基于對數效用函數的多屬性密封拍賣研究

（1.華中科技大學 自動化學院，湖北 武漢 430074；2.湖北工業大學 理學院，湖北 武漢 430068）

0 引言

傳統的拍賣研究主要關注價格屬性，而未將質量、性能等屬性考慮在內。事實上，這與招標采購的實際情況有一定的差異，比如電網公司物資采購時，除考慮價格外，還考慮物品的質量、供應商的信譽等因素。對買者而言，有時物品的非價格屬性的重要性不亞于價格屬性。Che[1]在1993年提出了一個包含價格屬性和質量屬性的二維拍賣模型，并通過分析幾種密封拍賣機制的投標策略和收益，對多屬性拍賣進行了比較全面的研究；Branco[2]研究了買者成本相關時的多屬性拍賣，提出可用一個兩階段拍賣模型來實現效用的最大化；David[3]將多屬性拍賣由二維擴展到1+m（ 1+m≥ ）3 維，同時分析了收益相等原理的擴展型；Bichler M[4]在實驗中證明了多屬性拍賣中的效用評分明顯高于單屬性拍賣。Ganuza[5]研究了一個內生私人價值模型，認為適當減少信息披露能使拍賣有更高的效率。國內，姚升保[6]給出了基于冪函數的多屬性英式拍賣的描述性模型，并且分析了買賣雙方的最優投標策略；曾憲科[7]探討了在逆向多屬性英式拍賣和逆向多屬性第一得分密封拍賣中買賣雙方的最優投標策略，證明了在幾種多屬性拍賣機制中期望收益相等定理。

上述研究的一個共同特點是：Che，Branco等人在多屬性拍賣研究中大多選用冪函數來描述買賣雙方的效用。由于冪函數的特點，當屬性值為0時，其效用才為0，這與現實略有不同，因為當某些屬性值低到一定程度后，該物品已經無法使用，其實際效用已經為0。岳超源[8]總結了用解析函數來近似效用函數中常用的下凹函數的函數種類，比如冪函數和對數函數，認為對數函數在一定程度上可以克服冪函數的這一缺點。這里，對數函數在真數為1時，其效用值已經為0，這意味著如果用對數函數的真數表示屬性值，則當屬性值低到一定程度時，該物品已經無法使用。本文擬采用對數函數來描述買者的效用函數和評分函數，采用冪函數來表示賣者的效用函數和成本函數，并借助第一得分密封拍賣機制，探討賣者參與拍賣的基本條件，求解賣者的最優投標策略以及買賣雙方的期望效用，并討論買方偏離其真實偏好時應如何公布其最優評分函數等問題。

1 問題描述和模型

假定招標采購方（買者）采用第一得分密封拍賣機制采購某個不可分割的物品。這里，該物品有一個價格屬性p和m（m≥2 ）個質量屬性q1,q2,…,qm即該物品有一個1+m維的屬性組合；而且，投標人（賣者）對該物品的m個質量屬性有相對應的成本參數C1,C2,…,Cm。設買者的效用函數為Ub，則買者的效用函數可以表示為Ub=Vb-p，其中Vb為買者關于該物品的效用值，p表示買者購買該物品的價格。設賣者的效用函數為Us，則該賣者的效用函數可以表示為Us=p-Cs，其中p表示其價格值（報價），Cs表示賣者生產該物品的成本。

在拍賣開始前，買者先公布要采購的物品及該物品的m個質量屬性，以及拍賣開始的時間及時長；該采購采用第一得分密封拍賣的拍賣機制，且只允許每個賣者投標一次。然后，買者公布評分函數Sb和最低評分值S0、以及參與拍賣的賣者人數n。接下來，賣者在規定時間內出價。如果某個賣者不符合參加此次拍賣的條件，或者根據其給出的投標向量計算出的評分值低于最低評分值S0，則該賣者被淘汰，并退出該拍賣。最后，得分最高的賣者即為贏者，獲得此標的物，并且支付其投標向量中的價格值。

進一步的，假設賣者的人數n≥2，且：（1）買者和賣者都是理性的，都追求自身利益的最大化，都不會做出有損自己利益的行為。當一個賣者勝出時，其他賣者的效用均為0。（2）買者的偏好權重W是其私人信息。

