基于代理模型的高效全局低音爆優化設計方法

喬建領，韓忠華，宋文萍

西北工業大學 航空學院 翼型葉柵空氣動力學國家級重點實驗室，西安 710072

第一代超聲速客機商業運營的失敗，很大程度上是由音爆噪聲等環境問題造成的。隨著航空科學技術的進步，20世紀90年代中后期又掀起了一輪低音爆超聲速客機研究熱潮。發展新一代低音爆超聲速客機主要面臨兩個關鍵問題：超聲速飛行過程中地面音爆強度計算和低音爆氣動布局優化設計[1]。

音爆是飛行器在超聲速飛行時產生的一種特有的聲學現象。在超聲速飛行條件下，飛機對氣流擾動會形成激波和膨脹波；激波和膨脹波在傳播過程中經過演化、匯聚、耗散等作用后傳至地面時，人們會聽到類似“爆炸”的聲音。在對音爆進行研究時，一般將音爆從飛機到地面的傳播過程分為近場、中場和遠場。其中，遠場(地面)音爆強度水平是超聲速飛機設計中最須關注的問題之一。國外從20世紀50年代開始，對音爆現象作了系統性研究，發展了基于線化理論的音爆預測方法[2-6]、簡化音爆預測方法[7]、波形參數法[8]和Burgers方程法[9]。近年來，隨著計算流體力學(CFD)技術的發展，CFD被應用于音爆預測。目前國外學者發展了CFD與波形參數法[10]、全流場CFD求解法[11]和CFD與Burgers方程匹配法[12-13]。針對音爆預測方法，國內研究人員也開展了大量研究[1, 14-16]。

低音爆氣動布局優化設計是通過優化算法得到音爆響應較低的外形。馮曉強等[17]運用遺傳算法開展了機體容積和音爆響應的多目標優化研究，并得到考慮音爆響應的多目標問題的Pareto解。Choi等[18]在多學科飛機綜合分析工具(PASS)基礎上通過建立飛行性能和音爆的多可信度響應面模型，并運用單純形方法(Nelder-Mead Simplex)進行了低音爆超聲速公務機的優化。優化過程中以建立的響應面模型代替直接的飛行性能分析和音爆分析，從而減少費時的數值分析次數。Chan[19]在其博士論文中運用多目標遺傳算法等優化方法，對兩款超聲速公務機進行了低阻力和低音爆的優化設計。Farhat等[20]將Whitham修正線化音爆預測理論與梯度優化算法相結合，發展了適用于超聲速客機的快速低音爆優化設計方法。Aftosmis等[21]將基于Adjoint的梯度優化方法應用于低音爆優化設計，完成了灣流公司超聲速公務機的優化設計，地面音爆響應降低了約10 dB。Wintzer和Kroo[22]也將Adjoint的梯度優化方法應用于低音爆優化設計，完成了低音爆公務機的概念設計。Rallabhandi[23-24]推導出耦合CFD近場計算與基于Burgers方程遠場傳播模型的伴隨方程，并應用到超聲速客機的低音爆優化設計中。

由上述文獻調研可知，在低音爆優化設計領域，遺傳算法等啟發式優化和基于Adjoint的梯度優化是目前應用較多的方法[17-27]。遺傳算法等啟發式優化算法雖然具有全局優化能力，但是優化效率低，在引入高精度的音爆預測方法(需要求解CFD)時，其計算量難以承受。而梯度優化方法雖然效率高，但屬于局部優化，優化結果依賴于起始點的選擇。

為了解決低音爆優化中全局性和高效性難以兼顧的問題，本文將最新發展的代理優化(Surrogate-Based Optimization, SBO)算法應用于低音爆優化設計，發展了一種高效全局的低音爆優化設計方法。其中，遠場音爆分析可采用高精度的方法，但為了方便研究代理優化在低音爆領域的應用潛力，本文采用Whitham方法對遠場音爆強度進行分析。選取NASA圓錐體模型對低音爆優化方法進行驗證，并與梯度優化和遺傳算法的結果進行比較，之后將該方法應用于2014年音爆預測大會翼身組合體標模的低音爆優化設計，展示了該方法在復雜外形低音爆優化設計方面的潛力。

1 音爆預測方法

Whitham發展的線化音爆預測理論是根據超聲速旋成體理論修正得到的(本文稱為“Whitham理論”)，不用求解流場，計算簡單、速度快，計算結果精度比較合理，很適合于飛機初步設計階段的低音爆布局優化和低音爆優化方法研究。Whitham理論詳細推導過程參見文獻[2]。

