“方程的根與函數的零點”教學設計

王冬晴

1 教材分析

本節課選自普通高中課程標準實驗教科書人教版必修一第三章第一節——第一課時方程的根與函數的零點.函數與其他知識具有廣泛的聯系，而函數的零點就是其中的一個鏈接點，它從不同的角度，將數與形，函數與方程聯系在一起，本節課教學重點為零點的概念，函數零點與方程的根之間的聯系；教學難點為對零點存在性定理的理解與應用.學習本節課為下節“用二分法求方程的近似解”和后續的學習奠定基礎.

2 教學設計思路

本節課的設計思路是：1）從HPM的視角引入新課，引導學生在函數與方程之間建立聯系，培養學生數學邏輯推理能力；2）從特殊到一般，引導學生自己得出函數零點概念、方程的根和函數圖像之間的關系，培養學生數學抽象能力和直觀想象能力；3）學生歸納出零點存在性定理后，教師引導學生應用零點存在性定理解決問題，使學生學以致用、鞏固新知，為下節“二分法”這一數學運算奠定基礎。

2.1 問題導入

問題1 求下列方程的根

（1） ；（2） ；（3） .

分析 學生很容易求出第1個小題，但后面兩個小題不會.老師通過引用1824年挪威天才數學家阿貝爾成功的證明了五次及以上的方程沒有根式解這一數學史，將此過程巧妙過渡到本節課課題.并說明，現如今高次方程求解方法有很多，今天我們探討其中一個方法，從函數圖像角度來研究方程的根。

設計意圖 從HPM的視角來設計教學，激發學生學習興趣，同時，在教學過程中潛移默化的豐富學生數學文化知識，引出本節課研究內容。

2.2 建構概念

問題2 寫出函數 的圖像與 軸交點的坐標。

分析 該函數圖像不要求學生畫出，應用學生已有的知識結構想象出函數圖像的具體形式，學生說出函數圖像與 軸交點的坐標，當縱坐標為0時，橫坐標是一個實數，將這一實數賦予一個新名字，即函數的零點，由此引出零點的概念.接下來，通過引導學生判斷諸如函數 ； 等是否存在零點，來鞏固零點的概念。

設計意圖 通過數形結合引導學生主動探究方程的根與函數圖像間的關系，從數與形的角度來說，方程的根在對應的函數中所具有的多重意義.在這一環節中，不要求學生畫出該函數圖像，以培養學生的直觀想象素養.

問題3 一般方程的根和其對應的函數零點之間有怎樣的關系？

分析 在這一環節中，引導學生從特殊到一般，歸納方程的根、函數的零點和函數圖像間關系，由此得出等價關系。

設計意圖 函數的零點是新概念，這一問題的提出，避免學生與方程的根以及幾何概念中的點混淆.雖然它們有各自不同的特性，但反映的卻是共同的本質。明晰三者之間相互轉化關系，在這一環節中培養學生的抽象概括能力。

2.3 探究定理

問題4 滿足什么條件，函數存在零點呢？

先解決這樣一個問題，已知函數 在區間[-2，1]、[2，4]內有零點，計算 、 ，觀察乘積有什么特點。

分析 引導學生畫出并觀察函數圖像，計算問題4中的乘積，并予以說明，分析乘積特點得出函數 在區間（-2，1）、（2，4）內有零點。

設計意圖 通過老師的引導以及學生的運算，培養學生數學運算能力，抽象推理能力，由此概括地歸納出函數存在零點的條件，得出零點存在性定理。

2.4 剖析定理

定理是本節課的重點內容，需要注意的是該定理是充分不必要的，為了讓學生在課堂上準確理解定理內容，進行下面的剖析：定理中有兩個條件，若只給出其中一個，能否得出在對應的區間內有零點；若將定理反過來描述，得到的結論是否成立。

設計意圖 三個問題有助于學生理解零點存在性定理的本質，明確定理中充分不必要的條件，有助于培養學生的逆向思維能力，直觀想象能力和數學抽象能力。

2.5 應用定理

（1）判斷方程 根的個數。

（2）若該方程的一個跟在區間 內，求出正整數 。

設計意圖 此例題解決了問題導入中遺留的問題，這一例題的解決進一步促進學生體會函數思想與方程思想的轉化，有助于培養學生的數學運算能力，同時為下節課“二分法”做了鋪墊。

2.6 總結與作業

（1）課堂總結：教師引導學生自己回顧與總結，在知識內容與思想方法兩個方面的收獲，讓不同的學生表達不同的看法，教師根據學生的回答及時的總結與提升。

（2）課后作業：判斷方程 有幾個根？每個根所在的區間 內，求 的值。

設計意圖：完整的總結可以豐富學生的認知結構，完善學生的認知系統.作業題讓學生應用零點存在性定理解決方程根的問題，進而培養學生較強的邏輯推理能力。

3 教學反思

本節課的設計有三個指導思想，分別是：方程與函數的轉化思想；作為下一節課的起始課；處理好數學抽象與直觀想象的關系.正如史寧中教授所指出的“數學在本質上研究的是抽象的東西，數學的發展所依賴的最重要的基本思想也就是抽象”。只有抽象的東西獲得具體事例的支持，實現從思維的抽象發展到思維的具體，在思維中再現整體性和具體性，才能深入認識新概念新思想。

（作者單位：洛陽師范學院）