磁懸浮控制敏感陀螺轉子前饋解耦內模控制

夏長峰， 蔡遠文， 任元，*， 武登云， 王英廣

(1. 裝備學院 研究生院， 北京 101416； 2. 裝備學院 航天裝備系， 北京 101416； 3. 北京控制工程研究所， 北京 100190)

隨著中國航天事業的飛速發展，對航天器姿態控制能力的要求越來越高[1]。基于磁阻力磁軸承支承的磁懸浮控制力矩陀螺(Magnetically Suspended Control Momentum Gyroscope, MSCMG)具有輸出力矩大[2]、響應速度快[3]、精度高、壽命長[4]等優點，是飛船、衛星和空間站進行姿態快速機動的關鍵執行機構[5]。任元等[6]提出一種磁懸浮控制敏感陀螺(Magnetically Suspended Control & Sensing Gyroscope, MSCSG)方案，該方案以洛倫茲力磁軸承(Lorentz Force Magnetic Bearing，LFMB)為力矩器，除具備MSCMG對外輸出力矩的功能外，還能對載體航天器進行姿態敏感，實現MSCMG與敏感陀螺儀一體化，有助于減小航天器姿控系統的體積、質量和成本。

高速旋轉的MSCSG轉子受陀螺效應的影響，因此，LFMB驅動高速轉子徑向偏轉過程中，徑向二轉動自由度間存在耦合；此外，MSCSG轉子偏轉響應速度快、抗擾性強的要求難以同時滿足。德國的Teldix公司研制了基于洛倫茲力懸浮的全主動磁懸浮飛輪，能夠輸出3 N·m的控制力矩[7]；北京航空航天大學的王春娥和湯繼強提出了永磁偏置與LFMB相結合的磁懸浮飛輪，實現了轉子的五自由度懸浮[8]；在此基礎上，向彪等提出采用LFMB實現了飛輪轉子最大偏角為1.7°的偏轉控制[9-10]。但鮮見對LFMB驅動的轉子進行解耦以及高精度快響應偏轉控制的研究報道。

為消除轉子徑向耦合，現有的針對MSCMG的轉子解耦算法包括交叉比例-積分-微分(Proportional-Integral-Differential，PID)控制算法[11]、線性二次型調節器(Linear Quadratic Regulator,LQR)控制方法[12]、Cholesky分解降秩方法[13]、最小二乘支持向量積解耦方法[14]、微幾何方法[15]等。交叉PID方法在分散PID控制的基礎上引入交叉項以補償偏轉通道間耦合，結構簡單，但目前缺乏有效的交叉參數設計方法，只能通過根軌跡仿真試湊；LQR控制方法、Cholesky分解降秩方法、最小二乘支持向量積解耦方法結構復雜且運算量大，不易于工程實現；微幾何方法可以用于抑制高速轉子徑向兩轉動通道間的耦合，但該方法抽象、復雜，需將模型變換到幾何域中討論，且算法模型受映射形式約束。

為實現轉子偏轉的高精度快響應控制，現有的MSCMG轉子偏轉控制算法包括交叉PID控制[11,16]、滑模變結構控制[17]、基于狀態觀測器的補償控制[18-19]等。交叉PID算法原理簡單便于實現，但是機動性差，對指令信號的跟蹤存在相位滯后；滑模變結構控制具有響應迅速、對參數變化不敏感的優點，但在變結構切換過程中容易引起系統的抖振；基于狀態觀測器補償算法可以抑制外界擾動，但是觀測器存在一定滯后，會影響動態響應速度。因此，這些控制算法無法同時實現對轉子偏轉的快速響應和擾動抑制。

前饋解耦方法是近年來針對單元機組信號間存在耦合問題提出的一種串聯解耦方法，具有物理概念清晰、數學模型簡單、便于理解等優點[20]；二自由度內模控制器(2-DOF IMC)是一種具備獨立調節跟蹤性和抗擾性的控制器[21-22]，結構簡單，容易實現。因此，本文提出針對MSCSG轉子偏轉的前饋解耦內模控制器，通過前饋解耦矩陣消除MSCSG轉子徑向偏轉二自由度間耦合，采用二自由度內模控制器對解耦的轉子偏轉系統進行快速響應、抗擾控制。

