基于高斯偽譜法的吸氣式高超聲速飛行器爬升彈道優(yōu)化研究

，，

(北京空天技術(shù)研究所，北京 100074)

0 引言

在吸氣式高超聲速飛行器技術(shù)研究中，彈道設(shè)計(jì)[1]在飛行器設(shè)計(jì)中占有十分重要的地位，是使吸氣式高超聲速飛行器具有可行性和有效性的關(guān)鍵。與傳統(tǒng)的飛行器不同，吸氣式高超聲速飛行器具有跨大空域、跨大速度范圍的飛行包線、嚴(yán)酷的氣動(dòng)熱環(huán)境、復(fù)雜的氣動(dòng)載荷、苛刻的發(fā)動(dòng)機(jī)工作條件、嚴(yán)重氣動(dòng)耦合、大氣參數(shù)依賴程度高與參數(shù)的劇烈變化等特點(diǎn)，使其彈道設(shè)計(jì)成為總體方案中的一個(gè)重要難點(diǎn)。因此，研究一種能夠同時(shí)考慮多種約束條件，適應(yīng)廣泛不確定性的方案彈道設(shè)計(jì)方法，具有十分重要的意義。

在工程應(yīng)用中，傳統(tǒng)的彈道設(shè)計(jì)方法是基于經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)程序攻角，形成方案彈道。該方法在傳統(tǒng)型號(hào)的研制中起著十分重要的作用，有著良好的效果。但是隨著飛行任務(wù)種類的多樣，飛行環(huán)境的嚴(yán)苛，飛行器結(jié)構(gòu)的復(fù)雜，新型飛行器的設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)不足，致使傳統(tǒng)彈道設(shè)計(jì)方法弊端凸顯。首先，在飛行走廊約束不強(qiáng)時(shí)，僅能完成飛行任務(wù)，無(wú)法實(shí)現(xiàn)飛行器最優(yōu)性能；其次，在飛行走廊狹窄，約束苛刻時(shí)，在有限次數(shù)的調(diào)試中，難以找到可行的程序彈道；最后，傳統(tǒng)的彈道設(shè)計(jì)方法需要反復(fù)多次修正，耗時(shí)長(zhǎng)。

彈道優(yōu)化思想起源于最優(yōu)控制問(wèn)題解決方法，一般分為兩類，直接法和間接法[2-3]。間接法精度高，但是推導(dǎo)最優(yōu)解的過(guò)程復(fù)雜繁瑣，對(duì)初值估計(jì)精度要求高，且初值變量無(wú)物理意義，難以估算，使得該方法的應(yīng)用受到很大限制；直接法隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，受到廣大學(xué)者的青睞，并廣泛應(yīng)用于彈道優(yōu)化問(wèn)題，該方法通過(guò)將最優(yōu)控制問(wèn)題的變量參數(shù)化，轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行求解，進(jìn)而衍生出來(lái)的方法包括：直接打靶法[4]、配點(diǎn)法[5]、偽譜法[6]、微分包含法[7]、動(dòng)態(tài)逆方法[8]等等。

本文選取吸氣式高超聲速飛行器為研究對(duì)象，因飛行器結(jié)構(gòu)外形特點(diǎn)，使其具有氣動(dòng)/推進(jìn)/彈性耦合特性，與傳統(tǒng)飛行器總體設(shè)計(jì)相比總體設(shè)計(jì)域較窄，給彈道優(yōu)化與設(shè)計(jì)帶來(lái)較大困難。為滿足結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、結(jié)構(gòu)熱以及控制設(shè)計(jì)需求，飛行器彈道約束[9]嚴(yán)苛，用傳統(tǒng)的方案彈道設(shè)計(jì)方法很難確定較為理想的彈道。本文采用高斯偽譜法[10](Gauss Pseudospectral Method，GPM)求解吸氣式高超聲速飛行器的上升段彈道。

1 彈道優(yōu)化模型

1.1 高超聲速飛行器運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

對(duì)于吸氣式高超聲速飛行器采用如下運(yùn)動(dòng)學(xué)模型：

(1)

