基于非線性主成分分析法的城市建筑商品房價格模型的研究

李寧

摘 要： 對于城市的建筑商品房價格，不同城市的商品房銷售價格不同，而且影響城市商品房銷售價格的因素多種多樣，多元統(tǒng)計分析方法可以有效地分析出多元數(shù)據(jù)指標(biāo)對于某一個指標(biāo)數(shù)據(jù)的影響。本文通過建立商品房銷售價格與城市的發(fā)展指標(biāo)之間聯(lián)系的數(shù)學(xué)模型，分析了城市的發(fā)展指標(biāo)對于建筑商品房平均售價的影響程度。首先通過對中國統(tǒng)計年鑒中35個大中城市的經(jīng)濟(jì)發(fā)展指標(biāo)進(jìn)行主成分分析，用得到的較少個數(shù)的綜合主成分指標(biāo)替代原始數(shù)據(jù)，然后初步分析建筑銷售均價與城市發(fā)展指標(biāo)的關(guān)系，并對選定的價格方程進(jìn)行多元回歸分析，建立商品房價格和城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展指標(biāo)間關(guān)系的數(shù)學(xué)評價模型。于此同時，由于城市商品房銷售價格與經(jīng)濟(jì)發(fā)展指標(biāo)間的的關(guān)系不確定性，我們又針對主成分分析的弊端設(shè)計了非線性的主成分分析的評價方式，并進(jìn)行了比較和統(tǒng)計分析。

關(guān)鍵詞： 多元統(tǒng)計分析；非線性主成分分析；多元回歸分析；城市建筑價格影響因素

引言

城市的建筑產(chǎn)品是一種異質(zhì)性商品，建筑產(chǎn)品在決定使用價值的各個因素上面會有明顯的差異，如城市的人口、經(jīng)濟(jì)發(fā)展指標(biāo)和建筑面積等因素都與城市建筑商品房均價有一定的關(guān)聯(lián)。對于眾多影響因素，指標(biāo)數(shù)量過多會使課題的復(fù)雜性加大。我們希望可以通過較少的指標(biāo)個數(shù)得到的比較多的信息量。主成分分析對數(shù)據(jù)指標(biāo)數(shù)目的降維將使得問題更為簡單方便。[1]

而且由于建筑價格影響因素可能是非線性的，所以我們也將非線性主成分分析法與傳統(tǒng)主成分方法進(jìn)行比較，并結(jié)合多元線性回歸分析和spss軟件，對城市建筑商品房均價建立非線性的綜合評價體系模型。

1綜合評價體系的多元統(tǒng)計分析方法概述

1.1城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展指標(biāo)的主成分分析

對于決定建筑商品房價格的城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展指標(biāo)，指標(biāo)之間有一定的關(guān)聯(lián)性，可以理解為這兩個指標(biāo)之間對于決定建筑商品房價格的信息有一定的重疊。主成分分析是數(shù)學(xué)中的一種降維方法，它可以根據(jù)實際的需求把原來的指標(biāo)重新組合成一組新的相互間線性無關(guān)的綜合指標(biāo)，也就是從其中抽取出少數(shù)幾個主成分，這些主成分將盡可能多地表達(dá)原始變量的信息。通過對多個城市建筑樣本和城市發(fā)展指標(biāo)數(shù)據(jù)的壓縮、解釋，它也可以用來尋找影響城市商品房價格的綜合指標(biāo)，然后適當(dāng)?shù)卣f明綜合指標(biāo)所涵蓋的信息意義，以便于更加清晰地了解問題的內(nèi)在發(fā)展規(guī)律。

1.2非線性主成分分析

主成分分析法只能處理線性問題，實際問題例如城市建筑商品房影響因素這一問題中，不僅變量間有可能會有非線性的關(guān)系，而且主成分和原始變量間也存在著非線性的關(guān)系。此時如果只是進(jìn)行線性化數(shù)據(jù)處理，必然影響研究結(jié)果的準(zhǔn)確度。

非線性主成分分析法的方法有很多種[2]，而在這之中，“對數(shù)中心化”是其中較為實用的一種的方法。

設(shè)有n個城市，p個經(jīng)濟(jì)發(fā)展指標(biāo)。

（1）首先對原始指標(biāo)的數(shù)據(jù)做對數(shù)中心化數(shù)據(jù)變換：

（2）計算對數(shù)中心化后的數(shù)據(jù)的樣本協(xié)方差矩陣

（3）利用樣本協(xié)方差矩陣S 求原始數(shù)據(jù)的主成分。設(shè)它們的特征值為λ1 ≥λ2 ≥… ≥λp ≥0 并且這些特征值相應(yīng)的特征向量為ep，從而得到主成分為