1 MSCSG轉子偏轉動力學模型

MSCSG結構如圖1所示，主要由上陀螺房、中陀螺房、下陀螺房、電機組件、轉子組件、力矩器、軸向磁軸承、徑向磁軸承、位移傳感器構成。圖1中，以MSCSG轉子質心O為原點建立轉子坐標系O-XYZ，其中，Z軸指向轉子軸向，轉子沿該軸高速轉動[23]。MSCSG轉子平動通過純電磁結構的徑向磁軸承和軸向磁軸承實現，磁軸承極面位于2個不同半徑的球形包絡面上，如圖1中虛線所示。由于球面磁極產生的電磁力始終經過磁極球心，當磁極球心與轉子質心重合時，無論轉子在磁間隙內處于什么位置，都不會產生扭轉力矩，從而實現了平動自由度對徑向轉動自由度的解耦。因此，轉子徑向偏轉只受力矩器控制。

MSCSG采用LFMB為力矩器驅動轉子偏轉，LFMB產生的電磁力依據安培力定律，即磁感應強度為B的磁場中沿與磁場垂直方向放置長度為L的線圈，當流經線圈中電流為I時，線圈將受到安培力作用，其表達式為

f=BIL

(1)

基于LFMB驅動的轉子偏轉系統結構如圖2所示。圖2中，轉子外緣一周狹槽內壁中放置著上、下2層磁鋼，2層磁鋼中內外磁鋼間充磁方向相反，磁鋼間磁場分布均勻，從而形成了沿徑向的閉合回路。4組匝數相同的定子線圈位于內、外磁鋼間的狹縫中，沿LFMB周向均勻分布，成對使用，其中，沿x軸正、負方向上的2組線圈構成一對，沿y軸正、負方向上的2組線圈構成一對。以LFMB幾何中心O′為原點定義定子坐標系O′-xyz，其中x軸與y軸分別與相對方向兩組線圈中心線重合，z軸方向根據右手定則確定。圖中：α、β分別為轉子繞x、y軸徑向偏轉角度；lm為LFMB定子半徑；lr為位移傳感器到z軸的距離；Ω為轉子軸向角速度。

圖1 MSCSG結構示意圖

圖2 轉子偏轉系統結構示意圖

當與磁場垂直方向放置的線圈通入電流時，線圈的上下兩部分將分別產生垂直于線圈及磁場方向的安培力，合力大小為

F=2nBIL

(2)

式中：n為線圈匝數。當相對方向線圈通入大小相等、方向相反的電流時，線圈將產生大小相等、方向相反的安培力，形成力偶驅動轉子徑向偏轉。根據式(2)中電流與安培力間線性關系，并依據力矩器結構可知，沿x、y方向的控制力矩px、py表達式為

(3)

其中：iα、iβ分別為線圈中驅動轉子繞x、y軸偏轉的激勵電流。

對于高速旋轉的MSCSG的轉子，其陀螺技術方程為[24]

(4)

式中：Jx和Jy分別為轉子相對于x軸及y軸的轉動慣量，大小與轉子赤道轉動慣量Jr相等；Jz為轉子相對于z軸的轉動慣量；α、β的數值可通過實時采集y、x軸正、負方向上位移傳感器的測量值hy+、hy-、hx+、hx-獲得，即

(5)

根據式(3)、式(4)，并考慮到控制系統存在時延τ，MSCSG轉子偏轉動力學方程組可以表示為

(6)

對式(6)進行拉普拉斯變換得到

(7)

式中：s為算子。

因此，轉子徑向偏轉的狀態方程為

(8)

從而確定被控對象傳遞函數為

(9)

