超流體陀螺相位波動噪聲自適應抵消系統分析

趙玉龍， 沈懷榮， 任元,*

(1. 裝備學院 研究生管理大隊, 北京 101416； 2. 裝備學院 航天裝備系, 北京 101416)

進入21世紀，量子技術特別是低溫物理學的研究取得了重大突破[1]，由此誕生了基于物質波干涉的新型低溫超流體陀螺[2]。該陀螺是利用液氦在低溫條件下呈現的量子宏觀效應，基于物質波Sagnac效應實現角速率敏感的一類新概念陀螺，其計算靈敏度比激光干涉陀螺高將近10個數量級，因此引起各國的極大興趣[3]。美國的加州大學伯克利分校[4]和哈佛大學[5]、俄羅斯的科學研究院[6]等機構競相開始研究[6]。憑借超高精度、超高靈敏度、小體積等優勢，超流體陀螺有望被應用于深空探測、新型戰略武器等長航時、大航程高精度軍用和民用領域[7]。

超流體陀螺是通過檢測薄膜位移而實現角速度測量的，因此位移傳感器的分辨率是影響超流體陀螺分辨率的重要因素。文獻[8]通過改進測量電路，將位移傳感器的輸出噪聲由3×10-5m/Hz降低到了1×10-5m/Hz，從而提高了超流體量子干涉陀螺的測量精度。文獻[9]對超流體陀螺的熱噪聲進行了分析，驗證了增加弱連接微孔數目可實現陀螺熱噪聲的抑制，然而受限于弱連接的加工技術，微孔數目不宜過多。文獻[10]設計了多圈環繞結構，在一定程度上降低了陀螺噪聲，但增加了加工難度和成本，且不能實現噪聲的完全抑制。

此外，關于噪聲抑制的濾波算法方面，由于非線性自適應濾波計算較復雜且硬件實現困難，因此實際中仍多采用線性自適應濾波[11]。考慮維納濾波和卡爾曼濾波對先驗知識的初始條件依賴較大[12]，最小均方(LMS)算法對非平穩信號的適應性差[13]，為此，本文在明晰陀螺相位波動噪聲形成機理的基礎上，結合陀螺角速度噪聲與外界輸入角速度互不相關的特性，提出了一種基于遞推最小二乘(RLS)自適應濾波的陀螺相位波動噪聲抵消系統。該方法結合陀螺混合角速度信息，基于RLS算法實現濾波參數調節，使得RLS自適應濾波器的輸出與混合角速度中噪聲部分相抵消，在對信號的適應性和收斂速率方面有很大優勢。

1 超流體陀螺相位檢測模型

超流體陀螺結構如圖1所示，該陀螺裝置主要由熱驅動部分、干涉環路和薄膜檢測模塊組成。

圖1 超流體陀螺示意圖

超流體陀螺工作時，啟動熱驅動裝置使得超流體在環形干涉環路的雙弱連接處發生約瑟夫森效應從而產生物質波，超流體流經單個微孔的物質波流量I0可表示為[14]

I0=Icisin Δφii=a,b

(1)

式中：Ica、Δφa和Icb、Δφb分別為流過弱連接a、b兩端單個微孔的超流體臨界流量和相位。

則環形腔內超流體的總物質波流量I為

I=NIcasin Δφa+NIcbsin Δφb

(2)

式中：N為單弱連接包含的微孔數目。

假設雙弱連接加工完全一致，則流過弱連接a、b兩端的臨界流量大小一致，即Ica=Icb=Ic，由和差化積公式，得到總物質波流量為

(3)

當存在外界角速度時，由于物質波Sagnac效應，超流體物質波流量幅值H將被調制為[15]

(4)

式中：Δφs為外界輸入角速度引起的轉動相位；A為陀螺的感應面積；m4為氦-4的原子質量；h為普朗克常數；ω為外界輸入角速度；k4=h/m4為超流體量子環流量。

在超流體物質波流量的作用下，陀螺的薄膜位移發生變化，使用高精度的超導量子干涉儀作為薄膜位移的檢測模塊，將檢測到的薄膜位移經快速傅里葉變化便可得到約瑟夫森頻率下的位移幅值Xm。位移幅值Xm與流量幅值H滿足[16]：

