，當 時， 收斂，當 時， 發散。

例2 判斷下列正項級數的斂散性。

（1） ， （2）

解 （1） 令 。因當 時， ，所以可取 ，而由等比級數的結論知， 收斂，從而由定理知， 收斂。

（2） 令 ， 。由于 時， ，從而據定理，當 時， 與 具有相同的斂散性，所以 發散。

從例1、例2可以看出，如果正項級數的一般項含有對數函數、三角函數、指數函數在 下的同階無窮小，利用本文定理很容易就可以找到與原級數相比較的級數，從而判別出原級數的斂散性.若利用一般的思路求解，過程將會非常繁瑣。 但有些正項級數的一般項的同價無窮小并不那么清楚明顯，需要恒等變形為我們熟知的同階無窮小，請看下例：

例3 判斷正項級數 的斂散性。

解 令 。因當 時， ，而 收斂，從而由定理知， 收斂。

對于一般級數，往往也需要我們將其轉化為正項級數，利用正項級數的斂散性判定定理判別其收斂性。因此本文定理對一般級數的收斂性的判定也提供了強有力的支持。

例4 判斷級數 的斂散性。

解 由于 與 是在 下的同階無窮小，但 是收斂的，所以 絕對收斂，從而 收斂。

基金項目：該文由重慶市教委科研資助項目（KJ1710254），重慶三峽學院重點項目（14ZD16），重慶三峽學院數學與統計學院教改項目資助。

（作者單位：重慶三峽學院數學與統計學院）