“四色定理”證明

申學勤 王若仲 劉曉東 何長勇

【摘要】1852年，畢業于倫敦大學的格斯里（FrancisGuthrie）來到一家科研單位做地圖著色工作時，發現每幅地圖都可以只用四種顏色著色.這個現象能不能從數學上加以嚴格證明呢？這就是著名的“四色猜想”.對于“四色定理”，其實只要在平面上或球面上證明設計不出至少需要五種顏色才能分辨出五塊獨立的封閉圖形即可.形象一點，把五塊獨立的封閉圖形看成五個人，封閉圖形與封閉圖形的公共邊界，看成一個人與另一個人握手（握手限定為一只手與一只手）.假定五個人均有四只手，要求任一個人與另外四人均握手，五個人同時握手，看能不能實現任兩人之間不出現重疊或交叉的情形.那么“四色定理”成立.

【關鍵詞】四色定理；球面幾何；線段；相交

1852年，畢業于倫敦大學的格斯里（Francis Guthrie）來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發現每幅地圖都可以只用四種顏色著色.這個現象能不能從數學上加以嚴格證明呢？這就是著名的“四色猜想”.

電子計算機問世以后，1976年6月，由美國數學家阿佩爾（Kenneth Apprl）和哈肯（Wolfgang Haken）在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用了1 200個小時，作了100億次判斷，結果沒有一張地圖是需要五色的，最終證明了“四色定理”.

盡管隨著計算機的普及，絕大多數數學家對“四色定理”的證明沒有疑問，但某些數學家對經由電腦輔助的證明方式仍舊不夠滿意，希望能找到一個完全的“人工”證明.

一、連線段

定義1 平面上或球面上任意A，B兩點之間有一條連線連接，我們則稱這條連線為A，B兩點之間的連線段.

二、封閉圖形[1-3]

定義3 平面上或球面上任意兩點之間有一條連線段，那么連線段兩邊最邊端的點，稱為平面上或球面上任意兩點之間連線段的端點.比如，平面上或球面上任意A，B兩點之間有一條連線段，A和B就是端點.

定義4 平面上或球面上任意A，B兩點之間有一條線連接，而連接A，B兩點的連線段（除A，B兩個端點外）中間不經過其他的已知點以及連接A，B兩點的連線段（除A，B兩個端點外）中間不與其他的連線段相交，則稱A，B兩點為直接連接.

定義5 平面上或球面上任意A，B兩點之間有一條線連接，而連接A，B兩點的連線段（除A，B兩個端點外）中間經過了其他的已知點或者連接A，B兩點的連線段（除A，B兩個端點外）中間與其他的連線段相交，則稱A，B兩點為間接連接.

定義6 球面上一條連線段與另一條連線段有交點，則稱這兩條連線段相交；球面上一條連線段與另一條連線段沒有交點，則稱這兩條連線段不相交.

定義7 如果整個球面上是由一些封閉圖形組合而成的球面圖形，我們則稱這樣的球面為球面組合圖形.

定義8 平面上或球面上一個封閉圖形，如果這個封閉圖形內沒有其他的封閉圖形，我們則稱這樣的封閉圖形為獨立封閉圖形.

定理2 球面上任意兩兩互不重合的A，B，C，D四點，任意兩點之間作一條連線段，那么球面上必定會做出這樣的圖形：連線段的交點只是A，B，C，D四點.

證明 因為A，B，C，D為球面上任意兩兩互不重合的四點，我們按照一定的次序總可以把A，B，C，D設計為一個三棱錐形的四個頂點，這樣的話，球面上A，B，C，D四點中，任意兩點之間可以作一條連線段直接連接，那么球面上必定會出現這樣的圖形：連線段的交點只是A，B，C，D四點.故定理2成立.

定理3 球面上任意兩兩互不重合的A，B，C，D，E五點，如果任意兩點之間作一條連線段連接，其中任一連線段（除端點外）中間不能經過其他已知點，那么球面上一定不會做出這樣的圖形：連線段的交點只是A，B，C，D，E五點.

證明 因為A，B，C，D，E為球面上任意兩兩互不重合的五點，任意兩點之間作一條連線段連接，在球面上設計，可以按照如下程序操作：

（一）我們按照一定的次序總可以把A，B，C，D這四點設計為一個三棱錐形的四個頂點，這樣的話，球面上A，B，C，D四點中，任意兩點之間可以作一條連線段直接連接，那么球面上必定會是這樣的圖形：連線段與連線段的交點只是A，B，C，D四點.這樣的話，我們就可以從前面得到的球面組合圖形中不難得出結論：即這A，B，C，D四點中的其中任何一點相對于其他三點，這一點則在一個封閉的圖形內.如果我們再按要求直接連接EA，EB，EC，ED，不管怎樣連接，其中至少有一個連接始終要經過一個封閉的圖形，所以其中至少有一個連接不能進行直接連接.也就是說對于球面上任意兩兩互不重合的A，B，C，D，E五點，如果任意兩點之間作一條連線段，并且要求任一條連線段中間不能經過其他已知點，按照此要求不管怎樣連接，最終得到的圖形中至少會多出一個交點不在A，B，C，D，E這五點上.

