運用手持計算器對函數對稱問題的探索

劉紅衛 程海波 劉伯賢 雷丹 夏遠景

摘 要：函數是中學數學教學的主線，是中學數學的核心內容，也是整個高中數學的基礎。函數的性質是競賽和高考的重點與熱點，函數的對稱性問題是函數性質的一個重要方面，也是歷年高考熱點問題之一，函數圖像的對稱性包括圖像關于直線軸對稱和關于點中心對稱的兩類問題，函數圖像對稱問題還分為一個函數圖像的自對稱問題和兩個函數圖像的互對稱問題。圖形計算器一般是指一種可以繪制函數圖像、解高次方程或多元方程組以及能執行其他復雜操作的手持計算器，大多數圖形計算器還能編寫數學類程序。有人指出：“數學教學應該使用科技來幫助所有學生理解數學，并為在越來越科技化的社會中應用數學做好準備。”同時也要求培養學生的動手能力，提升學生發現問題、解決問題的能力。文章針對這些問題給出一般結論，并分別加以理論證明和手持計算器中的直觀呈現，體現了手持計算器在數學教學下的作用和優勢，以及它在教學中的應用，希望能給廣大教師一定的教學啟發。

關鍵詞：圖形計算器；自對稱；互對稱；軸對稱；中心對稱

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A收稿日期：2017-12-08

首先我們看看高考題或高考模擬題：

1.【2011年新課標卷文12】函數y=—的圖像與函數y=2sinπx（-2≤x≤4）的圖像所有交點的橫坐標之和等于

（A）2 （B）4

（C）6 （D）8

解析：圖像法求解。y=—的對稱中心是（1，0），也是y=2sinπx（-2≤x≤4）的中心，-2≤x≤4，它們的圖像在x=1的左側有4個交點，則x=1右側必有4個交點。不妨把它們的橫坐標由小到大設為x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，則x1+x8=x2+x7=x3+x6=x4+x5=2，所以選D。

考點：①函數圖像的對稱性；②數形結合思想。

2.【2014高考全國2卷文第15題】偶函數y=f（x）的圖像關于直線x=2對稱，f（3）=3，則f（-1）=______.

解析：因為y=f（x）的圖像關于直線x=2對稱，故，f（3）=f（1）=3，又因為y=f（x）是偶函數，所以f（-1）=f（1）=3，故答案為3。

考點：①函數圖像的對稱性；②函數周期性。

函數的對稱性、周期性、奇偶性是高考的熱點問題，而且多以選擇題、填空題綜合多個知識點同時考查，分值5分，高中學生必須理解。下面我小結了函數對稱的幾個性質，首先從理論上證明，培養學生的邏輯推理能力，同時用手持計算器探索、演示，可培養學生的動手能力，加強學生對知識生成的直觀感受，讓學生有身臨其境的感覺，這是手持計算器獨到的好處，也是本文的亮點。

一、同一個函數圖像關于直線的對稱（自對稱）

結論1：設a，b均為常數，函數 y=f（x）對一切實數x都滿足f（a+x）=f（b-x），則函數的圖像關于直線x=—對稱。

證明：在函數f（x）上任取一點P（x1，y1），即y1=f（x1），則點P關于直線x=—的對稱點為Q（a+b-x1，y1），

∵f（a+x）=f（b-x），

∴f（a+b-x1）=f（a+（b-x1））=f（b-（b-x1））=f（x1）

∴y1=f（a+b-x1）

∴點Q（a+b-x1，y1）也是函數y= f（x）上的點。

∴命題得證。

下面用手持計算器直觀呈現（改變a，b的值）。

（1）我們先將公式變形，將f（a+x）=f（b-x）轉換為f（—+t）=f（—-t）

a+x→ —+—+x

b-x→ —-—-x

另t=—+x

a+x→ —+t

a+x→ —-t

（2）做出a，b的值，選擇命令→繪圖→滑動條，取最小值為-10，最大值為10，值和步長都為1，選擇動畫為無動畫（如圖1）。

同樣的方法作出b的值。

（3）作出t的值，也是以滑動條的方式做出t的值，將t的值設置為來回或循環。

（4）因為函數的定義為：設在某變化過程中有兩個變量x、y，如果對于x在某一范圍內的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，那么就稱y是x的函數，x叫做自變量。所以任意一—+t都有一個y值與之對應，但y值是唯一確定的值。

（5）進入symb視圖，選擇命令→點→點，輸入point（—+t，t2）。這時出現的是一個移動的點。點擊屏幕，選擇選項將動畫前面的鉤取消掉。點擊點，選擇選項，勾選矩陣跡。點的縱坐標t2不唯一，不同的對應關系產生不同的y值，隨著t值的變化，點的位置也會變化，形成的就是某種對應關系下的函數圖像（如圖2）。