其中，P是發(fā)動(dòng)機(jī)推力；X是阻力；θ是彈道傾角；α是飛行攻角；R是地球半徑；h是飛行高度；x是射程；mc是燃油流量；V是飛行速度。

1.2 飛行任務(wù)剖面

以一種空射高超聲速飛行器為例，如圖1所示，飛行任務(wù)共分為五段：帶飛段、助推段、爬升段、巡航段和無(wú)動(dòng)力下滑段。飛機(jī)帶飛至指定發(fā)射點(diǎn)投放發(fā)射，發(fā)射后助推器點(diǎn)火，一級(jí)加速爬升，在預(yù)定的分離窗口進(jìn)行保護(hù)罩分離和級(jí)間分離，隨后調(diào)整姿態(tài)進(jìn)入轉(zhuǎn)級(jí)窗口；然后，超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火接力，繼續(xù)加速爬升，到達(dá)預(yù)定高度后按規(guī)劃彈道巡航飛行；最后關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，并無(wú)動(dòng)力滑行下降。

圖 1 飛行任務(wù)剖面Fig.1 Flight mission profile

1.3 約束條件和性能指標(biāo)

在高超聲速飛行條件下，嚴(yán)重的氣動(dòng)熱，發(fā)動(dòng)機(jī)苛刻的工作條件，氣動(dòng)耦合及參數(shù)的劇烈變化，使得高超聲速飛行器必須滿足諸多過(guò)程約束和終端約束。本文選取動(dòng)壓、過(guò)載、熱流、控制量為過(guò)程約束，末端高度、攻角為終端約束進(jìn)行研究。

(1)過(guò)程約束

動(dòng)壓約束：

為滿足吸氣式高超聲速飛行器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與控制效率的要求，對(duì)動(dòng)壓應(yīng)有相應(yīng)的約束。

(2)

過(guò)載約束：

因?yàn)轱w行器結(jié)構(gòu)剛度所能承受的壓力是有限的，所以過(guò)載不可過(guò)大，同時(shí)要滿足一定的機(jī)動(dòng)性，因此過(guò)載也不能過(guò)小。過(guò)載約束為：

nxdown≤nx≤nxup

nydown≤ny≤nyup

(3)

熱流約束：

由于高超聲速飛行器速度快，導(dǎo)致飛行器所承受的氣動(dòng)熱效應(yīng)嚴(yán)重，為防止結(jié)構(gòu)因高溫發(fā)生損壞，所以需對(duì)熱流進(jìn)行約束

≤qs_max

(4)

控制量約束：

由于飛行器結(jié)構(gòu)、超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)與姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的限制，吸氣式高超聲速飛行器飛行時(shí)的攻角不能過(guò)大，對(duì)攻角應(yīng)有相應(yīng)約束。

αdown_p≤α(t)≤αup_p

(5)

(2)終端約束

為保證飛行器級(jí)間正常分離和超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)正常點(diǎn)火，需要對(duì)終端的飛行攻角和高度進(jìn)行限制。

終端高度約束：

Hdown≤H(tf)≤Hup

(6)

終端攻角約束：

αdown≤α(tf)≤αup

(7)

(3)性能指標(biāo)

為了超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)在點(diǎn)火窗口能夠穩(wěn)定點(diǎn)火一段時(shí)間，需要飛行器高度變化小，進(jìn)而需要較小的彈道傾角，選取末端彈道傾角為優(yōu)化指標(biāo)

J=-θ(tf)

(8)

吸氣式高超聲速飛行器爬升段彈道優(yōu)化問(wèn)題可歸結(jié)為初始狀態(tài)固定，終端狀態(tài)受約束，終端時(shí)刻自由的非線性動(dòng)態(tài)優(yōu)化問(wèn)題。

2 高斯偽譜法

高斯偽譜法的解算步驟為，首先，在一系列的LG(Legendre-Gauss)節(jié)點(diǎn)上將狀態(tài)變量和控制變量進(jìn)行離散；然后，采用全局多項(xiàng)式插值，對(duì)控制變量和狀態(tài)變量進(jìn)行近似，從而將系統(tǒng)的微分約束轉(zhuǎn)化為一組代數(shù)約束；最后，以節(jié)點(diǎn)處的狀態(tài)變量和控制變量作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，進(jìn)而將彈道優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問(wèn)題求解。