(5)

式中：fJ為約瑟夫森頻率；ρ為總的流體密度；Af為柔性薄膜面積。

根據式(4)，當陀螺檢測較小的角速度時,則由該角速度引起的轉動相位也較小，此時超流體陀螺轉動相位與薄膜幅值的關系可表示為

(6)

2 相位波動噪聲分析及抑制

2.1 相位波動噪聲分析

考慮超流體內部分子的熱運動始終存在，超流體陀螺環路中的流體熱能量為KBT/2，KB為玻爾茲曼常數，T為陀螺工作溫度。熱能量作用下，超流體流過弱連接的流體包含的動能為NρsD2為超流體密度，D為微孔孔徑，Δvs為超流體流動速度，為弱連接厚度。

超流體流動速度與弱連接兩側相位差Δφ滿足[14]:

(7)

式中：?=h/(2π)。

根據能量守恒關系可得，由熱運動引起弱連接兩側的相位波動為

(8)

超流體陀螺的角速度檢測原理是通過檢測薄膜位移而間接得到外界輸入角速度信息。由式(6)、 式(8)易知，相位波動噪聲的存在將直接影響陀螺的薄膜檢測幅值。顯然弱連接a、b在位置上相互獨立，波動相位摻雜在轉動相位中，由相位波動噪聲引起的角速度噪聲屬于熱噪聲范疇[6]。結合式(4)、 式(8)，得到相位波動噪聲引起的陀螺等效輸入角速度噪聲為

(9)

由式(9)易知，由相位波動噪聲引起的陀螺角速度噪聲與外界輸入角速度無關，只與弱連接的結構和陀螺工作溫度有關，通過設置合適的陀螺工作溫度、弱連接厚度、微孔數目和孔徑橫截面積，可以在一定程度上實現陀螺相位波動噪聲的抑制。

由于超流體在弱連接處發生約瑟夫森效應的前提為[4]

D≤2ξ4

(10)

式中：ξ4為與溫度相關的關聯長度，單位為nm，表示為[3]

(11)

其中：Tλ為超流體的相變溫度。

2.2 基于RLS算法的噪聲自適應抵消系統設計

根據超流體陀螺工作原理，通過薄膜幅值信息可以求解出相位波動噪聲影響下陀螺輸出的混合噪聲角速度信息。針對該角速度信息中相位波動噪聲引起的角速度噪聲與輸入角速度互不相關的特性，設計的陀螺波動噪聲自適應抵消系統如圖2所示。期望輸入d(i)為陀螺薄膜解算出的有用角速度信息ω(i)和噪聲δω(i)的混合角速度信息，u(i)為與δω(i)相關但與ω(i)不相關的參考噪聲輸入。

通過將薄膜幅值信息解算出的混合角速度信息作為噪聲自適應抵消系統的期望輸入，相位波動引起的角速度噪聲作為RLS自適應濾波器的參考噪聲輸入, 經過參數調節使得RLS自適應濾波器的輸出與混合角速度的噪聲部分相抵消。其中，RLS自適應濾波器采用如圖3所示的橫向濾波器結構。

RLS橫向濾波器的輸出為

圖2 噪聲自適應抵消系統示意圖

Fig.3 橫向濾波器結構

(12)

式中：U(i)=[u(i),u(i-1),…,u(i-M+1)]T為輸入向量；W(i)=[w0(i),w1(i),…,wM-1(i)]T為權系數向量，i為時間序列，M為濾波器階數。

則超流體陀螺噪聲自適應抵消系統的實際輸出為

e(i)=ω(i)+δω(i)-y(i)

(13)

對式(13)平方得到

e2(i)=ω2(i)+(δω(i)-y(i))2+

2ω(i)(δω(i)-y(i))

