關于凸函數在不等式中應用的探討

彭磊 孟虹宇

函數的凸性把握函數在區間上的整體性態，不僅可以更加科學地、準確地描述函數的圖像，而且有助于對函數的分析。凸函數是一種重要的幾何性質，在泛函分析、數學規劃及數理經濟學等應用數學領域都有很多的應用。通過對凸函數的定義、性質的描述，主要研究其在不等式證明中的應用，討論幾個重要的不等式。

1 凸函數的定義

定義：設 在區間I上有定義，若 ，有

， ，稱 為區間I上的凸函數。

若（B）式“ ”改為“<”時，則稱 為I上的嚴格凸函數。

2 凸函數的性質

性質1：若 在區間I上為凸函數，對 則： 時， ； 時， 。

性質2：若 ， 在區間I上為凸函數，對 則： 為區間I上的凸函數； 為區間I上的凹函數。

3 應用凸函數的定義證明不等式

例如：

證： 設 則 為凸函數。

取

由定義有

即得：

4 Jensen不等式的應用

（Jensen不等式）若 為[ ]上的凸函數，則對任意的 有

例如：證明不等式 其中 均為正數。

證： 設 則有

可見， 為嚴格凸函數。

根據Jensen不等式有 ，

則

又因 ，所以

5 Young不等式的應用

（Young不等式）設 ， 則有：

例如：求證：

證明： 令

所以有

當

從而有

6 H?lder不等式的應用 （H?lder不等式）

（積分形式）： ， ， 在 上可積，有

例如： 設 和 為 上的正值連續函數，則

證：令

由Schwartz不等式，得

則 為凹函數，所以 以 的定義帶入此式，即得證。

7 凸函數的總結

通過對凸函數的定義和性質理解，來利用函數的凸性來證明不等式，是一種常用和非常有效的方法。通過對凸函數對應不等式的證明，我們認識到，利用凸性來證明凸函數，關鍵是找到合適的凸函數，而且同一不等式，可通過不同的凸函數來可以使難度較大且證明過程復雜的問題轉化成證明比較容易，在豐富證明不等式方法，簡化不等式證明過程中發揮了一定的作用。

（作者單位：內江職業技術學院）