為了便于后續的分析和計算，再假設：

假設1 對于物品的任一質量屬性j，買者的效用是遞增的，但是其邊際效用是遞減的，即?Ub/?qj＞0,?2Ub/?2qj＜0；任意一個賣者的生產成本是遞增的，邊際生產成本也是遞增的，即?Cj/?qj＞0,?2Cj/?2qj＞0。

對于買者而言，物品的某一質量屬性值提高，其效用增加是必然的，但是隨著該屬性值的進一步提高，其邊際效用是遞減的，這與實際情況相符合。而對于賣者而言，物品的某一質量屬性值提高，其成本必然增加。如果進一步提高該屬性值，則其成本會急劇增加，故而邊際生產成本是遞增的。

假設2 對于買賣雙方而言，關于該物品所有屬性的偏好之間都是相互獨立的。

當屬性個數1+m≥3時，如果某人關于物品屬性的偏好之間是相互獨立的，那么就足以保證其加性價值函數的存在[8-9]，即所有屬性的價值函數可以表示為各屬性邊際價值函數之和。

假設3 賣者給出的投標策略中所有質量屬性值必須大于或者等于1；否則，該賣者被淘汰，并退出拍賣。

本文中買者的評分函數和效用函數為對數函數，所以評分函數在屬性值為1時，其值為0，這意味著該屬性對買者而言其效用值為0。當該屬性值小于1時，即該屬性對買者而言效用值為負。因此，本文要求賣者給出的投標策略中的所有質量屬性值必須大于或者等于1。

根據以上假設，可以給出賣者的成本函數、效用函數以及買者的效用函數如下：

（1） 賣者的成本函數為[3]：

式中：Cs表示賣者的成本函數，θ表示其成本參數。本文假定成本參數θ為賣者的私人信息，并在上服從獨立均勻分布，其分布函數和密度函數分別為F（θ）和f（θ） 。此外，αi（αi＞ 0 ）表示賣者賦給屬性qi的權重，而 βi＞1表示生產成本邊際遞增。為了方便討論，本文假定賣者的屬性成本參數和指數都相同[3]。這里，為了使生產成本邊際遞增，賣者的成本函數使用了冪函數。

（2）賣者的效用函數為：

式中：p表示其價格值，且Us≥0表示效用不會為負，即其投標向量的價格值不能低于其成本。

（3）買者的效用函數為：

式中：p表示得分最高的賣者（即獲勝者）的價格值（即成交價）。Wi表示買者賦給屬性qi的權重以表示其對不同屬性的真實偏好程度，該值是買者的私人信息，δi＞1表示其效用邊際遞減。

在傳統的單屬性拍賣中，如果采用第一價格密封拍賣機制，那么報價最高的賣者獲勝。而在多屬性拍賣中，因為賣者提供的投標是一個價格屬性和m個質量屬性組成的多維向量；所以為了確定獲勝者、并使得買者的效用最大化，需要根據買者的偏好，設計一個評分函數。

（4） 評分函數為：

其中：p表示賣者的價格值，δi＞1表示買者的邊際收益遞減。wi為買者公布的關于質量屬性qi的偏好程度，wi表示質量屬性qi相對價格屬性的重要程度。若wi=Wi，則表示買者公布的偏好為真實偏好，若wi≠Wi，則表示買者公布的偏好偏離其真實偏好。同時，在本文中，wi和Wi均不滿足歸一化條件。需要注意的是，出于策略考慮，買方公布的這一評分函數可能會偏離其真實偏好。對于所有賣者而言，該評分函數是共同知識。

2 招投標策略分析

2.1 賣者投標策略。拍賣中，賣者根據買者公布的評分函數和物品的m個質量屬性要求，以及自身對這m個屬性的偏好，確定質量屬性qi的最優設計和最優報價，最終形成一個1+m維的投標向量。

命題1 對于任一賣者而言，當wi≥θβiαilnδi時，其最優投標向量中的質量屬性qi的最優設計是其最高價格值為

證明：由上述分析可以給出賣者的目標函數與約束函數如下：

為了求得最優解，引入拉格朗日函數，令：

根據條件極值的定理，對式（5） 中的價格值p、質量屬性值qi（i= 1,…,m ）以及參數λ求導，并令其等于0：

聯立上式可以求得：必須大于或者等于1，由假設3可知，則有≥1，即 wi≥θβiαilnδi。同時，通過觀察 pmax（）θ可以發現，其值就是令賣者的約束函數取等而得到的，因而也是其最高報價，對應的含義是該賣者在此條件下的評分值為S0。同時不難看出，用拉格朗日函數求出的價格值與最優質量屬性是無關的，所以當給定質量屬性值時，價格越高則評分越低，故而此時賣者的價格值為其最高報價。所以，命題1得證。