2 基于前饋解耦的內模控制器設計

2.1 前饋解耦網絡設計

由式(9)可知，陀螺轉子徑向兩偏轉通道間存在耦合。為實現轉子徑向兩偏轉角獨立控制，需通過矯正網絡使其解耦，從而令該系統轉化為2個單輸入、單輸出的系統。

前饋解耦的本質在于將解耦補償器串聯在待解耦對象前端，用于抵消多變量被控對象各通道間的相互關聯，從而保證各回路控制系統獨立工作。對于式(9)所描述的雙輸入雙輸出系統，其前饋解耦方法的核心思想如圖 3所示。圖中，C(s)為控制器，D(s)為解耦器，G(s)為被控對象，解耦器D(s)將被控對象G(s)解耦為2個獨立的單通道回路。解耦器與被控對象構成廣義被控對象N(s)，即N(s)=D(s)G(s)。前饋解耦的最終目的是通過設計合適的解耦器D(s)，使廣義被控對象N(s)的表達式為對角矩陣。

圖3 前饋解耦系統結構

由圖3可知，X1(s)通過G21(s)對Y2(s)施加作用時，也通過D21(s)和G22(s)進行了補償；同理，X2(s)通過G12(s)對Y1(s)施加作用時，也通過D12(s)和G11(s)進行了補償，因此，解耦矩陣具有前饋補償的性質。為簡化解耦矩陣D(s)結構，本文令D11(s)=D22(s)=1。此時，廣義被控對象N(s)表達式為

N(s)=D(s)G(s)=

(10)

當N(s)中主對角線元素外的項都為0時，可實現解耦控制。此時可求解出：

(11)

根據式(9)、式(11)，確定轉子偏轉系統前饋解耦矩陣表達式為

(12)

因此，化簡為對角矩陣的廣義被控對象傳遞函數為

(13)

2.2 二自由度內模控制器

由于控制系統時延τ的不確定性、模型誤差的客觀存在性以及外界擾動因素的影響，導致建立的模型與實際被控對象存在差異。采用PID控制算法、滑模控制算法難以兼顧系統的響應速度及抗擾性。因此，本文將能夠同時調節系統響應速度和抗擾性的二自由度內模控制器應用于轉子偏轉控制。

二自由度內模控制器結構如圖4所示[21]。

圖4 二自由度內模控制器結構

圖4中，Gα(s)為實際被控對象，Pα(s)為被控對象的內部模型，Q1(s)和Q2(s)構成二自由度內模控制器，R(s)為給定輸入，d(s)為外界干擾，Y(s)為系統輸出。根據圖4可知，系統輸出Y(s)表達式為

Y(s)=

(14)

模型精確條件下，式(14)可表述為

Y(s)=Gα(s)Q1(s)R(s)+

(1-Q2(s)Pα(s))d(s)

(15)

由式(15)可知，系統輸出Y(s)由Gα(s)·Q1(s)R(s)和(1-Q2(s)Pα(s))d(s)兩部分構成，分別對應著系統的參考輸入項以及干擾項，因此系統對參考輸入項的響應特性取決于Q1(s)，系統對干擾項的抑制性能取決于Q2(s)。為了提高控制器響應速度及抗擾性能，Q1(s)、Q2(s)中分別引入低通濾波器F1(s)、F2(s)，使Q1(s)、Q2(s)滿足：

(16)

式中：

(17)

其中：濾波器參數λ1、λ2均為正數。因此，可將圖4等效簡化為圖5形式。

進而確定等效二自由度內模控制器的Cf(s)、Cd(s)表達式為

圖5 簡化的二自由度內模控制器結構

(18)

以轉子繞x軸徑向偏轉的α通道為例，根據式(13)，經前饋解耦，該通道的被控對象傳遞函數為

(19)

Gα(s)中包含不確定項τ，因此其內部模型Pα(s)的偽線性函數表達式為

(20)

將式(17)、式(20)代入式(18)，可確定徑向偏轉α通道二自由度內模控制器的Cf(s)、Cd(s)表達式為

(21)

