分數布朗隨機流

肖艷萍,郭精軍

(1.西北民族大學數學與計算機科學學院,甘肅蘭州 730000)

(2.蘭州財經大學統計學院,甘肅蘭州 730020)

1 引言

近些年,分數布朗運動因具有自相似性、長相依性等特點被廣泛地應用于金融、通信等領域,已成為隨機分析及其相關領域研究的熱點問題之一.但是,當Hurst參數時,分數布朗運動既不是半鞅,也不是馬爾科夫過程.于是,隨機分析中一些經典的方法就不能直接拿來處理分數布朗運動相關問題了.

流概念源于幾何測度理論.最簡單的形式為如下泛函

基于文獻[6,8],本文利用白噪聲分析方法研究Wick積分意義下的分數布朗隨機流.行文安排如下:在第2部分中主要介紹分數布朗運動和白噪聲分析框架的一些基本事實;在第3部分,先給出Wick型分數布朗隨機流的定義,其次借助于解析刻畫定理證明分數布朗隨機流在白噪聲分析框架下是一個廣義泛函.

2 預備知識

該部分主要介紹分數布朗運動、白噪聲分析框架及一些相關結果,詳細內容見文獻[2,7–8].

定義2.1[1?2]如果{BH(t)}t∈R是一個中心高斯過程且有

稱隨機過程{BH(t)}t∈R為分數布朗運動.

為了獲得BH(t)的表示形式,需要利用分數積分算子和微分算子,α∈(0,1).如果定義

如果定義

定義2.2[1?2]假設0＜H＜1,算子MH±定義為

則分數布朗運動有連續版本

第一組Gelfand三元組為S(R)? L2(R,Rd)? S?(R),其中S(R)和S?(R)分別為Schwartz向量值檢驗泛函空間和緩增函數空間.

設(L2)≡L2(S?(R),dμ)為S?(R)上關于μ平方可積泛函所構成的希爾伯特空間.則由Wiener-It?-Segal同構定理知,對每個f∈(L2)有以下混沌表示

設Γ(A)是A的二次量子化算子,其中A定義如下

對每個整數關于希爾伯特范數完備化空間.從而,設分別為的投影極限和歸納極限.于是,第二組Gelfand三元組為(S)?(L2)?(S)?.(S)(相應地,(S)?)中元素稱之為Hida檢驗泛函(相應地,廣義泛函).

對所有的檢驗泛函f∈S(R,Rd),在(S)×(S)?上定義S-變換如下

引理2.3[7?9]設{Gk}k∈N表示U-泛函序列:

(1)對f∈S(R),{Gk(f)}k∈N是一個柯西列;

(2)存在Ci和p使得在R中一致有則存在唯一Φ∈(S)?使得S?1Gk強收斂于Φ.

引理2.4[7?9]設(?,B,μ)是一個可測空間以及在?上定義取值于(S)?的一個映射為Φλ.假設Φλ的S-變換滿足

(1)對所有的f∈S(R,Rd),是關于λ的μ-可測函數;

(2)服從 U-泛函估計對固定的 p和對C1∈ L1(μ),C2∈ L∞(μ)成立,

從而Φλ在希爾伯特空間(S)?q中當q足夠大時是Bochner可積的,

3 分數布朗隨機流

因為存在非適應性積分,在定義分數布朗隨機流時,需要考慮隨機積分的處理難易性以及如何給出合理的解釋.在該部分中,首先給出Wick積分意義下的分數布朗隨機流的定義;其次討論該隨機流的存在性問題.

定義3.1設?:Rd→Rd定義在由所有光滑緊支撐向量域構成的集合上,則

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是一個泛函.Wick型分數布朗隨機流定義為

利用定義3.1可以證明:分數布朗隨機流在白噪聲分析框架下是一個Hida廣義泛函.

定理3.2對每個正整數d,每個H∈(0,1)和ε＞0,分數布朗隨機流

證對任意f∈S(R),首先驗證引理2.4中可積性條件滿足.計算S-變換

由文獻[1]中的引理2.5,定理2.3以及推論2.8,對f∈S(R),有

定理3.3對每個H∈(0,1)和d≥1,Bochner積分

和

都是Hida廣義泛函.進一步,當ε趨于0時,ξH,ε(x)在(S)?中收斂到ξH(x).

則對所有的z∈C,有

最后一個等式在Rd上關于λ可積,同時第二部分關于λ是一個常數.

由控制收斂定理知,當ε趨于0時,S(ξH,ε(x))(f)收斂于S(ξH(x))(f).由引理2.3知,當ε趨于 0 時,ξH,ε(x) 收斂到 ξH(x).

文獻[6]利用Malliavin計算討論了Skorohod積分意義下的布朗和分數布朗隨機流.相比較Malliavin計算白噪聲分析方法在某種程度上將更方便,因為此時可以利用白噪聲分析方法方便地處理隨機積分問題.同時所獲得的結果對Hurst指數的要求更加寬泛,正則性條件也有別于文獻[6]中的條件:對時,分數布朗隨機流屬于Sobolev空間的條件是

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