命題2 對于最優投標向量中質量屬性值都大于或等于1的任何一個賣者而言，當-S0≤0 時，該賣者將被淘汰。

證明：由于賣者是理性行為人，故而其投標是不會導致自己的效用為負的，故而令式（2）大于或者等于0，則有為了便于書寫，記由式（2）可知，賣者的最優效用值為其中p為價格值。故當pmax（）θ≤pmin，即-S0≤0，此時賣者的最優效用值為非正，其會被淘汰。所以，命題2得證。

相比采用冪函數作為評分函數的方法而言，采用對數函數作為評分函數會使得賣者的質量屬性必須滿足假設3和命題1、2中的條件，這樣會淘汰一部分某些質量屬性值低于臨界值而總得分比較高的賣者，從而保證物品的質量屬性值整體較高。

由命題1和命題2可知，當買者給定最低評分值S0時，賣者的最優價格為pmax（）θ，那么此時賣者的效用必然最大。然而，該賣者報價pmax（）θ時，其評分值為最低評分值S0，所以該賣者未必能夠贏得拍賣，此時其期望效用可能為0。所以，要使得其期望效用盡可能大，該賣者應該努力贏得該場拍賣，即該賣者應采用最優報價策略。

命題3 任一賣者的最優價格值為則其最優報價為p*（）θ；反之，該賣者將被淘汰。

證明：Che[3]給出了多屬性拍賣中最優價格值這里，將代入到上式中可得再將最優質量屬性代入可得到：

由于賣者的最高價格值為pmax（θ），若p*（θ）≤pmax（θ），則該賣者的最優報價為p*（θ）；當p*（θ）＞pmax（θ）時，意味著賣者的最優報價超過了其最高報價（賣者效用為0），所以賣者的最終報價為pmax（θ），但由于各賣者的θ值不完全相等，且都是理性人，故而該賣者不會贏得拍賣，所以其被淘汰。所以，命題3得證。

2.2 賣者期望效用。由命題1可知賣者最高報價為pmax（θ），如果p*（θ） ＞pmax（θ），那么賣者的最優價格值為pmax（θ）。此時，其得分為S0，由于各賣者的θ值不完全相等、且賣方都是理性人，所以該賣者不會贏得拍賣。在2.1節中，討論了賣者的最優投標策略，給出了賣者的最優質量屬性和最優價格的值。因此，得知賣者的最優投標向量為據此可以計算出賣者的期望效用Es：

其中：Us表示獲勝者的效用函數，n表示賣者的數量， （1- F（θ））表示獲勝者的競爭對手的成本參數比獲勝者的成本參數大的概率；否則，獲勝者是不可能獲勝的。故而，將式（2）、式（9）以及最優質量屬性和θ的分布函數代入式（10）中可得：

2.3 買者的期望效用及偏離真實偏好的情形。在2.1節中，本文討論了賣者的最優投標策略，即最優投標向量

這里，買者的期望效用需采用所有賣者中得分最高的賣者的最優投標向量、并結合買者的效用函數來計算。于是，利用此投標向量可以計算出買者的期望效用Eb，即：

其中：Ub表示買者的效用函數， （1- F（y））n-1表示成本參數為y的賣者獲勝的概率。將公式（3） 以及最優投標向量代入到公式（12） 中，則有：

經過整理可得：

上文中，討論了買者的期望效用，但是很明顯買者公布的評分函數直接影響期望效用的大小。所以，在賣者的信息未知時，如果想讓買者的期望效用最大，那么買者公布的偏好系數wi有可能偏離其真實偏好Wi。

命題4 對于任一賣者，買者公布的評分函數中買者對質量屬性q的最優偏好系數與其真實偏好系數W的關系為：

ii其中dx時，能夠使得買者的期望效用最大。

證明：從上文中可知，買者的期望效用Eb中包含有wi，故而直接對Eb求取wi的偏導數，則有：

令dx，則上式為觀察式子可以發現，A的大小對wi取值范圍起重要的作用。觀察A可以得到即 A＜1；同時有，A所以A的取值范圍為＜A＜1。故而此時買者的期望效用是遞增的。再令時，能夠使買者的期望效用最大化。故而，命題4得證。

