一種新型并聯灌注機器人運動學分析和多目標優化

楊會， 房海蓉,2,*， 李典， 方躍法,2

(1. 北京交通大學 機械與電子控制工程學院 機器人研究中心， 北京 100044；2. 北京交通大學 載運工具先進制造與測控技術教育部重點實驗室， 北京 100044)

航天器在上升和再入太空階段受到巨大的氣動加熱效應，為保證飛行員安全和機載儀器正常運轉，需在航天器的外部鋪設防熱層結構[1]。目前航天器防熱層結構通常采用正六邊形蜂窩板結構[2-3]，通過對蜂窩結構進行防熱材料灌注來實現熱防護的功能[4-5]。

由于蜂窩結構和防熱層材料的特殊性，國內外防熱層灌注多采用人工進行，但該灌注方式效率較低，隨著中國航天器的發展，球冠面的外形尺寸逐漸變大，人工灌注方式無法滿足防熱材料灌注的需求，因此，需要提出一種滿足要求的灌注機器人。

由于球冠面外形尺寸較大，灌注裝置末端需攜帶負載，要求灌注機器人具有較大的工作空間和較高的剛度。串聯機器人因其工作空間大、操作靈活、響應速度快等優點在工業生產方面得到了廣泛的應用，例如，PUMA[6]、SCARA[7]和IRB[8]等工業機器人，但串聯機器人同時具有剛度小的缺點。而與傳統的串聯機器人相比，具有復雜結構的并聯機器人具有許多明顯的優勢，例如，高剛度、高精度、高承載能力和誤差積累小等優點[9-12]，并應用于并聯機床[13-14]、噴涂機器人[15]、微操作機器人[16]和力傳感器[17]等方面，但并聯機器人同時具有工作空間小的缺點。因此，對于灌注機器人來說，單純的串聯機器人和并聯機器人都無法完全滿足灌注要求。結合以上2種機器人的優點，串并混聯機器人可以最大程度地滿足航天器防熱材料灌注要求。

本文提出一種用于防熱層灌注的串并混聯機器人，該機器人的工作空間能夠覆蓋整個球冠面。通過采用被動支鏈，使得并聯機構具有較高的剛度。建立了并聯機構的模型，對機構進行了運動學分析，通過約束分析繪制了并聯機構的工作空間，在雅可比矩陣的基礎上建立了并聯機構的剛度模型，利用遺傳算法，以工作空間和全局剛度為指標對并聯機構的參數進行多目標優化分析。優化結果大大提高了并聯機構的剛度和工作空間，能夠滿足防熱層灌注的要求。

1 機構描述

如圖1(a)所示系統主要由3PSS-PU并聯機構、圓形導軌和蜂窩轉臺組成，其中3PSS-PU并聯機構可在圓形導軌上運動，蜂窩轉臺可繞自身轉動,通過沿導軌和轉臺的自轉使得灌注機構末端操作器能夠到達整個蜂窩球冠面。本文重點對3PSS-PU并聯機構進行分析，如圖1(b)所示機構由定平臺、動平臺以及連接定平臺和動平臺的3個完全相同的主動支鏈PSS和1個被動支鏈PU組成，主動支鏈均勻的分布在定平臺上，每個主動支鏈依次由移動(P)副、球(S)副和球(S)副組成，每個P副由直線電機驅動；被動支鏈由P副和虎克鉸(U)副組成，U副與動平臺相連接。由于每條主動支鏈自由度為6，對動平臺不提供約束，所以動平臺和中間被動支鏈具有相同的自由度數，即動平臺具有沿x軸和y軸的轉動自由度以及沿z軸的移動自由度。

圖1 串并混聯灌注機器人系統

圖2 3PSS-PU機構運動簡圖

2 運動學分析

2.1 約束分析

由圖2可得，φi和φi參數之間的關系表示如下：

定義θ1和θ2分別為動平臺繞x軸和y軸的轉角。

因此，可得出動坐標系相對于定坐標系的旋轉矩陣：

(1)

式中:RM(x,θ1)為繞x軸旋轉θ1的旋轉矩陣;RM(y,θ2)為繞y軸旋轉θ2的旋轉矩陣。

定義zm為動平臺沿z軸方向上的坐標，動坐標系原點M在定坐標系下的坐標MO可以表示為

(2)