（二）我們按照一定的次序總可以在球面上先直接連接AB，直接連接AC，直接連接AD，直接連接AE；接下來還可以直接連接BC，直接連接BD，直接連接BE；再可以直接連接CD；再可以直接連接DE；最后連接C點和E點的時候，我們還是要求直接連接，但是從前面得到的球面組合圖形中不難得出這樣的結論：最后連接C點和E點，要求中間不能經過其他已知點，那么連接CE始終要經過一個封閉的圖形，所以按照此要求不管怎樣連接，必定會多出一個交點.所以按照要求直接連接AB，直接連接AC，直接連接AD，直接連接AE，直接連接BC，直接連接BD，直接連接BE，直接連接CD，直接連接DE，直接連接CE是不可能實現的情形.也就是說，對于球面上任意兩兩互不重合的A，B，C，D，E五點，任意兩點之間不可能均可作一條連線段直接連接.同時也說明對于球面上任意兩兩互不重合的A，B，C，D，E五點，如果任意兩點之間作一條連線段，并且要求任一條連線段中間不能經過其他已知點，按照此要求不管怎樣連接，最終得到的圖形中至少會多出一個交點不在A，B，C，D，E這五點上.

綜上所述，定理3成立.

定理4 球面上任意兩兩互不重合的A，B，C，D，E五點，如果任意兩點之間作一條連線段連接，其中任一連線段（除端點外）中間不能經過其他已知點，那么球面上一定不會做出這樣的組合圖形：球面上的組合圖形只由五個獨立封閉圖形組成.

證明：由定理3可知，定理4成立.

定理5 平面上能夠設計出滿足某一特征的組合圖形，則在球面上也能設計出滿足該特征的組合圖形；球面上不能設計出滿足某一特征的組合圖形，則在平面上也不能設計出滿足該特征的組合圖形.

證明：在平面上和球面上設計均要滿足某一特征的組合圖形，因為在球面上設計可以從三維空間考慮設計，而在平面上設計只能從二維空間考慮設計，顯然三維空間要好設計一些.故定理5成立.

定理6 設有獨立封閉圖形A，B，C，D，則平面上或球面上可以設計出獨立封閉圖形A，B，C，D的如下組合圖形：獨立封閉圖形A，B，C，D中任意兩兩獨立封閉圖形均有公共邊界；并且組合圖形中不會出現有獨立封閉圖形與獨立封閉圖形重合或者出現獨立封閉圖形與獨立封閉圖形部分重疊的情形.

證明 我們在球面上設置任意兩兩互不重合的E，F，G，H四點，由定理2可知，球面上任意兩兩互不重合的E，F，G，H四點，任意兩點之間均可以作一條連線段直接連接，那么球面上必定會設計出這樣的圖形：連線段與連線段的交點只是E，F，G，H四點.這樣球面上就出現了由四塊獨立封閉圖形組合成的球面圖形，其中任意兩塊獨立封閉圖形均有公共邊界，并且任意兩塊獨立封閉圖形不重合以及任意兩塊獨立封閉圖形不部分重疊.所以球面上可以設計出獨立封閉圖形A，B，C，D中任意兩兩獨立封閉圖形均有公共邊界的組合圖形，并且不會出現有獨立封閉圖形與獨立封閉圖形重合或出現獨立封閉圖形與獨立封閉圖形部分重疊的情形.

或者我們總可以把兩兩互不重合的E，F，G，H四點，根據拓撲變換，把兩兩互不重合的E，F，G，H四點拓撲變換為四塊獨立封閉圖形，任意兩點之間的連線段直接連接拓撲變換為公共邊界，這樣仍然可以得到獨立封閉圖形A，B，C，D中任意兩兩獨立封閉圖形均有公共邊界；并且組合圖形中不會出現有獨立封閉圖形與獨立封閉圖形重合或者出現獨立封閉圖形與獨立封閉圖形部分重疊的情形.

綜上所述，定理6成立.

定理7 設有獨立封閉圖形A，B，C，D，E，則平面上或球面上一定不會設計出獨立封閉圖形A，B，C，D，E的如下組合圖形：獨立封閉圖形A，B，C，D，E中任意兩兩獨立封閉圖形均有公共邊界，并且組合圖形中不會出現有獨立封閉圖形與獨立封閉圖形重合或者出現獨立封閉圖形與獨立封閉圖形部分重疊的情形.

證明 我們在球面上設置任意兩兩互不重合的F，G，H，I，J五點，假定任意兩點之間可以作一條連線段直接連接，說明連線段與連線段的交點只是F，G，H，I，J五點.這樣球面上就出現了只由五塊獨立封閉圖形組合成的球面組合圖形，并且滿足任意兩塊獨立封閉圖形均有公共邊界，任意兩塊獨立封閉圖形不重合以及任意兩塊獨立封閉圖形不部分重疊.這樣的情形就與定理3和定理4的情形產生了矛盾.這就說明對于球面上任意兩兩互不重合的F，G，H，I，J五點，任意兩點之間不可能作一條連線段直接連接.同時也說明了球面上一定不會設計出獨立封閉圖形A，B，C，D，E的如下組合圖形：獨立封閉圖形A，B，C，D，E中任意兩兩獨立封閉圖形均有公共邊界，并且組合圖形中獨立封閉圖形與獨立封閉圖形不重合或者獨立封閉圖形與獨立封閉圖形不部分重疊.

綜上所述，定理7成立.

三、“四色定理”證明

四色定理：平面上或球面上每幅地圖都可以只用四種顏色著色.

證明：由定理5和定理6以及定理7可知，平面上或球面上每幅地圖中不可能出現有五塊獨立封閉圖形是如下這樣的情形：任意兩兩獨立封閉圖形均有公共邊界，并且獨立封閉圖形與獨立封閉圖形不重合或者獨立封閉圖形與獨立封閉圖形不部分重疊.故四色定理成立.

【參考文獻】

[1]朱德祥.初等幾何研究[M].北京：高等教育出版社，1985.

[2]江蘇師范學院數學系《解析幾何》編寫組.解析幾何[M].北京：高等教育出版社，1960.

[3]朱德祥.高等幾何[M].北京：高等教育出版社，1983.