1.1 線化音爆預測理論

Whitham將線化超聲速細長旋成體理論中特征線是相互平行的假設進行非線性修正，給出精度較高的特征線描述，獲得用于計算近場壓強信號和遠場音爆強度的公式。其中，計算近場壓強信號的公式為

(1)

(2)

其中：S″(ξ)為軸向站位ξ處馬赫錐所截有效截面積對ξ的二階導數；y為特征線相關參數[2]。

近場壓強信號在向遠場傳播的過程中，由于激波的匯聚，擾動壓強在一定條件下會在遠場形成N型波。遠場N型波強度的計算公式為

(3)

式(3)為自由空間中過壓值的計算式，當觀測點位于地面時，考慮地面反射效應因子KR，有

(4)

1.2 算例驗證

根據線化音爆預測方法開發了相應程序，并選取NASA多段圓錐體模型的試驗數據[28]進行驗證。圖 1為模型示意圖，其半徑公式為

r=

(5)

式中：l=2 in(1 in≈2.54 cm)；x為圓錐體軸向坐標。

計算時來流馬赫數分別為1.26、1.41和2.01，近場音爆信號的觀測位置為模型正下方離軸線h=10l處(見圖 2)。圖 3為應用線化音爆預測方法計算的近場壓強信號與試驗值的對比。由計算結果與試驗值的對比可知，雖然較高馬赫數下(圖 3(c))的計算結果與試驗值還存在一定誤差，但總體而言，3種狀態下計算值與試驗值均吻合較好，驗證了本文開發的音爆預測程序的正確性。同時可以看到，由于該音爆預測方法沒有考慮大氣黏性效應，所以圖 3中計算所得近場壓強信號的后激波過強。

圖1 NASA圓錐體模型Fig.1 NASA cone model

圖2 NASA圓錐體模型近場壓強信號試驗觀測位置Fig.2 Experimentally observed position of near-field pressure signature for NASA cone model

圖3 近場壓強信號計算值與試驗值的對比Fig.3 Comparison between calculation and experimental data of near-field pressure signature

2 代理優化方法及低音爆優化設計

本節概述代理優化方法的幾個關鍵要素和基于代理模型的低音爆優化設計流程。代理優化的關鍵要素包括試驗設計、代理模型及模型訓練、優化加點及約束處理、優化收斂判斷等，其詳細內容見文獻[29]。

2.1 試驗設計

樣本點集是建立代理模型的基礎?，F代試驗設計方法主要有擬蒙特卡洛方法、準蒙特卡洛方法、拉丁超立方抽樣(Latin Hypercube Sampling, LHS)、正交試驗設計和均勻設計等[30]，其中較為流行的是拉丁超立方和均勻設計方法。本文在進行優化時選擇拉丁超立方抽樣方法。

2.2 代理模型及模型訓練

代理模型是指在分析和優化過程中可“代替”相對復雜和費時的物理分析模型的一種近似數學模型。目前已發展出多種模型，本文在優化過程中選擇Kriging模型[31-33]。

Kriging模型將未知函數看作某一高斯隨機過程的具體表現，相應隨機函數Y(x)的表達式為

Y(x)=β0+Z(x)

(6)

式中：β0為未知函數，是Y(x)的數學期望；Z(x)為均值為0、方差為σ2的靜態隨機過程。

Kriging模型的具體建模過程詳見文獻[29]。建模過程涉及相關函數的選擇和計算，本文選擇的相關函數為“三次樣條函數”，其表達式為

Rk(θk,x(i)-x(j))=

(7)

2.3 優化加點準則

優化加點準則是指根據所建立的代理模型增加新樣本點的準則。加點的目的是擴充樣本集合，提高代理模型的預測精度。代理優化的本質是采用某種加點準則產生新樣本點，并使這些樣本點逐步落入最優點或其附近。目前已經有多種加點準則，較為流行的有EI(Expected Improvement)準則、MSP(Minimum of Surrogate Prediction)準則、MSE(Mean Squared Error)準則、LCB(Lower Confidence Bounding)準則和PI(Probability of Improvement)準則等[34-36]。本文選擇“EI+MSP”的組合加點準則。

2.4 優化收斂判斷條件

本文綜合采用文獻[29]中所述的4種判斷方法進行優化收斂判斷。

2.5 低音爆優化設計流程

將代理優化方法應用于低音爆優化設計，以提高低音爆優化的效果和效率，特別是當遠場音爆計算方法涉及流場求解時其效果更為顯著。圖4為運用代理優化方法進行低音爆優化設計的流程，低音爆優化方法不單指前面介紹的Whitham理論，也可以是其他精度較高的遠場音爆預測算法。本文為方便驗證代理優化應用于低音爆優化的可行性和應用于復雜外形低音爆優化的潛力，選擇計算速度高、精度可接受的Whitham理論進行遠場音爆分析。在低音爆優化過程中，可將遠場N型波峰值或遠場感覺聲壓級作為優化目標，對飛機外形進行優化設計[22, 24-26]。