(1)動(dòng)力學(xué)微分方程的離散

考慮一般形式的非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

(9)

其中，x(t)∈Rn是狀態(tài)變量，u(t)∈Rn是控制變量，f:Rn×Rn→Rn為連續(xù)向量函數(shù)。采用高斯偽譜法需要將時(shí)間區(qū)間[t0,tf]轉(zhuǎn)換到[-1,1]，為此引入變量τ對(duì)時(shí)間t進(jìn)行變換

(10)

通過(guò)LG點(diǎn)以及τ0=-1上的狀態(tài)變量構(gòu)造Lagrange插值多項(xiàng)式近似狀態(tài)變量，得到

(11)

其中，Li(τ)為插值基函數(shù)，τi為L(zhǎng)G點(diǎn)

(12)

x(τi)=X(τi),(i=0,…,K)狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)可通過(guò)對(duì)Lagrange插值多項(xiàng)式求導(dǎo)來(lái)近似，從而將動(dòng)力學(xué)微分方程約束轉(zhuǎn)換為代數(shù)約束。即

(13)

其中，微分矩陣D∈RK×(K+1)的表達(dá)式如下

(14)

可得到配點(diǎn)上應(yīng)滿足的代數(shù)方程

τk;t0,tf]=0, (k=1,…,K)

(15)

(16)

(2)過(guò)程約束

對(duì)于過(guò)程約束，認(rèn)為只要離散節(jié)點(diǎn)處滿足過(guò)程約束，全程即滿足過(guò)程約束，即

C(Xk,Uk,τk;t0,tf)≤0 (k=1,…,K)

(17)

(3)終端狀態(tài)約束

最優(yōu)控制問(wèn)題往往包含終端狀態(tài)約束，而Lagrange插值多項(xiàng)式公式中未定義終端狀態(tài)xf，不過(guò)終端狀態(tài)也應(yīng)滿足動(dòng)力學(xué)方程約束，根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程有

(18)

將終端狀態(tài)約束條件離散并用高斯積分來(lái)近似，可得

U(τk),τk;t0,tf]

(19)

為高斯權(quán)重，τk為L(zhǎng)G點(diǎn)。

(4)控制量約束

控制量的約束條件在高斯偽譜法中的處理相對(duì)簡(jiǎn)單，只需在LG點(diǎn)滿足約束條件，即

C1′≤Uk≤C2′ (k=1,…,K)

(20)

若當(dāng)控制量u的導(dǎo)數(shù)有約束時(shí)，可通過(guò)對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，在LG點(diǎn)處令其滿足約束要求，即

(21)

(5)性能指標(biāo)函數(shù)的近似

將Bolza型性能指標(biāo)函數(shù)

J=φ[x(τ0),t0,x(τf),tf]+

(22)

式中的積分項(xiàng)用高斯積分來(lái)近似，得到高斯偽譜法中的性能指標(biāo)函數(shù)

J=φ[X(τ0),t0,X(τf),tf]+

(23)

根據(jù)以上的數(shù)學(xué)變換，文中的彈道優(yōu)化問(wèn)題可以描述為：在[t0,tf]時(shí)間內(nèi)，確定離散點(diǎn)上的狀態(tài)變量Xk(k=1,…,n)、控制變量Uk(k=1,…,n)和終端時(shí)刻tf，使得在滿足上述約束條件的情況下性能指標(biāo)J最小。從而將無(wú)限維的最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)換為一般的非線性規(guī)劃問(wèn)題。非線性規(guī)劃問(wèn)題的求解方法很多，本文選取穩(wěn)定性和精度較優(yōu)的序列二次規(guī)劃算法[11]進(jìn)行求解,其求解過(guò)程如圖2所示，其算法流程如下：