采用同樣的方法可以設計出徑向偏轉β通道的二自由度內模控制器。

2.3 控制器性能分析

定義靈敏度函數為系統誤差E(s)與給定輸入值R(s)間傳遞函數：

(22)

定義補靈敏度函數為系統輸出Y(s)與給定輸入R(s)間傳遞函數：

(23)

靈敏度函數S(s)是閉環系統對動態性能的度量函數，其增益值越小，系統的跟隨性越好；補靈敏度函數T(s)是閉環系統魯棒性的度量函數，其增益值越小，系統對擾動的抑制能力越強[24]。

將二自由度內模控制器和PID控制器的靈敏度函數和補靈敏度函數Bode圖進行對比，主要參數如表 1所示，其中，和PID控制器相關參數依照文獻[25]設定。除前文介紹過參數外，表1中，Kp、Ki、Kd分別為PID控制器的比例、積分、微分系數，ωL、ωH分別為交叉環節低通、高通濾波器截止頻率，kL、kH分別為交叉環節低通、高通系數，kr為總交叉系數。基于表1中控制器參數，二自由度內模控制器與PID控制器的靈敏度函數及補靈敏度函數Bode圖如圖6所示。

由圖6(a)可知，二自由度內模控制器在0.01～1 Hz頻段范圍內靈敏度函數幅值約為-16 dB，在1～ 1 000 Hz范圍內，靈敏度函數幅值隨頻率升高而減小，且遠小于0 dB；PID控制器在0.01～0.8Hz范圍內，靈敏度函數幅值隨頻率升高而增加，峰值約為3 dB，隨后衰減，在2 Hz左右穩定在0 dB；對比2種控制器靈敏度函數Bode圖可知，二自由度內模控制系統在0.3 Hz以上的頻段范圍內靈敏度增益小于PID控制器，說明設計的二自由度內模控制器與PID控制器相比具有更好的跟蹤能力。

表1 轉子偏轉系統參數

圖6 靈敏度函數與補靈敏度函數Bode圖

由圖6(b)可知，二自由度內模控制器在0.1～1 Hz頻段范圍內補靈敏度函數增益幅值保持在0 dB，從1 Hz起幅值隨頻率升高呈衰減趨勢；PID控制器在0.1～0.8 Hz頻段范圍內補靈敏度函數增益幅值保持在0 dB，在0～2.5 Hz頻段范圍增益幅值隨頻率升高呈小幅度增加趨勢，在2.5 Hz達到峰值4.5 dB，在大于2.5 Hz頻段范圍內增益幅值呈衰減趨勢。

對比2種控制器補靈敏度函數Bode圖可知，二者在0～7 Hz頻段范圍內補靈敏度函數增益幅值大致相等，在7 Hz以上的頻段范圍內二自由度內模控制系統補靈敏度函數增益小于PID控制系統，且隨頻率增加，二自由度內模控制器增益幅值衰減速度大于PID控制器，由此可以判斷，二自由度內模控制器抗擾性強于PID控制器。

3 仿真分析

為驗證本文算法的有效性和優越性，將所提出的前饋解耦內模控制算法和交叉PID算法在MATLAB環境下進行對比仿真，主要參數如表1所示。

3.1 解耦仿真分析

圖7為t=0.5 s時，令轉子繞x軸偏轉階躍1°；t=2.5 s時，令轉子繞y軸偏轉階躍-1°，分別采用交叉PID控制和前饋解耦內模控制的條件下，轉子徑向兩偏轉通道間耦合關系仿真曲線。

圖7 解耦效果仿真對比

由圖7可知，采用交叉PID控制算法條件下，0.5 s時刻轉子繞x軸偏轉1°引起轉子產生繞y軸偏轉約0.2°抖動，2.5 s時刻轉子繞y軸偏轉-1°導致轉子同時產生繞x軸偏轉約0.2°抖動；采用前饋解耦內模控制算法時，0.5 s時刻x軸偏轉對y軸轉動狀態無影響，2.5 s時刻轉子繞y軸偏轉對x軸轉動狀態也無影響；對比可知，與交叉PID控制算法相比，前饋解耦內模控制算法可實現轉子徑向兩偏轉自由度完全解耦。