圖4 基于代理模型的低音爆優化設計流程Fig.4 Framework of surrogate-based low boom optimization design

3 代理優化應用于低音爆優化設計的算例

本節將代理優化方法應用于NASA圓錐體模型和2014年音爆預測大會翼身組合體標準模型的低音爆優化設計。以NASA圓錐體優化算例來驗證代理優化應用的適用性和優越性，以翼身組合體優化算例來說明代理優化在低音爆優化領域的應用潛力。

3.1 NASA圓錐體模型的低音爆優化

3.1.1 外形參數化及優化數學模型

以1.2節中的NASA圓錐體模型(圖 1)為基準外形進行低音爆優化設計。外形參數化及優化問題的數學模型建立過程如下。

圓錐體模型參數化如圖 5所示。r1、r2分別表示頭部圓錐體的最大半徑和整個模型的最大半徑，l1、l2、l3分別表示NASA圓錐體模型頭部圓錐體長度、中間圓柱長度和后部圓臺長度。模型參數化后，其半徑沿軸向的分布為

(8)

表1為表征NASA圓錐體模型的5個參數的取值范圍。

圖5 NASA多段圓錐體模型參數化示意圖Fig.5 Sketch of parameterization of NASA stepped cone model

表1NASA圓錐體模型低音爆優化設計變量的取值范圍

Table1RangeofdesignvariablesforlowboomoptimizationdesignofNASAconemodel

Typel1/inl2/inl3/inr1/inr2/inBaseline0．51．00．50．50．08/π0．04/πUpperbound0．20．50．20．050．09Lowerbound1．01．51．00．090．13

優化設計的目標函數為遠場(h/l=1 000，見圖 6)音爆N型波的峰值，3種設計狀態的來流馬赫數分別為1.26、1.60和2.00。相應的數學模型為

(9)

式中：V0=0.038 047 in3為基準模型的體積。前2個約束(C1、C2)為多段圓錐體的長度約束；最后1個約束(C3)為體積約束，以保證l1、l2、l3三段總體積不減。

圖6 NASA圓錐體模型低音爆優化中遠場N型波的計算位置Fig.6 Calculated position of far-field N-wave for low-boom optimization of NASA cone model

3.1.2 低音爆優化設計結果

低音爆優化設計流程是在課題組開發的代理優化軟件SurroOpt[37]上，結合1.1節中介紹的線性音爆預測方法建立的。優化過程中，采用LHS試驗設計得到20個初始樣本點，并建立Kriging模型，加點準則為“EI+MSP”組合加點，最大樣本點個數為300。3種設計狀態的收斂歷程如圖 7所示，圖中縱坐標“Obj”為優化目標響應值，橫坐標“Evaluation”為音爆分析次數,“DoE”表示通過試驗設計獲得的初始樣本點。

圖7 3種設計狀態下NASA圓錐體模型低音爆優化設計中目標函數的收斂歷程Fig.7 Convergence histories of objective function values at three design states for low boom optimization design of NASA cone model

表2 優化前后NASA圓錐體模型的設計變量及遠場聲壓級對比Table 2 Comparison of design variables and far-field sound pressure levels between baseline and optimal NASA cone models

注：表中數據為四舍五入后的值；約束≥0表示滿足約束，當約束=0時，表示該約束為主動約束。

3.1.3 代理優化、梯度優化和遺傳算法的結果對比

為說明代理優化算法在低音爆優化設計領域中應用的優越性，分別采用遺傳算法和梯度優化算法(序列二次規劃(SQP)[38])對Ma=1.26狀態下的NASA圓錐體模型進行低音爆優化設計，并與代理優化結果進行對比。遺傳算法的種群規模為500，最大進化代數為100，交叉概率為0.9，變異概率為0.05。由于梯度優化算法的優化結果與起始點的選擇密切相關，在運用SQP算法進行低音爆優化時，考慮基準外形、最優外形附近及其他位置選取了4個起始點(分別記為x1、x2、x3、x4)，其具體取值及相應點處的約束和目標函數值如表 3所示。表 4為代理優化結果與遺傳算法和SQP算法的優化結果對比，“SQP+xi”表示以xi(i=1,2,3,4)為起始點的SQP算法，最右邊一列中“147f”表示147次的目標函數計算，“127g”表示127次的目標函數梯度計算。

