泊松分布樣本均值與方差之差的漸近正態性

彭東海

（中山職業技術學院，中山 528404）

泊松分布是概率論與數理統計中一類重要的計數模型，由法國數學家Poisson[1]在研究二項分布當事件發生的概率p很小、試驗次數n很大的情況下推導出的極限分布，常用于模擬單位時間或空間內稀有事件發生的總次數的分布模型，如單位時間內來到某公共設施要求給予服務的顧客數、機器出現故障的次數、保險公司收到的索賠次數等，它的定義如下：

定義1[2]：設隨機變量X所有可能取值為0,1,2,…,而取各個值的概率為：

其中λ>0是常數，則稱X服從參數為λ的泊松分布,記為X～P()λ。

泊松分布的一個重要性質是它的數學期望和方差都等于參數λ。稱為等離散(equal dispersion)，因此實際問題中對計數資料能否選用泊松分布進行模擬的首要條件是看樣本均值與方差是否近似相等，即需要進行過離散度（over dispersion）檢驗，最常用的過離散度檢驗由B?ning提出的O統計量[3]的計算為：

其中S2,分別表示泊松分布的樣本方差與樣本均值。文獻[3]指出利用文獻[4]的結果可得在總體為泊松分布條件下

有：

再利用卡方分布與正態分布的關系可得：

即O統計量具有漸近正態性。

下文，我們將利用多維向量的中心極限定理及delta方法給出在泊松分布條件下O統計量的漸近正態性的一種簡便證明。

引理1[5]:記，設

其中：

引理2：設隨機變量X服從參數為λ的泊松分布，則X的前4階原點矩分別為：

文獻[6]給出了計算泊松分布的高階矩的兩個遞推公式，此處，我們利用文獻[7]中的定理3.6.8(Hwang)等式可得到一個新的遞推公式。

證明：由[7]中定理3.6.8(Hwang)等式：

其 中 函 數 g(x)滿 足, 且可知，若取，則有：

從而有：

即：

因此可得：

定理：從參數為λ的泊松分布總體中抽取容量為n的樣本X1,X2,…,Xn,記：

則有：

其中：

因此可得：

由多維隨機向量的中心極限定理可知：

即：

取則易知g關于t1,t2有連續的一階偏導數，且：

根據引理1有：

其中：

而：

從而有：

由于，因此由 Slutsky 公式可得：

而，因此：

證畢。

參考文獻：

[1]Cameron AC，Trivedi P.Regression Analysis of Count Data[M].Oxford University Press，1998.

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