由命題4可以看出

＜Wi，而成本參數θ最小的賣者最有可能贏得該拍賣，所以無論買者是否偏離關于質量屬性的真實偏好，贏得該拍賣的賣者不會改變，但買者偏離真實偏好會使得賣者提交的最優價格值變低，這對買者有利。

3 一個案例

某公司要以招投標的方式采購某一件物品。假定該公司看重賣者的報價p、物品的質量q1和售后服務q2等3個屬性。同時，該公司決定采取第一得分密封拍賣方式來招標采購該物品。現有3個供應商參加本次招投標。

給定該公司（招標方，即買者）的效用函數為Ub=-p+3log1.5q1+0.8log1.6q2，初始評分值S0=0，則有W1=3,W2=0.8；在該次招標中，公布的評分函數是該公司的真實偏好，即wi=Wi。給定供應商的效用函數為其中θ在［0.1, ］1上服從均勻分布，假定3個供應商的成本參數依次為θ1=0.2,θ2=0.5,θ3=0.8。根據上文中給出的命題，可計算出該多屬性拍賣的結果，拍賣結果詳見表1。

表1 供應商的占優投標策略

由表1可以看出，成本參數最低的供應商1將獲勝，與命題4得出的結論相一致。此時，其評分值和買方的效用值相同，均為1.529；同時，可以發現，供應商2和供應商3的評分值為負數，經過檢驗發現，供應商2和供應商3的成本參數、成本系數等參數不滿足命題2的相關條件，因此供應商2和供應商3應退出該招標。

由表1還可以看出，買者的效用值為1.529，但此時買者的效用值不一定是最大的。進一步的，利用命題4可計算出買者公布的偏好系數應為w1=1.776,w2=0.475。根據本文中的命題可知，供應商1獲勝，其最優質量屬性為=1.589，其價格值為p*（）θ=5.542。此時買者的效用值為1.543＞1.529。同時，對比供應商1在買者公布真實偏好和偏離真實偏好下給出的最優質量屬性值和最優價格值可以發現，當買者偏離真實偏好時，賣者給出的價格值較低，這會降低買者采購該物品的成本，所以，偏離真實偏好對買者有利。值得注意的是，偏好系數wi與Wi的關系是基于招標方期望效用最大化的條件下得到的。

4 結束語

在大多數文章中，冪函數通常被作為買賣雙方的效用函數以及評分函數。本文采用對數效用函數和冪效用函數相結合的方法，以逆向多屬性采購拍賣為背景，在第一得分密封拍賣機制下建立了一種逆向多屬性拍賣的模型。借助該模型，本文分析了賣者參與該拍賣的條件、最優策略及其期望效用，證明了拍賣的有效性，并討論了基于買者期望效用最大化的評分函數系數設計，在該設計中，公布的評分函數系數偏離真實偏好對買者有利。

本文的研究是基于一定假設的，比如賣者的成本參數的分布函數、成本系數和指數相同等，這些均是今后研究需要進一步放松的。

參考文獻：

[1]Che Y K.Design competition through multidimensional auctions[J].The RAND Journal of Economics,1993,24(4):668-680.

[2]Branco F.The design of multidimensional auctions[J].The RAND Journal of Economics,1997,28(1):63-81.

[3]David E,Azoulay-Schwartz R,Kraus S.Bidding in sealed-bid and English multi-attribute auctions[J].Decision Support Systems,2006,42(2):527-556.

[4]Bichler M.An experimental analysis of multi-attribute auctions[J].Decision Support Systems,2000,29(3):249-268.

[5]Ganuza J J.Ignorance promotes competition:an auction model with endogenous private valuations[J].Rand Journal of Economics,2004,35(3):583-598.

[6]姚升保.基于冪效用函數的多屬性英式拍賣研究[J].中國管理科學，2013,21(6):132-138.

[7]曾憲科，馮玉強.逆向多屬性拍賣投標策略及收益性分析[J].管理科學學報，2015,18(9):24-33.

[8]岳超源.決策理論與方法[M].北京：科學出版社，2003.

[9]Krantz D H,Suppes P,Luce R D.Foundations of measurement[M].Academic Press,1971.