圖8 3種設計狀態下NASA圓錐體模型優化前后的外形對比Fig.8 Comparison of geometries between baseline and optimal NASA cone models at three design states

圖9 優化前后NASA圓錐體模型的遠場N型波和近場壓強信號對比(Ma=1.26)Fig.9 Comparison of far-field N-wave and near-field pressure signatures between baseline and optimal NASA cone models (Ma=1.26)

圖10 優化前后NASA圓錐體模型的遠場N型波和近場壓強信號對比(Ma=1.60)Fig.10 Comparison of far-field N-wave and near-field pressure signatures between baseline and optimal NASA cone models (Ma=1.60)

圖11 優化前后NASA圓錐體模型的遠場N型波和近場壓強信號對比(Ma=2.00)Fig.11 Comparison of far-field N-wave and near-field pressure signatures between baseline and optimal NASA cone models (Ma=2.00)

由表 3和表 4可知，針對該低音爆優化設計問題，SQP算法的優化結果在一定程度上依賴于起始點的選擇，起始點不同，優化解不同。分別以基準外形(x1)和最優外形附近點(x4)為起始點時，遠場音爆N型波強度基本降低到了最低水平；而以其他位置(x2和x3)為起始點時，優化外形相對于基準外形的遠場音爆N型波強度雖然都有不同程度的減弱，但都沒有達到全局最優。出現這一現象的原因是設計空間內存在多極值，梯度優化易陷入局部最優。此外，由表 4可知，遺傳算法雖然具有全局優化能力，但在優化過程中需要大量的目標函數計算，造成巨大的信息浪費，因此其優化效率很低。

綜上所述，與梯度優化相比，代理優化算法的結果不依賴于起始點的選擇，能夠獲得全局最優解；而與遺傳算法相比，代理優化算法的效率高了2個量級以上。結果表明，代理優化算法在低音爆優化設計領域中具有明顯的優勢。

表3 SQP算法起始點位置的約束和目標函數值Table 3 Constraints and objective function values at start points of SQP algorithm

注：x1為基準外形點，x4為最優外形附近點，x2、x3為其他位置點。

表4 3種優化算法對相同低音爆優化問題的優化結果對比Table 4 Comparison of results of three optimization algorithms for same low boom optimization problem

3.2 翼身組合體外形的低音爆優化

2014年1月，AIAA第1屆音爆預測大會在美國馬里蘭州舉行，旨在評估和探討近場音爆水平的預測技術[39]。為方便研究不同音爆預測方法之間的差異，大會給出3個標準模型，分別為NASA圓錐體、三角翼翼身組合體(69° DWB)以及洛克希德·馬丁的超聲速客機模型(LM1021)，其中前2個模型為無升力模型[40]。69° DWB外形是Hunton等[41]研究不同翼面形狀對音爆影響所用的模型之一，圖 12為模型示意圖，模型全長17.52 cm，機頭長7.01 cm，機頭母線沿飛機軸向符合二次函數分布，機身最大半徑為0.54 cm，三角翼的前緣后掠角為69°，三角翼翼型為菱形翼型，其最大厚度為弦長(c)的5%。

圖12 69°后掠三角翼翼身組合體標準模型示意圖Fig.12 Sketch of 69° sweepback delta wing-body configuration standard model

大會給出的69°后掠三角翼翼身組合體標模的狀態為Ma=1.7,迎角α=0°，來流雷諾數Re=2.43×106，采用Whitham理論對模型中心線正下方h=62.99 cm處的壓強信號進行計算，計算結果與試驗值[42]的對比如圖 13所示。

圖13 翼身組合體近場壓強信號計算驗證Fig.13 Calculation verification of near-field pressure signatures for wing-body configuration

3.2.1 外形參數化與優化數學模型

機翼參數化如圖 14所示。為保證三角翼和菱形翼型特征，機翼控制參數為：機翼1/2弦線后掠角Λ1/2、翼根翼型的弦長c、翼根翼型最大厚度與弦長的比值t、機翼半展長b和機翼位置lw共5個參數。

機身參數化如圖 15所示，通過對機身母線的控制來實現。機身母線采用Bezier曲線進行參數化，共選取10個控制點，坐標為(xi,Bi)。xi為第i個控制點的軸向站位(圖15(a)),在母線參數化和低音爆優化過程中保持不變。Bi為第i個控制點的縱坐標(圖15(b))，是母線參數化和低音爆優化的變量。

采用Whitham理論計算遠場音爆強度，優化時目標為Ma=1.7狀態下飛機軸線正下方1 000倍機長處N型波的壓強峰值，由于模型為對稱模型，因此在優化過程中不考慮升力約束。相應優化問題的數學模型如下