3.2 響應速度仿真分析

轉子繞x軸偏轉的指令信號如圖8中實線所示，1 s時，令轉子正向偏轉階躍0.5°，3 s時令轉子偏轉角恢復為0°；5 s時令轉子反方向偏轉0.5°，7 s時刻再令轉子偏轉角恢復為0°。分別采用交叉PID控制和前饋解耦內模控制算法條件下，轉子偏轉響應曲線如圖8所示。根據圖8可知，采用交叉PID控制算法在對指令階躍信號進行跟蹤過程中，超調量約為24%，響應時間約為0.7 s；采用前饋解耦內模控制算法的控制系統無超調，響應時間約為0.3 s，較交叉PID控制算法減少57.1%。仿真結果表明，與交叉PID控制算法相比，前饋解耦內模控制算法具有更快的響應速度。

圖8 偏轉響應曲線對比

3.3 抗擾性仿真分析

1 s時刻對處于平衡位置的轉子施加繞x軸偏轉的0.1sin(2πt)°正弦干擾信號時，分別采用交叉PID算法和前饋解耦內模控制算法情況下，干擾信號對轉子系統偏轉角度的影響如圖9(a)所示。為使交叉PID控制器性能達到最優，其控制器參數參照文獻[25]設定，如表1所示。由圖9(a)可知，采用交叉PID算法的轉子系統受0.1sin(2πt)°的正弦信號干擾后產生幅值約為0.02°的往復偏轉；采用前饋解耦內模控制算法的控制系統受0.1sin(2πt)°正弦信號干擾后產生幅值約為0.018°的往復偏轉。

圖9 抗擾性能對比

以上2種控制器參數不變的條件下，干擾信號由0.1sin(2πt)°變為0.1sin(8πt)°時，轉子系統因干擾產生的偏轉角度如圖9(b)所示。由圖9(b)可知，干擾信號頻率變為4 Hz時，采用交叉PID算法的轉子系統產生幅值約為0.075°的往復偏轉；而采用前饋解耦內模控制算法的轉子系統產生幅值約為0.018°的往復偏轉，偏轉幅度較PID算法減少76%。

對比圖 9(a)、(b)可知，當干擾信號頻率發生變化時，采用交叉PID算法的轉子系統偏轉幅度隨頻率增加而變大，這主要是因為交叉PID控制器中的微分項對正弦擾動信號進行處理時，擾動信號頻率越大，引入的量化噪聲越大，如果改變微分系數弱化微分項的作用，系統的跟隨性又將受到影響；而采用前饋解耦內模控制算法的轉子系統不包含純微分環節，且具備獨立調節跟蹤性和抗擾性的特點，具有較強的魯棒性，因此偏轉幅度幾乎不隨干擾信號頻率變化。因此，前饋解耦內模控制器抗擾性優于交叉PID控制器。

結合圖8、圖9仿真結果可知，由于前饋解耦內模控制器可以同時實現跟蹤性和抗擾性的獨立調整，而交叉PID控制算法機動性差，難以使系統兼顧快速性和準確性，因此前饋解耦內模控制算法的響應速度和抗擾性優于交叉PID控制算法。

4 結 論

1) 轉子分別沿x、y軸偏轉過程中，相比于采用交叉PID算法會導致轉子沿y、x軸方向產生約20%的耦合性偏轉跳動，基于前饋解耦的二自由度內模控制算法可以消除轉子徑向兩偏轉自由度間的耦合。

2) 基于前饋解耦的二自由度內模控制算法可兼顧系統的跟隨性和抗擾性，偏轉響應時間較交叉PID算法降低了57.1%，受0.1sin(2πt)°正弦信號擾動產生的偏轉波動幅值較交叉PID算法減少10%，受0.1sin(2πt)°正弦信號擾動產生的偏轉波動幅值較交叉PID算法減少76%。

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