(14)

由式(9)可知，由相位波動噪聲引起的陀螺角速度噪聲與輸入角速度不相關，即ω(i)與y(i)及δω(i)互不相關，則ω(i)與δω(i)-y(i)也不相關，對式(14)取數學期望得到

E(e2(i))=E(ω2(i))+E((δω(i)-y(i))2)

(15)

調節權系數使E((δω(i)-y(i))2)為0，E(e2(i))對應也為最小，此時超流體陀螺噪聲自適應抵消系統的輸出即為有用角速度信息。

采用RLS算法時，為使得系統期望輸出和實際輸出之間誤差最小，取代價函數[17]為

(16)

式中：λ為遺忘因子，其作用是使得離k時刻遠的誤差賦較小權重。

將誤差代入代價函數，得到加權誤差平方和的完整表達式為

(17)

為使代價函數取得最小值，可通過對權向量求導，得到代價函數達到最小值時，存在如下關系:

(18)

R(k)和r(k)可由遞推關系得到

(19)

根據矩陣逆的引理，令P(k)=R-1(k)，得到

(20)

將式(19)、式(20)代入式(18)，得權向量的更新方程為

W(k)=W(k-1)+g(k)(d(k)-

WH(k-1)U(k))

(21)

超流體陀螺噪聲自適應抵消系統通過實時比較期望信息和RLS自適應濾波器輸出信息的差值信息，自適應調整權向量W(k)，同時更新P(k)，并把RLS自適應濾波器的輸出與期望輸入信息相抵消，最終實現對陀螺角速度噪聲的完全抑制。

3 仿真分析

為保證微孔發生約瑟夫森效應的一致性，通常設定工作溫度在臨界溫度以下的10 mK以內。恒定的溫度保持系統和高精度的溫度控制系統是超流體陀螺穩定工作的前提，為了獲得恒定的陀螺工作溫度，通常將陀螺裝置放置于體積遠遠大于超流體陀螺的液氦浴恒溫系統中，通過高精度溫度控制系統維持低溫液氦浴系統在恒溫環境。因此，陀螺啟動后的工作溫度也是恒定的，可不考慮其對陀螺標度因數的影響。超流體陀螺的主要參數如表1所示，分析陀螺參數對陀螺角速度噪聲的影響，在保證超流體在弱連接處發生約瑟夫森效應的基礎上，仿真得到相位波動噪聲引起的角速度噪聲隨工作溫度和弱連接厚度的變化曲面如圖4所示。

由圖4的曲面走勢可知，角速度噪聲隨著陀螺工作溫度的升高而降低，陀螺的工作溫度為2.175 K時，角速度噪聲達到最小。在工作溫度固定的情況下，陀螺的角速度噪聲隨著弱連接厚度的增加而增大。在陀螺工作參數范圍內，取陀螺工作溫度為2.175 K，弱連接厚度為50 nm時，角速度噪聲幅值達到最小為0.210 5×10-6rad/s。可見，通過合理設置陀螺相關參數，在一定程度上可實現陀螺角速度噪聲的抑制。

表1 超流體陀螺的主要參數

圖4 角速度噪聲變化曲面

分析圖4易知，一旦陀螺工作溫度和弱連接厚度確定時，由相位波動噪聲引起的等效角速度噪聲也是確定的，該噪聲幅值(標準偏差)在10-7～10-6rad/s數量級。不失一般性，考慮陀螺角速度噪聲標準偏差為1.003×10-6rad/s的情況(對應陀螺參數為：工作溫度為2.167 K，弱連接厚度為60 nm)，相位波動噪聲屬于熱噪聲范疇，則其等效角速度噪聲可表示為10-6randn(1,i)。

超流體陀螺噪聲自適應抵消系統的關鍵是要保證參考輸入與被抵消噪聲相關，而與有用信息無關。因此，選取參考輸入u(i)與被抵消噪聲δω(i)這2路噪聲都來自于同一個噪聲源，則可滿足相關性要求，即參考輸入噪聲為u(i)=10-6·randn(1,i)；此外，相位波動引起的角速度噪聲是只與陀螺結構參數相關的獨立隨機變量，與外界輸入角速度顯然不相關。