1)選擇適當(dāng)?shù)某跏键c(diǎn)x0、正定對(duì)稱矩陣B0(一般令B0=I)、罰因子r=0，令k=0；

2)計(jì)算目標(biāo)函數(shù)及約束函數(shù)值；

3)計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)；

4)根據(jù)式|xk+1-xk|<ζ(ζ是極小的正數(shù))，判斷是否收斂，若收斂則停止計(jì)算，否則轉(zhuǎn)5)繼續(xù)計(jì)算；

5)解線性規(guī)劃子問(wèn)題得到(dk,λk+1)；

6)更新罰因子；

7)計(jì)算罰函數(shù)值；

8)通過(guò)一維搜索，確定步長(zhǎng)α，得到xk+1；

9)更新矩陣Bk，轉(zhuǎn)2)。

SQP算法在實(shí)際運(yùn)用中，需要適當(dāng)選取初始參數(shù)，如果選取得當(dāng)，能夠加速迭代過(guò)程。參數(shù)的選取應(yīng)符合實(shí)際問(wèn)題的物理意義，否則，可能會(huì)得到不正確的結(jié)果。根據(jù)具體問(wèn)題的物理意義和實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，有助于較好地選取初始參數(shù)。

圖 2 序列二次規(guī)劃算法流程圖Fig.2 Sequential quadratic programming algorithm flow chart

3 算例仿真與分析

假設(shè)飛行器投放高度為9km，投放初始速度為Ma0.7，投放時(shí)刻彈道傾角為0°，取末端攻角約束-1°≤α(tf)≤1°，末端高度約束15km≤H(tf)≤18km，控制約束分別取-16°≤α(t)≤20°，并以末端彈道傾角最小作為優(yōu)化指標(biāo)。仿真結(jié)果如圖3所示。

(a)速度隨時(shí)間變化曲線

(b) 彈道傾角隨時(shí)間變化曲線

(c)高度隨水平位移變化曲線

(d) 攻角隨時(shí)間變化曲線

(e)動(dòng)壓隨時(shí)間變化曲線圖 3 彈道仿真結(jié)果Fig.3 Trajectory simulation results

圖3中，紅色的點(diǎn)為通過(guò)偽譜法得到的各狀態(tài)變量在離散點(diǎn)處的值，藍(lán)色曲線為將優(yōu)化得到的最優(yōu)控制變量代入到動(dòng)力學(xué)方程，對(duì)各狀態(tài)變量進(jìn)行數(shù)值積分得到的各狀態(tài)變量變化曲線。仿真結(jié)果表明，各狀態(tài)變量隨時(shí)間變化曲線平緩，在滿足動(dòng)壓、攻角、過(guò)載等變量約束的前提下，能夠很好地收斂到終端約束值。末端彈道傾角為0，實(shí)現(xiàn)了末端彈道傾角最小這一性能指標(biāo)。

采用偽譜法能夠同時(shí)得到控制變量和狀態(tài)變量。飛行器在實(shí)際飛行過(guò)程中，在已知飛行狀態(tài)初始值的前提下，狀態(tài)變量可以通過(guò)控制變量對(duì)飛行器動(dòng)力學(xué)方程中的狀態(tài)進(jìn)行積分獲得。如果優(yōu)化得到的狀態(tài)變量和通過(guò)積分得到的狀態(tài)量值相等，優(yōu)化結(jié)果精確可信，算法有效?；谏鲜鏊枷耄容^藍(lán)色曲線和紅色點(diǎn)組成的曲線，兩者基本吻合，從圖中難以區(qū)分差異，可以說(shuō)明該方法精度較高，且結(jié)果正確。

在彈道設(shè)計(jì)過(guò)程中，該方法只需對(duì)控制變量、狀態(tài)變量在某性特定階段的約束進(jìn)行限制，通過(guò)優(yōu)化算法可得到滿足約束條件的彈道，最大限度地發(fā)揮飛行器的性能。同時(shí)，以非解析形式，能夠更為精細(xì)地調(diào)整優(yōu)化彈道。

4 結(jié)論

文中建立了以末端彈道傾角最小為性能指標(biāo)的吸氣式高超聲速飛行器彈道優(yōu)化模型，采用高斯偽譜法對(duì)該模型進(jìn)行了求解，對(duì)控制變量進(jìn)行諸多約束限制。仿真結(jié)果表明，該算法優(yōu)化得到的彈道的狀態(tài)變量能夠在滿足過(guò)程約束和終端約束的情況下，使得性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)；計(jì)算精度高，相比傳統(tǒng)的方案彈道設(shè)計(jì)方法，避免了反復(fù)，提高了設(shè)計(jì)效率，可為吸氣式高超聲速飛行器彈道設(shè)計(jì)提供參考。

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