（6）根據步驟五作出point（—-t，t2），勾選矩陣跡，點擊屏幕，勾選動畫，作出函數圖像。函數的圖像關于直線x=—對稱（如圖3）。

（7）我們可以改變a，b的值，作出函數的圖像。點擊屏幕，取消動畫。改變a，b的值，點擊點，選擇清除矩陣跡，勾選動畫（如圖4）。

（8）重復步驟7，改變函數的對應關系，將t2改成3-t（如圖5）。

結論成立。

推論1：在直角坐標系中，滿足f（a+x）=f（a-x）的函數y= f（x）關于直線x=a對稱（其中a為常數）（特例：當a=0時，若y= f（x）的定義域關于原點對稱，則y= f（x）為偶函數）。

推論2：在直角坐標系中，滿足f（a-x）=f（x-a）的函數y= f（x）的圖像關于直線x=0對稱。

二、兩個函數圖像關于直線的對稱（互對稱）

結論2：在同一直角坐標系中，函數y1=f（a+x）與函數y2=f（b-x）的圖像關于直線x=—對稱（其中a，b均為常數）。

證明：

方法一：已知y1，求出y1關于直線x=—對稱的函數y3，若y3=y2則證明完畢。

在函數y3上任取一點P（x0，y0），即y0=f（a+x0），則點P關于直線x=—的對稱點為Q（b-a-x0，y0），則點Q必在函數y1的圖像上。

∴y0=f（a+（b-a-x0））=f（b-x0），即點（x0，y0）在y2=f（b-x）的圖像上。

∴函數y3=y2，命題得證。

方法二：函數y1=f（a+x）的圖像可以看成是函數y=f（x）的圖像向左平移a個單位所得，現在函數y=f（x）圖像上任取一點P（x1，y1），則點P1（x1-a，y1）在函數y1=f（a+x）的圖像上；函數y2=f（b-x）的圖像可以看成是函數y=f（x）的圖像先關于y軸對稱得y=f（-x）的圖像，再向右平移b個單位得y2=f（-（x-b）），即得函數y2=f（b-x）的圖像，則點P2（b-x1，y1）在函數y2=f（b-x）的圖像上，又因為點P1（x1-a，y1）和點P2（b-x1，y1）關于直線對稱，所以兩函數圖像關于直線x=—對稱。命題得證。

下面用手持計算器直觀呈現（改變a，b的值）。

（1）打開幾何學應用程序，我們先做出一個函數，點擊命令→選擇繪圖→函數，繪制任一函數，為之后不對結論產生誤導，在這里最好繪制奇函數而非偶函數。我們可以嘗試繪制函數y=x3（如圖6）。

（2）已經作出函數y1=f（x）的圖像，現在作出函數y1=f（a+x）的圖像。先做出a值，在plot視圖選擇命令→繪圖→滑動條，取最小值-10、最大值10、初始值為1、步長為1，其他不變（在這里取值是為了取到正數、0、負數，證明a為常數時結論滿足）。在符號視圖將GB改成a（如圖7）。

現在我們能在plot視圖看到a的值，我們將鼠標長按在a值上會出現滑動塊，移動滑動塊可以改變a的值（如圖8）。

（3）使用同樣的步驟作出b值。

（4）在symb視圖做出y1=f（a+x），進入symb視圖，選擇命令→繪圖→函數，plotfunc（a+x）3。為區分原函數和函數y1，改變函數y1的顏色（如圖9、圖10）。

（5）同樣的方式作出y2=f（b-x）的函數圖像（如圖11、圖12）。

（6）作出函數y1和y2的函數后，原函數不需要了，可以選中原函數的圖像將函數圖像隱藏。此時，我們能直觀地看出兩個函數圖像是對稱的，但函數圖像是否對稱還需要我們進行證明。

（7）在y1上面取一點，做直線x=—，以直線為對稱軸做出點的對稱點，如果對稱點再函數y2上，則兩函數對稱。

（8）進入plot視圖，選擇命令→點→上面的點。進入symb視圖，選擇命令→線→直線line（x=—）。做出對稱點，選擇命令→變換→反射（如圖13）。

（9）驗證點G是否在函數圖像上，選擇命令→檢驗→對象上。檢驗結果為1，表示點在直線上。長按在點B上，進入編輯界面，將無動畫改為來回或循環，發現檢驗結果一直為1（如圖14）。

（10）也可以將點B和點G的坐標表示出來，選擇命令→笛卡爾→坐標。同時也可以改變a，b的值，發現結論同樣正確（如圖15）。

推論1：在直角坐標系中，函數y1=f（a+x）與函數y2=f（a-x）的圖像關于直線x=0對稱（特例：當a=0時，函數y1=f（x）與函數y2=f（-x）的圖像關于y軸對稱）。