為了驗證所設計的超流體陀螺噪聲自適應抵消系統的可行性和有效性，對超流體陀螺薄膜輸出的混有噪聲的正弦角速度信息進行研究。有用角速度設為2×10-6sin(0.03πi) rad/s，背景信息的時域和頻域信息特性如圖5所示。圖5(a)為噪聲源的時域特性，可見噪聲源是在整個時域內呈均勻分布的白噪聲；圖5(b)為混合噪聲的角速度信息的頻域特性，分析可知，背景信息在0.015 Hz頻率處有一個幅度突變，其余頻率處信息幅度都為均勻分布，突變點處的幅值在2×10-6rad/s附近，說明背景信息中包含頻率為0.015 Hz、幅值為2×10-6rad/s的交流分量信息，此信息即有用角速度信息。

考慮輸入信噪比為3 dB的情況，設計濾波器階數為3，遺忘因子為0.99，仿真得到基于RLS算法的噪聲抵消效果如圖6所示。可知，經過約100次的迭代運算后，陀螺角速度噪聲已基本被抵消掉，基于RLS算法的噪聲自適應抵消系統能夠有效抑制陀螺相位波動噪聲引起的角速度噪聲對測量角速度的污染。

固定濾波器階數為3，圖7為采用RLS算法、LMS算法和歸一化LMS(NLMS)算法調節濾波器參數時得到的噪聲自適應抵消系統輸出結果。對比分析可知，與RLS算法相比，其他2種算法初始時速度波動較大，且調整時間較長。基于RLS算法的噪聲自適應抵消系統的輸出角速度較為平滑且調整時間較短，可實現有用角速度信息的快速精確跟蹤。

圖5 背景信息的時域和頻域特性

圖6 基于RLS算法的噪聲抑制效果

為了直觀分析不同算法對有用角速度跟蹤的誤差收斂情況，仿真得到采用RLS算法、LMS算法和NLMS算法時噪聲自適應抵消系統的輸出與有用角速度信息誤差的平方變化情況，如圖8所示。可知，3種算法都能實現良好的噪聲抑制效果，噪聲自適應抵消系統的輸出誤差最終均能收斂，且RLS算法具有較快的收斂速度和較好的跟蹤精度。

表2為使用3種算法時，有用角速度信息為2×10-6sin(0.03πi) rad/s、輸入信噪比為3 dB時，得到的相關量化指標的對比。其中，輸入信噪比是指輸入有用信息的能量與噪聲能量的比值，輸出信噪比是指輸出有用信息的能量和剩余噪聲能量的比值。分析可知，3種算法作用下，系統最終的輸出信噪比均遠遠大于輸入信噪比3 dB，表明3種算法對噪聲均具有較好的抑制能力，其中，RLS算法作用下輸出信噪比最大為16.43 dB。

圖7 3種算法的噪聲抑制效果

圖8 3種算法的輸出誤差平方

考慮陀螺中可能存在其他白噪聲增強效應的影響，將角速度噪聲的強度增大4倍，有用角速度信息保持不變，對應信噪比變為-3 dB，濾波參數不變。考慮在強噪聲背景條件下，基于3種不同算法的噪聲自適應抵消系統輸出與有用角速度信息的均方誤差收斂曲線對比如圖9所示。可知，在強噪聲背景下，基于RLS算法的噪聲自適應抵消系統能夠使均方誤差快速收斂；而采用LMS算法和NLMS算法時，不僅收斂速度慢，且系統始終存在未被抵消的剩余誤差，即無法精確地跟蹤有用角速度信息。

表2 輸入信噪比為3 dB時的相關量化指標Table 2 Relevant quantitative indicators when input signal to noise ratio is 3 dB