(3)

(4)

2.2 運動學反解

已知輸出構件的位姿，求解輸入構件的位置稱為機構的運動學反解。由圖 2可得，第i個支鏈的封閉矢量方程可以表示為

(5)

式中：

將式(4)代入式(5)可得

(6)

式中：Axi=Rmcosφicosθ2;Bxi=-cosφi;Ayi=Rmcosφisinθ1sinθ2+Rmsinφicosθ1;Byi=-sinφi;Azi=-Rmcosφicosθ1sinθ2+Rmsinφisinθ1+zm;Bzi=0。

根據桿長條件可得

(7)

將式(6)代入式(7)可得

(8)

式中：

sbi=2(AxiBxi+AyiByi+AziBzi)

因此，由式(8)中可得出運動學反解：

(9)

2.3 雅可比矩陣

由于

(10)

(11)

通過對式(11)整理可得

(12)

式中：λmi=ylisinφi+xlicosφi。

對式(4)兩邊同時對時間求偏導數可得

(13)

式中：

聯立方程式(12)和方程式(13)可得

(14)

式中：xm和ym分別為動平臺沿x軸和y軸方向上的坐標；Jp為僅有3條主動支鏈組成機構的雅可比矩陣：

如圖3所示，建立了每個運動副的局部坐標系，因此可得

(15)

(16)

因此，對于中間約束支鏈，可得

(17)

將方程式(17)代入方程式(14)，可求出并聯機構的整體雅可比矩陣：

J=JpJs

(18)

圖3 中間被動支鏈各運動副的局部坐標系

3 性能分析

3.1 工作空間

根據機構的特點，影響機構工作空間的主要因素有：移動副移動的距離、桿的長度以及連桿分別與定平臺和動平臺的夾角。其中，移動副移動距離的約束是限制機構工作空間的主要因素。

因此，移動副的相應約束可表示為

simin≤si≤simax

(19)

式中:simin和simax分別為移動副的最小和最大位移。

定義主動連桿與動平臺之間的夾角為αi，其中桿件的半徑忽略不計，故其約束條件可表示為

αimin≤αi≤αimax

(20)

式中：αimin和αimax分別為αi的最小值和最大值。

定義主動連桿與定平臺之間的夾角為βi，故其約束條件可表示為

βimin≤βi≤βimax

(21)

式中：βimin和βimax分別為βi的最小值和最大值。

3PSS-PU并聯機構結構參數和相關的變量如表1所示，通過以下參數和以上約束條件，可計算出并聯機構在笛卡兒坐標系下的工作空間，如圖4(a)所示,圖4(b)和圖4(c)分別為工作空間的右視圖和左視圖。

表1 3PSS-PU并聯機構結構參數

3.2 剛度模型

為了分析機構在運動過程中剛度的變化趨勢，需建立剛度模型，假定整個系統為剛性，得出如下表達式[18]：

ε=KΔσ

(22)

式中：

圖4 3PSS-PU并聯機構的工作空間及其左、右視圖

(23)

式中：k11、k22和k33為純剛度，代表動平臺在同一方向上力或力矩受變形的影響，在剛度矩陣中，這3個參數最重要，即其他參數可以忽略不計，k11,k22的單位為N·mm/rad，k33的單位為N/mm。

當θ1或θ2為定值時，k22在θ2方向上隨著θ2、zm或θ1、zm變化的剛度分布如圖5和圖6所示。隨著zm的增大，剛度都逐漸變大，當zm=140 mm時，剛度達到最大值，當zm為常數時，剛度值不隨θ2或θ1的變化而變化。

圖7為zm=210 mm時，k22在θ2方向上隨著θ1和θ2的變化的剛度分布圖,剛度隨著θ1和θ2的增大逐漸變小，當θ1=0.35 rad時，剛度達到最小值。

圖5 k22在θ2方向上隨著θ2和zm變化的剛度分布(θ1=0.3 rad)

圖6 k22在θ2方向上隨著θ1和zm變化的剛度分布(θ2=0.3 rad)

圖7 k22在θ2方向上隨著θ1和θ2變化的剛度分布(zm=210 mm)