(10)

圖14 翼身組合體的機翼參數化示意圖Fig.14 Sketch of wing parameterization of wing-body configuration

圖15 翼身組合體的機身母線參數化示意圖Fig.15 Sketch of fuselage generatrix parameterization of wing-body configuration

式中：Vf、Vf,0分別為外形優化后機身容積和基準機身容積；Vw、Vw,0分別為外形優化后機翼容積和基準機翼容積；lf,0為基準機身長度；Sw、Sw,0分別為優化后機翼面積和基準機翼面積。

控制翼身組合體外形的15個設計變量的取值范圍如表 5所示?？刂茩C翼的5個參數的取值范圍為基準參數的(1±0.2)倍?？刂茩C身的10個參數的取值范圍為基準參數的(1±0.5)倍，圖15(b)中控制站位處箭頭長短代表了相應控制點可移動的范圍大小，圖 16給出了機身母線能夠變化的范圍。

3.2.2 低音爆優化結果

表5 翼身組合體設計變量及設計空間Table 5 Design variables and design space of wing-body configuration

圖16 翼身組合體機身母線變化的范圍以及范圍內的兩條曲線Fig.16 Variation range of fuselage generatrix of wing-body configuration and two curves within the range

圖19和圖 20分別給出優化前后的外形對比和優化前后的機身母線對比。可以看出，優化后機翼的后掠角變大，翼展略有減小，在機身與機翼結合部位，機身的半徑變小，同時為保證機身容積約束，機頭處半徑變大。這樣的布局形式可以使飛機在巡航狀態(Ma=1.7)下，具有低音爆的有效截面積分布。圖 21給出了優化前后的有效截面積(Seff)分布，可知優化外形的有效截面積分布在機頭處斜率增大，隨后變化平緩且最大有效截面積減小，使得近場壓強信號表現為第1道激波略有增強，第2道激波明顯減弱，且兩道激波之間距離增大，圖 22為優化后的近場(h=62.99 cm)壓強信號。當這樣的近場壓強信號傳播到遠場時，第1道激波與第2道激波合并，使N型波的峰值減小，從而達到降低音爆強度的目的。

圖17 翼身組合體低音爆優化的收斂歷程Fig.17 Convergence history of low boom optimization for wing-body configuration

圖18 翼身組合體優化前后遠場N型波對比Fig.18 Comparison of far-field N-wave between baseline and optimal wing-body configurations

表6 翼身組合體優化前后參數對比Table 6 Comparison of parameters between baseline and optimal wing-body configurations

圖19 翼身組合體優化前后外形對比Fig.19 Comparison of geometries between baseline and optimal wing-body configurations

圖20 翼身組合體優化前后的機身母線對比Fig.20 Comparison of fuselage generatrix between baseline and optimal wing-body configurations

圖21 翼身組合體優化前后有效截面積分布對比Fig.21 Comparison of effective cross-section distribution between baseline and optimal wing-body configurations

圖22 翼身組合體優化前后近場壓強信號對比Fig.22 Comparison of near-field pressure signature between baseline and optimal wing-body configurations

4 結 論

本文將代理優化應用于飛行器的低音爆優化設計，發展了一種基于代理模型的低音爆優化設計方法。

1) 用本文方法進行了NASA圓錐體模型的低音爆優化設計，3種優化設計狀態下，遠場音爆強度相比于基準外形降低了近1 dB，表明該方法應用于低音爆優化設計的可行性。

2) 針對NASA圓錐體模型的低音爆優化設計，代理優化方法相比于梯度優化和遺傳算法，具有很好的優越性。與梯度優化結果相比具有全局性，與遺傳算法相比具有高效性。

3) 將代理優化方法應用于翼身組合體外形的低音爆優化設計，優化后的模型更具有低音爆的特征，遠場N型波峰值減少了27.4%，表明本文方法在復雜外形低音爆優化設計中具有很大的應用潛力。

本文的重點是展示基于代理模型的全局優化方法在低音爆優化設計中的適用性，并為進一步研究打下基礎。一方面，本文選擇了計算效率高、計算精度合理的Whitham方法來預測遠場音爆。這種方法對于復雜外形的適應性和音爆預測精度都存在一定的不足，下一步擬發展耦合高可信度CFD和非線性Burgers方程的高精度音爆預測方法。另一方面，本文優化沒有考慮氣動性能的目標和約束。為了增強設計結果的工程適用性，下一步需要在優化中考慮氣動性能的目標(如升阻比或阻力)和約束(如升力和力矩)。

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