剩下的步驟和傳統(tǒng)線性的主成分分析方法一樣。

與傳統(tǒng)的主成分分析相比，非線性的主成分分析法有2處提高： 1.原始指標(biāo)通過對數(shù)中心化這一變換，主成分被表示為原始變量的非線性組合；2.非線性的主成分分析法的出發(fā)點不再是相關(guān)系數(shù)矩陣，而是協(xié)方差矩陣。這兩處提高將會使用較少的主成分反映更多的原始變量的信息，從而大大地提高數(shù)據(jù)降維的效果。

1.3主成分的多元回歸分析

本文中的實例應(yīng)用中我們將以城市建筑商品房價格Y為因變量，主成分F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)k為自變量，利用線性回歸方程方法可以建立綜合評價體系的數(shù)學(xué)方程模型：

將主成分F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)k的表達(dá)式，就能得到綜合評價體系模型。

2建筑價格綜合評價體系的數(shù)據(jù)收集與計算過程

我們搜集了中國統(tǒng)計年鑒2015年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，根據(jù)相關(guān)領(lǐng)域的研究，依據(jù)全面性、系統(tǒng)性、可比性、科學(xué)性和可取得性的原則[5]，選擇了中國35個主要城市建筑商品房價格受到的城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展指標(biāo)影響因素如下：總?cè)丝冢╔1），人均gdp（X2），居民消費(fèi)指數(shù)（X3），人均公共財政收入（X4），人均公共財政支出（X5），平均工資（X6），人均消費(fèi)品零售額（X7），人均居民儲蓄存款（X8），人均住房面積（X9），建筑造價（X10）。

3綜合評價體系的最終構(gòu)建過程與結(jié)果分析

3.1非線性主成分分析與傳統(tǒng)主成分分析的結(jié)果對比

我們在多元統(tǒng)計分析的數(shù)據(jù)搜集和分析時，往往需要收集到不同量綱的數(shù)據(jù)，比如總?cè)丝冢ㄈf人），人均gdp（元）。我們已經(jīng)對《中國統(tǒng)計年鑒》城市經(jīng)濟(jì)指標(biāo)數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，得到了標(biāo)準(zhǔn)化矩陣。

（1） 利用對數(shù)中心化的方法對城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展的原始指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。

（2） 對對數(shù)中心化處理后的樣本（lnXij）的協(xié)方差矩陣進(jìn)行非線性的主成分分析。相關(guān)系數(shù)矩陣計算出的特征值及其累積貢獻(xiàn)率見表1。

非線性主成分分析與普通線性主成分分析的特征值及累積貢獻(xiàn)率的對比結(jié)果如下表所示：

由上表可以看出，非線性主成分分析的第一主成分比傳統(tǒng)主成分分析法所攜帶的信息量高了13個百分點，非線性主成分分析法的前2個主成分的累計貢獻(xiàn)率超過了90%，而傳統(tǒng)方法前5個主成分才能超過90%，非線性主成分分析法可以用更多的主成分提取較多的原始指標(biāo)信息，所以非線性主成分分析法更加適用于分析城市建筑商品房價格的影響指標(biāo)因素。

根據(jù)貢獻(xiàn)率大于85%原則，提取前2個特征值為主成分，進(jìn)一步分析非線性主成分載荷矩陣得出[a1，a2]。進(jìn)一步計算出主成分的特征向量[t1，t2]。

主成分和原指標(biāo)之間的關(guān)系式，可以通過主成分的載荷矩陣求出。

表2中的系數(shù)為aij，主成分和原指標(biāo)之間的關(guān)系式分別為：

主成分：

3.2非線性主成分分析的回歸模型

分別將原始指標(biāo)數(shù)據(jù)對數(shù)中心化后的數(shù)據(jù)lnXij代入方程，求得Fi（ i = 1，2，3，4） ，然后將Fi當(dāng)作自變量，將各城市商品房銷售均價Y的對數(shù)中心化數(shù)據(jù)lnY作為因變量，回歸方程的系數(shù)矩陣如下：

由表3可以得出回歸系數(shù)估計值為：β1=8769.800得到城市商品房銷售價格的回歸方程：

式中： lnY 為商品房銷售價格的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)； Fi為各主成分的值，i = 1，2，3.