4 基于遺傳算法的多目標優化

4.1 目標函數的建立

優化問題主要由目標函數和約束條件兩部分組成[19-20]。目標函數主要包括2個：全局剛度和工作空間。對于全局剛度，由于剛度矩陣中對角線上的主元素k11、k22、k33分別對θ1、θ2、zm上的剛度影響比較大，主要通過這幾個剛度值來衡量全局剛度的大小。對于工作空間，可用工作空間內散點的個數來更衡量其大小，避免了復雜的推導過程，同時達到了優化的目的。

全局剛度E可以被描述為

E=k11+k22+k33=Ω(Rm,li,φ1,φ1)

(24)

為區分2個優化目標的收斂曲線，定義以下優化目標函數：

(25)

式中：W為工作空間體積的目標函數；ei和wi分別為第i個性能指標。

結合約束條件，給出優化參數的尺寸約束范圍:

(26)

同時，在優化過程中為保證剛度取值在工作空間之內，應對限制工作空間的參數進行約束

(27)

4.2 優化過程

基于遺傳算法對3PSS-PU并聯機構進行多目標優化，優化的各項參數為：優化代數G為100，群數為20。通過編程計算，得出圖8所示的目標函數優化曲線，圖中展示了從0～100代的遺傳運算的過程。由圖8(a)可看出60代以后，全局剛度值曲線趨于平穩;圖8(b)中工作空間散點曲線從40代以后趨于平穩，此時，全局剛度和工作空間散點數都達到最大。如表2所示，列舉了第100代中20組機構的優化設計參數值。

為了從20組設計參數中選出一組參數取值，此處采用機構體積最小的原則進行選取，該并聯機構的體積公式近似表示為

(28)

圖8 目標函數收斂圖

組 數機構設計參數Rm/mmli/mmφ1/rad?1/rad1266.6080237.05850.67670.68762269.5739237.28450.63490.73333270.3569236.85830.63490.73334267.4525237.51930.67670.68765269.5519237.28430.63490.73336269.5519237.28430.67670.68767267.4525237.51930.67670.68768267.1997237.55720.63490.73339266.5262237.05660.63490.733310269.5734237.28440.63490.733311270.3472236.97190.67670.687612267.4525237.51930.63490.733313269.5517237.28430.63490.733314269.3297237.30300.67670.687615270.3551236.84820.63490.733316269.5625237.28020.63490.733317269.4146237.27230.67670.687618267.4737237.51530.67670.687619270.3395236.96910.63490.733320267.4525237.51930.63490.7333

構的體積最大, 此時機構的體積公式可轉化為

(29)

由式(28)可知，當si取最大值400mm時，機把以上20組參數值代入式(29)對比可得，第9組參數優化值的機構體積最小，因此，取該組參數作為最終優化的設計參數值，整理后列出優化參數前后的對比值，如表3所示,θ1=θ2=0.34 rad，zm=120 mm時，優化前后的剛度對比值如表4所示，倍數為優化值與初始值的比值，S為散點數。

通過以上對于全局剛度和工作空間的優化可以得出，優化后的機構的剛度和工作空間都變大，在一定條件下，優化后的全局剛度值是初始值的1.880倍，優化后工作空間的散點數是初始值的1.150倍。

表3 3PSS-PU并聯機構優化前后結構參數對比

表4 3PSS-PU并聯機構優化前后剛度參數對比Table 4 Comparison of initial and optimized stiffness parameters for 3PSS-PU parallel mechanism

5 結 論

1) 提出了一種用于防熱層材料灌注的新型3PSS-PU并聯灌注機器人，采用被動支鏈的約束方式，提高了機構的剛度，并通過圓形導軌增大了動平臺的工作空間。

2) 建立了并聯灌注機構的約束方程，進行了運動學分析，在機構參數約束條件下繪制了機構的工作空間，并在雅可比矩陣的基礎上建立了機構的剛度模型。

3) 以全局剛度和工作空間為指標，基于遺傳算法對機構進行多目標參數優化，并提出以工作空間內散點的數目來衡量工作空間體積大小，最終給出優化后機構尺寸參數,為蜂窩灌注機器人應用奠定基礎。

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