推論2：在直角坐標系中，函數y1=f（a-x）與函數y2=f（x-a）的圖像關于直線x=a對稱（其中a為常數）。

三、同一個函數圖像關于點成中心對稱

結論3：設a，b均為常數，函數對一切實數x都滿足f（a+x）+f（a-x）=2b，則函數y=f（x）的圖像關于點（a，b）成中心對稱圖形。

證明：

方法一：∵f（a+x）+f（a-x）=2b

∴[f（a+x）-b]+[f（a-x）-b]=0

令F（x）=f（a+x）-b，（x∈R）

∴F（x）+F（-x）=0，即F（x）為奇函數，其圖像關于原點（0，0）對稱。

∴y=f（a+x），（x∈R）的圖像關于點（0，b）對稱

∴y=f（x），（x∈R）的圖像關于點（a，b）成中心對稱，證明完畢。

∴命題得證。

方法二：∨P（x0，y0）∈y=f（x）圖像上，從而有y0=f（x0），

則可得P（x0，y0）關于點（a，b）對稱的點Q（2a-x0，2b-y0）。

下面證明點Q在y=f（x）上，即證2b-y0=f（2a-x0），

需證f（2a-x0）+f（x0）<=>f（a+（a-x0））+f（a-（a-x0））=2b。

這里顯然成立（只需令x=a-x0即可）

由于P點的任意性可知y=f（x）關于點（a，b）對稱。證明完畢。

下面用手持計算器直觀呈現（改變a，b的值）。

（1）本結論為結論1的引申，我們在結論1的方法上證明。使f（a+x）的值為b+x，f（a-x）的值為b-x。將結論一的point（—+GC，GC2）改為point（GA+GC，GB+GC2），point（—-GC，GC2）改為（GA-GC，GB-GC2）（如圖16）。

得出函數圖像（如圖17）：

（2）函數圖像作出來之后，點擊選項，取消動畫。連接兩點做一條線段，取中點，選擇命令→線→線段→選擇點G和點E，再選擇命令→點→中點→選擇點G和點E。勾選動畫（如圖18）。

點G點E關于點H對稱，點H位置不變，所以函數關于點H（a，b）成中心對稱圖形。

推論：設a，b，c均為常數，函數y=f（x）對一切實數x都滿足f（a+x）+f（b-x）=2c，則函數y=f（x）的圖像關于點（—，c）成中心對稱圖形（特例：當a=b=c=0時，函數y=f（x）的圖像關于原點（0，0）中心對稱）。

四、兩個函數圖像關于點成中心對稱

結論4：設a，b，c均為常數，則函數y1=f（a+x）與y2=c-f（b-x）關于點（—，—）成中心對稱圖形。

證明：

方法一：已知y1，求出y1關于點（—，—）對稱的函數y3，若y3=y2，則證明完畢。

在函數y3上任取一點P（x0，y0），即y0=f（a+x0），則點P關于點（—，—）的對稱點為Q（b-a-x0，c-y0），則點Q必在函數y1的圖像上。

∴c-y0=f（b-a-x0）=f（b-x0），

∴y0=c-f（b-x），即點（x0，y0）在y2=c-f（b-x）的圖像上。

∴函數y3=y2，命題得證。

方法二：函數y1=f（a+x）的圖像可以看成是函數y=f（x）的圖像向左平移a個單位所得，現在函數y=f（x）圖像上任取一點P（x1，y1），則點P1（x1-a，y1）在函數y1=f（a+x）的圖像上；函數y2=c-f（b-x）的圖像可以看成是函數y=f（x）的圖像先關于y軸對稱得y=f（-x）的圖像，再向右平移b個單位得y=f（-（x-b）），再將所得函數圖像關于x軸對稱得y=-f（b-x），最后將所得圖像向上平移c個單位，即得函數y2=c-f（b-x）的圖像，根據函數圖像變換可知，點P（x1，y1）經過y2=c-f（b-x）的相應變換得點P2（b-x1，c-y1），又因為點P1（x1-a，y1）和點P2（b-x1，c-y1）關于點（—，—）對稱，由于點P（x1，y1）是任取的，所以兩函數圖像關于關于點（—，—）對稱。命題得證。

下面用手持計算器直觀呈現（改變a，b的值）。

我們在結論2的基礎上探索結論4，我們已經知道函數y1=f（a+x）的圖像可以看成是函數y=f（x）的圖像向左平移a個單位所得。我們探索一下y2=c-f（b-x）的函數圖像的性質。

（1）我們做出函數y=x的圖像，再做出y=-x和y=6-x的函數圖像。選擇命令→繪圖→函數（如圖19）。

函數圖像（如圖20）：

我們可以發現y=6-x相當于函數y=x沿y軸對稱再上移6個單位。

（2）我們作出原函數y=x2的圖像。創建a、b值，作出y=（a+x）2和y= （b-x）2的圖像（如圖21）。

函數圖像（如圖22）：

兩函數圖像關于x=—對稱。

（3）創建c值，plot視圖，選擇命令→繪圖→滑動條，最小值到最大值任取，步長為1。作出函數y=c-（b-x）2的圖像（如圖23）。

隱藏原函數和函數y=（b-x）2。選擇函數圖像，選擇選項→隱藏（如圖24）。

（4）在y=（a+x）2作上面的點，選擇命令→點→上面的點。做出點（—，—），再上面的點關于點（—，—）的對稱點（如圖25）。選擇命令→變換→反射。

（5）檢驗點H在否在函數上，現在命令→檢驗→對象上（如圖26）。

移動函數上的點，檢驗結果為1，證明結論正確。

（6）我們可以改變函數檢驗結論是否正確，將函數改為x3（如圖27）。

結論正確。

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