圖9 3種算法的均方誤差

算 法均方誤差/(10-12rad2·s-2)輸出信噪比/dB100次迭代運算耗時/sRLS416.315.281LMS49.292.474NLMS49.483.282

表3為使用3種算法時，有用角速度信息為2×10-6sin(0.03πi) rad/s、輸入信噪比為-3 dB時，得到的相關量化指標對比。對比表2、表3可知，隨著均方誤差的增大，采用LMS算法和NLMS算法對噪聲的抑制能力較為有限，輸出信噪比明顯降低，而采用RLS算法仍能保持較大的輸出信噪比。

進一步考慮大輸入角速度、大噪聲復雜情況對噪聲自適應抵消系統的影響，角速度噪聲的方差增大16倍，相應的增大輸入角速度噪聲幅值，使得信噪比為3 dB保持不變，得到大角速度、大噪聲時，3種算法均方誤差收斂曲線如圖10所示。可知，基于LMS算法的噪聲自適應抵消系統受到大角速度、大噪聲的影響，系統失穩而不能收斂，這是由于LMS濾波器受到了梯度噪聲放大的影響。 NLMS算法對LMS算法進行了歸一化處理，規避了梯度噪聲放大的影響。基于NLMS算法的噪聲自適應抵消系統在初始時可實現較快的誤差收斂，但系統最終仍存在未被抵消的剩余誤差，導致均方誤差曲線無法收斂為0。基于RLS算法的噪聲自適應抵消系統在大角速度、大噪聲的情況下，仍能實現快速穩定的收斂和角速度信息的精確跟蹤。

圖10 大角速度、大噪聲時3種算法的均方誤差

算 法均方誤差/(10-12rad2·s-2)輸入信噪比/dB輸出信噪比/dB100次迭代運算耗時/sRLS16316.445.304LMS1634.522.492NLMS16310.483.293

表4為使用3種算法時，有用角速度信息為8×10-6sin(0.03πi) rad/s、輸入信噪比為3 dB時，得到的相關量化指標的對比。可知，在輸入大幅值角速度信息、大噪聲的復雜情況時，采用LMS算法對噪聲的抑制能力極小，輸出信噪比幾乎接近輸入信噪比3 dB。NLMS算法仍能保持較好的噪聲抑制能力，這是由于NLMS算法歸一化處理而規避了梯度噪聲放大的影響。對比表2～表4中3種算法的輸出信噪比變化情況可知，相比于其他2種算法，RLS算法作用下噪聲自適應抵消系統的輸出信噪比始終能維持在16 dB附近，表明RLS算法對噪聲的抑制能力是最好的。

綜上所述，相比于其他2種算法，RLS算法在不同輸入信噪比、均方誤差情況下，均能有效抵消陀螺混合角速度信息中的噪聲成分，且具有較快的均方誤差收斂速度和較好的穩定性。然而通過分析表2～表4中3種算法在不同工況時的100次迭代運算耗時可知，相比于其他2種算法，RLS算法由于計算復雜度較高導致其計算時間是最長的。可見，為了實現RLS算法從離線處理走向實時系統應用，還需進一步研究如何降低RLS算法的計算復雜、計算時間長的問題。

4 結 論

針對超流體陀螺相位波動噪聲影響陀螺角速度檢測精度的問題，本文開展了超流體陀螺噪聲抑制的相關研究，得出以下結論：

1) 相位波動噪聲引起的等效角速度噪聲隨著工作溫度的升高而降低，隨著弱連接厚度的增加而增大。在陀螺參數范圍內，其噪聲幅值為10-7～10-6rad/s，通過合理設置陀螺相關參數，在一定程度上可以實現陀螺角速度噪聲的抑制。

2) 在不同輸入信噪比、均方誤差情況下，基于RLS算法的噪聲自適應抵消系統均能夠有效消除陀螺混合角速度信息中的噪聲成分，且具有較快的收斂速度和較好的穩定性。然而，相比于LMS算法和NLMS算法，RLS算法由于計算復雜度較高導致其計算時間是最長的。

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