把式帶入方程：

原始指標(biāo)數(shù)據(jù)在回歸模型方程中的系數(shù)以及標(biāo)準(zhǔn)化后的系數(shù)如下表：

因此反映城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展指標(biāo)與商品房價格關(guān)系的回歸模型標(biāo)準(zhǔn)化方程為：

其中，βk為表5中回歸方程系數(shù)。

3.3模型分析

通過對數(shù)中心化的數(shù)據(jù)lnY與lnX的多元回歸方程可以看出城市經(jīng)濟(jì)指標(biāo)對于城市建筑價格的影響程度，繼而分析出其中間的關(guān)系。

多元回歸分析的假設(shè)檢驗結(jié)果如表4，由表中可以得出判定系數(shù)為0.736，回歸方程的擬合程度較好。F值為44.572，顯著度為0.000，表明回歸極顯著。

同時，由表5中標(biāo)準(zhǔn)化后的系數(shù)對比可以看出，城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展指標(biāo)對于房價的影響可以分為以下四個等級：

（1）人均gdp（X2），人均公共財政收入（X4），人均公共財政支出（X5），人均消費(fèi)品零售額（X7），人均居民儲蓄存款（X8）的系數(shù)均大于0.3，這說明這些城市的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)很大程度上決定了城市商品房平均價格。

（2） lnX1，lnX6，lnX10所對應(yīng)的原始數(shù)據(jù)中城市經(jīng)濟(jì)指標(biāo)總?cè)丝冢╔1），平均工資（X6），建筑造價（X10）的系數(shù)在0.1左右，他們作為城市經(jīng)濟(jì)指標(biāo)對于城市建筑商品房的價格也產(chǎn)生了一定影響。

（3）而人均住房面積（X9）雖然也在一定程度上影響了城市房價，但影響程度要遠(yuǎn)低于直接反映城市居民經(jīng)濟(jì)水平的指標(biāo)。

（4）居民消費(fèi)指數(shù)（X3）對樣本數(shù)據(jù)中城市房價產(chǎn)生的影響可以忽略不計。

結(jié)論

對于城市建筑商品房價格的影響因素，除了其決定的城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展指標(biāo)較多外，為了建立更標(biāo)準(zhǔn)的模型，需要利用更多的城市樣本數(shù)據(jù)，而且城市商品房價格與城市發(fā)展指標(biāo)間的關(guān)系可能不是單純的線性關(guān)系。為了解決以上問題，我們通過引入非線性主成分分析法，將決定房價的多個指標(biāo)因素化為了少數(shù)幾個綜合指標(biāo)，相比于傳統(tǒng)的主成分分析法，既能在盡可能多地保留原是變了信息并相互獨(dú)立的同時，也減少了主成分的個數(shù)，提高了分析和計算的準(zhǔn)確性。最后將非線性主成分分析后的綜合指標(biāo)進(jìn)行了多元線性回歸，擬合程度與檢驗結(jié)果符合預(yù)期。將主成分與原始變量間關(guān)系方程帶入后的回歸方程結(jié)果，可以分析出原始城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展指標(biāo)對于城市建筑商品房價格的影響程度，并且對根據(jù)城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展指標(biāo)進(jìn)行房價估計有一定的預(yù)測作用。本文所介紹的基于多元統(tǒng)計分析方法的綜合評價體系可以較好地適用于城市房價影響因素重要性的判斷，同時對于其他實際生活或科研中多指標(biāo)因素決定的問題有一定的適用性。

參考文獻(xiàn)

[1]Abraham B. and J.Ledolier. Statistica l for Forecasting. New York：1983.

[2]張祟甫，陳述云.成分?jǐn)?shù)據(jù)主成分分析及其應(yīng)用[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理， 1996（ 4）.

[3]鄒淵淵，伍岳慶，姚宇.基于主成分和回歸分析的煙葉質(zhì)量分析模型[J].計算機(jī)應(yīng)用，2011年z2期.

[4]彭魯鳳.城市住宅價格空間分異的模式和原因—對杭州的實證分析[D].浙江大學(xué)碩士論文，2010-01-01.

[5]韋國堅.上海市城市住宅價格空間分異實證研究[D].浙江大學(xué)碩士論文，2013-05-01.